Autor Tema: Diagonalización

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02 Julio, 2022, 02:38 am
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JesusSaez

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Sea \( V \) un espacio vectorial sobre un campo \( F \), \( T:V\rightarrow V \) un operador lineal y \( W\leq V \) un subespacio \( T \)-invariante. Definimos y denotamos por \( \overline{T} \), a la transformación lineal en el espacio cociente
\(
\begin{array}{rccc}
\overline{T}&:V/W&\rightarrow & V/W\\
&v+W&\mapsto & T(v)+W
\end{array}
 \)
y sea \( T_{\mid W} \) la restricción de \( T \) a \( W \) .
Demostrar que si \( T_{\mid W} \) y \( \overline{T} \) son diagonalizables y NO tienen valores propios en común, entonces \( T \)  es diagonalizable.

02 Julio, 2022, 07:39 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Entiendo que la dimensión de \[ V \] es finita. Sea \[ dim W=n \] y \[ dim V=m+n \].

Echando mano de la teoría correspondiente, como \[ T_{|W} \] es diagonalizable existe \[ \{u_1,\ldots, u_n\} \in{W} \], una base de \[ W \] formada por autovectores de \[ T_{|W} \] y \[ \lambda_1,\ldots \lambda_n\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos, tales que para todo \[ i \] es \[ T(u_i) =T_{|W} (u_i) =\lambda_iu_i \].

Por otro lado, como \[ \overline{T} \] es diagonalizable existe \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] una base de \[ V/W \] formada por autovectores de \[ \overline{T} \] y \[ \mu_1,...,\mu_m\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos entre ellos.

Tenemos que todo \[ v_i \] está fuera de \[ W \] ya que, en otro caso, \[ v_i+W=W \] sería el elemento neutro de \[ V/W \] y no podría formar parte de una base. También que los \[ v_1,...,v_m\in{V} \] son linealmente independientes, de otro modo no lo serían los  \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] y no serían base. Con esto \[ B=\{u_1,...u_n,v_1,...,v_m\} \] es una base de \[ V \].

Seguimos. El hecho de que \[ \overline{T}(v_i+W) =\mu_i(v_i+W) =\mu_iv_i+W \] implica que en particular \[ T(v_i) - \mu_iv_i\in{W} \] por lo que existen \[ a_{1,i},...,a_{n,i} \] tales que \[ T(v_i) =\mu_iv_i+a_{1, i} u_i+... +a_{n, i} u_n \].

Con todo lo dicho hasta ahora, la matriz asociada a \[ T \] en la base \[ B \] es, por bloques:

\[ M=\begin{pmatrix}{D_{\lambda} }&{A}\\{0}&{D_{\mu}}\end{pmatrix} \]

Donde \[ D_{\lambda}  \] es una matriz diagonal con las lambdas, \[ D_{\mu}  \] es otra matriz diagonal con las mus y \[ A=\{a_{i, j} \}  \]

Como \[ M \] es triangular, los autovalores \[ k_1,...,k_{m+n} \] de \[ T \] son las lambdas y las mus. Ahora ya sólo se trata de ver que para todo \[ k_i \] es \[ rang(M-k_i I) =m+n-\alpha(k _i)  \] donde \[ \alpha(k_i)  \] es la multiplicidad algebraica de \[ k_i \].

¿Rematas tú?

Un saludo.

02 Julio, 2022, 08:57 pm
Respuesta #2

JesusSaez

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El detalle es que en el ejercicio como tal no nos dice nada sobre la dimensión de \( V \) y en un libro que he estado leyendo veo que el concepto de valores y vectores propios está generalizado a cualquier dimensión, finita o infinita.
Una pregunta, suponiendo que \( V \) es de dimensión finita, ¿demostrando que el rango de la matriz es \( m+n-\alpha(k_i) \) ya se demostraría que la unión de las bases del subespacio y el cociente es base de \( V \)?
Para demostrar lo del rango, ¿se podría mostrar que \( dim(Ker(A-k_iI))=Nul(A-k_iI)=\alpha(k_i) \), para cada \( i \) y despejar de la igualdad
\(
dim(Ker(T))+dim(Im(T))=dim(V)
 \)
que nos da un teorema sobre dimensiones?
Saludos.

03 Julio, 2022, 01:28 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

El detalle es que en el ejercicio como tal no nos dice nada sobre la dimensión de \( V \) y en un libro que he estado leyendo veo que el concepto de valores y vectores propios está generalizado a cualquier dimensión, finita o infinita.

Sí. Las definiciones habituales de valor y vector propio se aplican a espacios vectoriales de dimensión finita o infinita. Pero lo de endomorfismo diagonalizable sobre un espacio de dimensión infinita ya me suena más raro. No digo que no pueda definirse pero no me suena haberlo visto nunca.

Una pregunta, suponiendo que \( V \) es de dimensión finita, ¿demostrando que el rango de la matriz es \( m+n-\alpha(k_i) \) ya se demostraría que la unión de las bases del subespacio y el cociente es base de \( V \)?

No exactamente. Primero, la base que hemos construido no es unión de las otras dos. Es la de \[ W \] junto con un representante de cada una de las clases de la base de \[ V/W \].

Segundo. Ésta base a la que me refiero es una base independientemente de lo que pase con los rangos de \[ M-k_iI \]. Lo que pasa es que \[ m+n-rang(M-k_iI)  \] es precisamente la multiplicidad geométrica de \[ k_i \], y si para todo \[ i \] la multiplicidad geométrica de \[ k_i \] coincide con la algebraica pues la matriz \[ M \] es diagonalizable, que es lo que queremos demostrar.

Estoy suponiendo todo el rato que este criterio para decidir si una matriz es diagonalizable o no lo manejas bien.

Para demostrar lo del rango, ¿se podría mostrar que \( dim(Ker(A-k_iI))=Nul(A-k_iI)=\alpha(k_i) \), para cada \( i \) y despejar de la igualdad
\(
dim(Ker(T))+dim(Im(T))=dim(V)
 \)
que nos da un teorema sobre dimensiones?

No acabo de entenderte. Yo lo que había pensado es que si \[ k_i \] es valor propio de \[ T_{|W}  \] entonces \[ M-k_iI \] tiene exactamente \[ \alpha(k_i)  \] columnas nulas entre las \[ n \] primeras y el resto de elementos de la diagonal principal distintos a cero. Por lo que este caso ya está. Fíjate que aquí es donde usamos de forma decisiva que \[ T_{|W}  \] y \[ \overline{T} \] no tienen valores propios en común. De hecho, si tuvieran valores propios en común este mismo argumento serviría para probar que \[ T \] no sería diagonalizable.

De forma parecida, si \[ k_i \] es valor propio de \[ \overline{T}  \] entonces \[ M-k_iI \] tiene exactamente \[ \alpha(k_i)  \] filas nulas entre las \[ m \] últimas y el resto de elementos de la diagonal principal distintos a cero.

Un saludo.

03 Julio, 2022, 04:05 am
Respuesta #4

JesusSaez

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Muchas gracias.
De hecho pregunté y me dicen que no se asume nada sobre la dimensión, que se tendría que mostrar que hay una base formada por vectores propios de \( T \).
Mi intuición me diría que la base buscada es la base de \( W \) unida con los representantes de las clases del cociente, aunque no se cómo formalizarlo.

03 Julio, 2022, 05:16 am
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

He añadido en rojo un detalle en mi mensaje anterior que se me había pasado por alto.



De hecho pregunté y me dicen que no se asume nada sobre la dimensión, que se tendría que mostrar que hay una base formada por vectores propios de \( T \).

¿Podrías entonces preguntar qué significa que un endomorfismo sobre un espacio vectorial de dimensión infinita sea diagonalizable?

La definición habitual de endomorfismo diagonalizable es que un endomorfismo es diagonalizable si lo es su matriz asociada, y esta matriz sólo existe si el espacio sobre el que actúa el endomorfismo es de dimensión finita.

Gracias. Un saludo.

03 Julio, 2022, 05:46 am
Respuesta #6

JesusSaez

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Claro, en cualquier dimensión, un operador lineal \( T:V\rightarrow V \) es diagonalizable si existe una base de
\( V \) formada por vectores propios.

Mi idea es así:
Por hipótesis, existe una base de W \( \beta=\{x_i\}_{i\in I} \) , formada por vectores propios de \( T_{\mid W} \) , donde podemos suponer que  \( \lambda_i \) es el valor propio asociado a \( x_i \) para cada \( i\in I \). También, existe una base \( \{y_j+W\}_{j\in J} \) de \( V/W \) formada por vectores propios de \( \overline{T} \) donde podemos suponer que \( \mu_j \) es el valor propio asociado a \( y_j+W \) para cada \( j\in J \), donde \( \lambda_i\neq\mu_j \) para cada
\( i\in I, j\in J \).
Usando la definición general de diagonalizabilidad, debemos construir una base de \( V \) formada por vectores propios de \( T \).
Mi propuesta de tal base sería
\(
\gamma=\{x_i\mid i\in I \}\cup\{y_j\mid j\in J\}
 \)
Claramente los \( x_i \) son vectores propios de \( T \) pues lo son de \( T_{\mid W} \).
Lo que me falta mostrar es que los \( y_j \) son vectores propios de \( T \), ahí me trabo.
También me falta mostrar que \( \gamma \) es l.i, o sea que cualquier subconjunto finito de \( \gamma \) es l.i y que \( \gamma \) genera a \( V \), o sea, que cualquier vector de \( V \) se escribe como una combinación lineal finita de \( \gamma \).
Es lo que no veo como formalizarlo.

03 Julio, 2022, 10:19 am
Respuesta #7

martiniano

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Hola.



Lo que me falta mostrar es que los \( y_j \) son vectores propios de \( T \), ahí me trabo.

Es normal que te trabes porque no lo son. Toma \[ T:\mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R^2}} \] dada por \[ T(x, y) =(x, x-y)  \]. Toma también \[ W=\left<{(0,1)}\right> \] y \[ V/W=\left<{(1, 1)+W}\right> \].

Tienes que las bases dadas para \[ W \] y para \[ V/W \] son bases de autovectores de \[ T_{|W}  \] y \[ \overline{T} \] respectivamente, pero \[ (1,1) \] no es autovector de \[ T \].

También me falta mostrar que \( \gamma \) es l.i, o sea que cualquier subconjunto finito de \( \gamma \) es l.i.

Eso creo que lo tienes aquí:

Tenemos que todo \[ v_i \] está fuera de \[ W \] ya que, en otro caso, \[ v_i+W=W \] sería el elemento neutro de \[ V/W \] y no podría formar parte de una base. También que los \[ v_1,...,v_m\in{V} \] son linealmente independientes, de otro modo no lo serían los  \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] y no serían base. Con esto \[ B=\{u_1,...u_n,v_1,...,v_m\} \] es una base de \[ V \].

Lo de que esa base genera efectivamente \[ V \] es fácil de ver. Usa que todo \[ x\in{V} \] pertenece a algún \[ v+W\in{}V/W \]. Tenemos que \[ v+W \] es combinación lineal de algunos de los vectores de la base de \[ V/W \] por lo que \[ v \] lo será de algunos de los representantes de los elementos de dicha base. También que \[ x-v \] es CL de algunos de los vectores de la base de \[ W \]. Con esto \[ x \] es CL de los vectores de \[ \gamma \].

03 Julio, 2022, 01:09 pm
Respuesta #8

JesusSaez

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Cierto, lo de mostrar que es \( \gamma \) base de \( V \) está muy bien.
El problema es que efectivamente los representantes de las clases no necesariamente son vectores propios y para mostrar que \( T \) es diagonalizable debo encontrar una base formada por vectores propios de \( V \), entonces si la base \( \gamma \) no es una base formada por vectores propios, ¿Cómo puedo construir una base de \( V \) formada por vectores propios?, eso necesitaría para mostrar que \( T \) es diagonalizable de acuerdo a la definición general de diagonalizabilidad.

03 Julio, 2022, 02:18 pm
Respuesta #9

martiniano

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Hola.

¿Cómo puedo construir una base de \( V \) formada por vectores propios?

Pues ahora mismo no se me ocurre cómo, pero es posible que, igual que en el caso de dimensión finita, no se necesite hallar esa base explícitamente sinó tan sólo probar su existencia con el teorema de las multiplicidades algebraica y geométrica o algo así.

Tengo la sensación de que estamos cerca. Tal vez dentro de poco aparezca alguien a echarnos una manita. :)

Un saludo.