Autor Tema: Existencia de una función continua.

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04 Julio, 2022, 07:51 am
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JesusSaez

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Sea \( f \) una función integrable en el intervalo \( [a,b] \) y \( \epsilon>0 \) Demostrar que existe una función continua \( g \) tal que
\(
\int_a^b |f(x)-g(x)|^2<\epsilon
 \)

04 Julio, 2022, 08:07 am
Respuesta #1

Masacroso

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Sea \( f \) una función integrable en el intervalo \( [a,b] \) y \( \epsilon>0 \) Demostrar que existe una función continua \( g \) tal que
\(
\int_a^b |f(x)-g(x)|^2<\epsilon
 \)

¿Qué te parece la función \( g:=f+\delta  \), siendo \( \delta  \) una constante tal que \( \delta ^2(b-a)<\epsilon  \)?

Ups, despiste, creía que \( f \) era continua. En el caso general, de \( f \) Lebesgue integrable, tienes que utilizar la definición de la integral de Lebesgue para, a partir de una función simple que aproxime a \( f \), crear una función escalonada que a su vez aproxime a la función simple, y luego una función continua que a su vez aproxime a la función escalonada y que cumpla con lo requerido.

Si la integral es de Riemann es bastante más sencillo, ya que de la definición de la integral de Riemann tienes una sucesión de funciones escalonadas cuya integral converge a la integral de \( f \) (éstas son las funciones escalonadas que se definen implícitamente con una suma de Riemann). A partir de una función escalonada así creas una función continua que la aproxime y que cumpla con lo requerido.

Nota: una función escalonada en \( [a,b] \) es una función de la forma \( s(x):=\sum_{k=1}^n c_k \mathbf{1}_{(x_k,x_{k+1}]}(x) \) tal que \( x_{n+1}=b \) y \( x_1=a \). Hacer dibujos de funciones escalonadas que aproximan una función continua te va a ayudar mucho a entender el ejercicio y hallar su solución.

Corregido. Gracias Luis, despiste magistral de buena mañana  :laugh:

04 Julio, 2022, 08:20 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

¿Qué te parece la función \( g:=f+\delta  \), siendo \( \delta  \) una constante tal que \( \delta ^2(b-a)<\epsilon  \)?

Cuidado, porque el enunciado dice que \( f \) es integrable, pero no necesariamente continua. Sin embargo pide que la función \( g \) sea continua.

Saludos.

04 Julio, 2022, 09:07 am
Respuesta #3

JesusSaez

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Si, la función es Riemann integrable, de hecho la hipótesis no supone continuidad de \( f \).
Entonces, para construir la función \( g \) que si debe ser continúa que cumpla la desigualdad, ¿Es por funciones escalonadas o cómo construyo la \( g \)?

04 Julio, 2022, 10:07 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Si, la función es Riemann integrable, de hecho la hipótesis no supone continuidad de \( f \).
Entonces, para construir la función \( g \) que si debe ser continúa que cumpla la desigualdad, ¿Es por funciones escalonadas o cómo construyo la \( g \)?

Si. Es la idea que te ha indicado Masacroso:

Ups, despiste, creía que \( f \) era continua. En el caso general, de \( f \) Lebesgue integrable, tienes que utilizar la definición de la integral de Lebesgue para, a partir de una función simple que aproxime a \( f \), crear una función escalonada que a su vez aproxime a la función simple, y luego una función continua que a su vez aproxime a la función escalonada y que cumpla con lo requerido.

1) Por ser Lebesgue integrable existe una función simple (escalonada) de forma que la integral de la diferencia con \( f \) es tan pequeña como quieras.

2) Dada una función simple, existe una función continua cuya integral de la diferencia es tan pequeña como quieras.

3) Combina ambas cosas.

Saludos.

04 Julio, 2022, 10:10 am
Respuesta #5

JesusSaez

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No, pero es Rienman integrable, no es Lesbegue integrable

04 Julio, 2022, 10:33 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

No, pero es Rienman integrable, no es Lesbegue integrable

Pues es la misma idea. Entonces tienes una función escalonada (una suma inferior o superior) tan próxima a la original como quieras; a su vez la función escalonada se puede aproximar por una continua (sustituyendo los saltos por segmentos de recta de pendiente elevada).

Saludos.