Autor Tema: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

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17 Enero, 2022, 02:02 am
Respuesta #10

manooooh

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Hola

Es que solo separó la exponencial, una elevada a -3 y otra a -4i

Ya, pero luego de eso tiene que \( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=\color{blue}({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\color{black}\cdot({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i} \).

Pero lo marcado en azul no es verdad que en general sea igual a: \( ({2{{\sqrt 2}})^{-3}(e^{3\pi i/4}})^{-3} \), si es lo que hizo, porque el exponente es negativo, ¿no?

(...) \( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\cdot ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i}=\\=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{-9\pi/4 i}\right)\cdot \left(e^{3\pi}(2\sqrt{2})^{-4i}\right) \) (...)

Aquí lo mismo, por ejemplo si \( a=2,\,b=-3,\,p=-2 \) se tiene que \( (ab)^p\neq a^pb^p \).

Saludos

17 Enero, 2022, 02:08 am
Respuesta #11

Zaragoza

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Hubo un error groseo de tipeo ya lo he corregido, tal vez eso sea?  (aparecía un signo en el exponente que no debía estar)
Algo así? Sea $$z=(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

$$
-2+2i=2{\color{red}{\sqrt 2}}(-\frac{1}{{\color{red}{\sqrt 2}}}+\frac{i}{{\color{red}{\sqrt 2}}})=2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=e^{3\pi}(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
Luego se me viene a la mente lo siguiente, pero no estoy seguro

$$
(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}=e^{(-3-4i)\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=e^{-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}e^{-(4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}})i}\Rightarrow |z|=e^{3\pi-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=\frac{e^{3\pi}}{16\sqrt 2}\wedge \mathrm{Arg}(z)=-\frac{9\pi}{4}-4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}} +(2\pi)(2)\approx 1.34 \in]-\pi,\pi[
$$
entonces ese sería el argumento principal.

17 Enero, 2022, 02:15 am
Respuesta #12

ingmarov

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Hola

Es que solo separó la exponencial, una elevada a -3 y otra a -4i

Ya, pero luego de eso tiene que \( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=\color{blue}({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\color{black}\cdot({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i} \).

Pero lo marcado en azul no es verdad que en general sea igual a: \( ({2{{\sqrt 2}})^{-3}(e^{3\pi i/4}})^{-3} \), si es lo que hizo, porque el exponente es negativo, ¿no?

Ahora que veo mi cita del procedimiento de Zaragoza, no veo la exponencial mal puesta. Estaba bien.



(...) \( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\cdot ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i}=\\=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{-9\pi/4 i}\right)\cdot \left(e^{3\pi}(2\sqrt{2})^{-4i}\right) \) (...)

Aquí también no lo veo bien, por ejemplo si \( a=2,\,b=-3,\,p=-2 \) se tiene que \( (ab)^p\neq a^pb^p \).

Esto lo veo bien, a ver

\( a=2 \)
\( b=-3=3e^{\pi i} \)

\[ (2\cdot -3)^{-2}=(-6)^{-2}=(6e^{\pi i})^{-2}=6^{-2}e^{-2\pi i} \]

\[ (2\cdot -3)^{-2}=(2)^{-2}\cdot (-3)^{-2}=2^{-2}\cdot (3e^{\pi i})^{-2}=2^{-2}\cdot (3^{-2}e^{-2\pi i})=(6^{-2})e^{-2\pi} \]


Quizás pensabas en algo como lo siguiente:
a=-2, b=-3, p=1/2

Probemos

\[ ((-2)\cdot(-3))^{\frac{1}{2}}=(2e^{(\pi+2k\pi)i}\cdot 3e^{(\pi+2t\pi)i})^{\frac{1}{2}}=(6e^{(2\pi +2u)i})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}e^{(\pi+u\pi)i} \]

\( ((-2)\cdot(-3))^{\frac{1}{2}}=(-2)^{\frac{1}{2}}\cdot (-3)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\cdot e^{(\frac{\pi}{2}+k\pi)i}\cdot \sqrt{3}\cdot e^{(\frac{\pi}{2}+t\pi)i}=\sqrt{6}e^{(\pi+u\cdot \pi)i} \)


u=k+t


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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17 Enero, 2022, 02:35 am
Respuesta #13

ingmarov

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Hubo un error groseo de tipeo ya lo he corregido, tal vez eso sea?  (aparecía un signo en el exponente que no debía estar)
Algo así? Sea $$z=(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

$$
-2+2i=2{\color{red}{\sqrt 2}}(-\frac{1}{{\color{red}{\sqrt 2}}}+\frac{i}{{\color{red}{\sqrt 2}}})=2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=e^{3\pi}(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
Luego se me viene a la mente lo siguiente, pero no estoy seguro

$$
(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}=e^{(-3-4i)\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=e^{-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}e^{-(4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}})i}\Rightarrow |z|=e^{3\pi-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=\frac{e^{3\pi}}{16\sqrt 2}\wedge \mathrm{Arg}(z)=-\frac{9\pi}{4}-4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}} +(2\pi)(2)\approx 1.34 \in]-\pi,\pi[
$$
entonces ese sería el argumento principal.

En el argumento tienes \( (2\pi)(2) \) En eso no coinciden las respuestas.

...

\( ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-3}\cdot ({2{{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{-4i}=\\=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{-9\pi/4 i}\right)\cdot \left(e^{3\pi}(2\sqrt{2})^{-4i}\right)=\left((2\sqrt {2})^{-3}e^{3\pi}\right)\cdot \left(e^{-9\pi/4 i}e^{ln(2\sqrt{2})(-4i)}\right)=\\= \left((2\sqrt {2})^{-3}e^{3\pi}\right)\cdot e^{(-9\pi/4-4ln(2\sqrt{2}))i} \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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17 Enero, 2022, 05:25 am
Respuesta #14

Zaragoza

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Si, es que mi idea de argumento principal es que se encuentre en el intervalo $$]-\pi,\pi[$$, entonces debo sumarle o restarle una cantidad de vueltas  para que eso ocurra, y cumple únicamente sumándome 2 vuelvas.

17 Enero, 2022, 05:26 am
Respuesta #15

Masacroso

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Otra forma de hacer el cálculo es el siguiente: en principio tenemos que \( z^{w}:=e^{w\operatorname{Log} z}=e^{w(\log |z|+i\operatorname{Arg} z)} \), por tanto tenemos que \( \operatorname{Arg}(z^{w})= \operatorname{Re}(w)\operatorname{Arg} z+\operatorname{Im}(w)\log |z| \), donde en lo anterior he considerado a \( \operatorname{Arg} \) y \( \operatorname{Log} \) como "funciones multivaluadas". Si queremos obtener el argumento principal de \( z^w \) entonces primero tomamos el argumento principal de \( z \) y luego, del conjunto anterior de argumentos módulo \( [0,2\pi) \), tomamos el único representante que pertenezca al conjunto \( (-\pi,\pi] \).

17 Enero, 2022, 05:28 am
Respuesta #16

ingmarov

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Si, es que mi idea de argumento principal es que se encuentre en el intervalo $$]-\pi,\pi[$$, entonces debo sumarle o restarle una cantidad de vueltas  para que eso ocurra, y cumple únicamente sumándome 2 vuelvas.

Entendido, no me preocupaba eso, solo me interesaba darte una idea para que lo pudieras resolver.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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17 Enero, 2022, 06:14 am
Respuesta #17

Zaragoza

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Gracias a todos los que se tomaron el tiempo  :aplauso: