[JesusSaez]

Sea \( (\mathbb{Q},d) \) el espacio métrico donde \( d(p.q)=|p-q| \). Considere el espacio
\(
E=\{q\in\mathbb{Q}\mid 2<q^2<3\}.
 \)
Demostrar que \( E \) es cerrado y acotado pero NO es compacto.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( (\mathbb{Q},d) \) el espacio métrico donde \( d(p.q)=|p-q| \). Considere el espacio
\(
E=\{q\in\mathbb{Q}\mid 2<q^2<3\}.
 \)
Demostrar que \( E \) es cerrado y acotado pero NO es compacto.

A la hora de precisar los argumentos, hay que saber que resultados y definiciones previas te han dado. Los detalles pueden variar bastante en función de esto.

Pero en principio:

- Es acotado. Comprueba que \( E\subset (1,3)\cap \Bbb Q=B(2,1) \) (bola de radio \( 1 \) y centro \( 2 \)).

- Es cerrado. Puedes ver que su complementario es abierto. Ten en cuenta que dado que \( \sqrt{2},\sqrt{3}\not\in \Bbb Q \),

\( \Bbb Q-E=\{x\in \Bbb Q|q^2<2\text{ ó }q^3\}=\{x\in \Bbb Q|q^2<2\}\cup \{x\in \Bbb Q|q^3>3\} \)

- NO compacidad. No se que definición de han dado. Para espacios métricos es equivalente la compacidad con la compacidad secuencial, y a dependiendo del contexto y autor se da una u otra como definición.

 Si usas la definición de compacidad basada en recubrimientos por abiertos toma:

\( U_n=\{q\in \Bbb Q|x_n<q<y_n\} \)

 donde \( x_n<y_n \) son sucesiones de racionales convergentes respectivamente a \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \), la primera decreciente y la segunda creciente. Justifica la existencia de las mismas.

 Comprueba que \( \{U_n\} \) es un recubrimiento por abiertos de \( E \) del cuál no puedes extraer un subrecubrimiento finito.

 Si usas la definición por compacidad secuencial considera una sucesión de racionales \( \{x_n\}\subset E \) convergente a \( \sqrt{2} \) y deduce que no tiene ninguna subsucesión convergente en \( E \).

Saludos.

[JesusSaez]

De hecho tengo las dos definiciones, bueno la de compacidad  secuencial tengo entendido que es por el Teorema de Bolzano Weistrass, ¿Es correcto?.
Aunque de hecho como estos ejercicios son de preparación para un examen de admisión a maestría, supongo que se utilizaría la definición convencional de compacidad, la de recubrimientos.

Para justificar la existencia de las sucesiones convergentes a \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \) decreciente y creciente, ¿sería con la densidad de los racionales o cómo le podría hacer? Se que como ambos números son irracionales hay sucesiones de racionales que convergen a ellos, pero se me complica como justificar su existencia.
Una vez teniendo la sucesión, ¿Usaría la densidad para mostrar que el recubrimiento de las  \( U_n \) no tiene subrecubrimientos finitos?

[Luis Fuentes]

Hola

Para justificar la existencia de las sucesiones convergentes a \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \) decreciente y creciente, ¿sería con la densidad de los racionales o cómo le podría hacer? Se que como ambos números son irracionales hay sucesiones de racionales que convergen a ellos, pero se me complica como justificar su existencia.

Si, por ejemplo vale por la densidad de los raciones. Eso hace que en el intervalo \( (\sqrt{2},\sqrt{2}+1/n) \) siempre exista un racional.

De todas formas insisto en que es clave saber como se ha ido construyendo la teoría previa para precisar en que resultados se puede apoyar uno.

Digamos que llega un momento que uno usará sin mayor justificación que cualquier número real es límite de sucesiones de racionales, crecientes o decrecientes según interese.

Una vez teniendo la sucesión, ¿Usaría la densidad para mostrar que el recubrimiento de las  \( U_n \) no tiene subrecubrimientos finitos?

Más o menos. Los intervalos \( U_n \) son una sucesión creciente de conjuntos, es decir, \( U_n\subset U_{n+1}. \)

La unión de un número finito de ellos es "el más grande", \( U_N \). Simplemente tienes que ver que \( U_N\neq U. \) Es bastante obvio; por ejemplo por construcción \( y_{N+1}\in U \) pero \( y_{N+1}\not\in U_N \)

Saludos.