Autor Tema: Analizar la continuidad y diferenciabilidad de una función dada

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30 Junio, 2022, 12:06 am
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JesusSaez

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Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \), \( \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \). Definamos \( f \) por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
{x^2+y^2}&\text{si }& x,y\in\mathbb{Q}\\
0& \text{si }& x\in\mathbb{I}\text{ ó }y\in\mathbb{I}
\end{cases}
 \)
a)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) contínua?
b)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) diferenciable?
Justifique sus afirmaciones.

30 Junio, 2022, 08:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola



Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \), \( \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \). Definamos \( f \) por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
{x^2+y^2}&\text{si }& x,y\in\mathbb{Q}\\
0& \text{si }& x\in\mathbb{I}\text{ ó }\color{red}y\color{black}\in\mathbb{I}
\end{cases}
 \)
a)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) contínua?

Comprueba que en los puntos \( (x,y) \) con alguna coordenada irracional NO es continua, porque te puedes aproximar a tales puntos sobre racionales de manera que el límite de la función sobre ellos valdría \( x^2+y^2\neq 0 \); y sin embargo \( f(x,y)=0 \).

Pero si es continua en el origen ya que en cualquier caso:

\( \|f(x,y)-f(0,0)\|=\|f(x,y)\|\leq x^2+y^2=\|(x,y)\|^2 \)

(completa los detalles)

Citar
b)¿En qué puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es \( f \) diferenciable?
Justifique sus afirmaciones.

Donde no es continua no es diferenciable; así que la única posibilidad de diferenciabilidad es en el origen.

Comprueba que las parciales en el origen existen y son nulas. Por ejempo:

\( \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \)

Si \( h \) es racional: \( \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h \) y el límite es cero.
Si \( h \) es irracional: \( \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\dfrac{0}{h}=0 \) y el límite es cero.

Por tanto el límite existe y es nulo. Lo análogo para la otra parcial.

Entonces si fuese diferenciable en cero la aplicación diferencial sería la nula, y hay que comprobar que:

\( \displaystyle\lim_{(u,v) \to (0,0)}\dfrac{f(0+u,0+v)-f(0,0)}{\|(u,v)\|}=0 \)

Verifica que efectivamente ese límite es cero y por tanto SI es diferenciable en el origen.

Completa los detalles y pregunta la dudas.

Saludos.

30 Junio, 2022, 10:03 pm
Respuesta #2

JesusSaez

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Muchas gracias.
Entiendo que en las coordenadas racionales \( (x,y) \) diferentes de cero no es continua porque hay un sucesión de coordenadas irracionales \( \{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}} \) tal que \( (x_n,y_n)\rightarrow (x,y) \), pero \( f(x_n,y_n)=0 \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) mientras que \( f(x,y)=x^2+y^2\neq 0 \) y en consecuencia \( f(x_n,y_n)\nrightarrow f(x,y) \), ya que la sucesión constante cero converge a cero y sabemos que el punto límite de una sucesión es único. Por la equivalencia de la continuidad por sucesiones tenemos que \( f \)  no es continua en \( (x,y)\in\mathbb{Q}^2\setminus\{(0,0)\} \) .
¿Es correcto mi razonamiento?

01 Julio, 2022, 07:48 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias.
Entiendo que en las coordenadas racionales \( (x,y) \) diferentes de cero no es continua porque hay un sucesión de coordenadas irracionales \( \{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}} \) tal que \( (x_n,y_n)\rightarrow (x,y) \), pero \( f(x_n,y_n)=0 \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) mientras que \( f(x,y)=x^2+y^2\neq 0 \) y en consecuencia \( f(x_n,y_n)\nrightarrow f(x,y) \), ya que la sucesión constante cero converge a cero y sabemos que el punto límite de una sucesión es único. Por la equivalencia de la continuidad por sucesiones tenemos que \( f \)  no es continua en \( (x,y)\in\mathbb{Q}^2\setminus\{(0,0)\} \) .
¿Es correcto mi razonamiento?

Es correcto.

Saludos.