Ana y Beto acuerdan en encontrarse a las 12 del medio día para almorzar. Ana llega a una hora con distribución uniforme en [0,60] medida en minutos a partir de las 12:00. Beto llega a una hora con distribución uniforme en [0,30].
Asumir que la hora de llegada de Ana y Beto son independientes.
1. Calcular la probabilidad de que Beto llegue antes que Ana.
Les cuento como lo resolví:
Como la hora de llegada de Ana y Beto son independientes \( f_{XY} (x,y)= \frac{1}{1800} \), luego calcule \( \displaystyle\int_0^{30} \int_{y=x}^{y=30}{\frac{1}{1800}}dydx \)
obteniendo como resultado 0.25.
Pero en la corrección que manda el docente esa prob es de 0,75.
no entiendo en que me equivoque.
Desde ya gracias por respuesta
La integral no es la correcta, tienes que calcular
\( \displaystyle{
\Pr [X<Y]=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}f_{Z}(x,y)d(x,y)
} \)
para \( Z:=(X,Y) \). Como \( X \) e \( Y \) son independientes, entonces \( f_{Z}=f_X\cdot f_Y \), quedando
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\Pr [X<Y]&=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}f_{Z}(x,y)d(x,y)\\
&=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}\frac1{30}\mathbf{1}_{[0,30]}(x)\cdot \frac1{60}\mathbf{1}_{[0,60]}(y)d(x,y)\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{(-\infty ,y)}\mathbf{1}_{[0,30]}(x)\,d x\right)\mathbf{1}_{[0,60]}(y)\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{[0,60]}\left(\int_{[0,\min\{y,30\}]}\,d x\right)\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{[0,60]}\min\{y,30\}\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\left(\int_{[0,30]}y\,d y+\int_{(30,60]}30\,d y\right)\\
&=\frac1{30\cdot 60}\left(\frac{30^2}2+30^2\right)\\
&=\frac1{60\cdot 30}\cdot 30^2\cdot \frac{3}{2}\\
&=\frac1{2}\cdot \frac{3}{2}\\
&=0,75
\end{align*}
} \)
