Autor Tema: Medida de Lebesgue en \[\mathbf{R^2}\]

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08 Enero, 2022, 03:34 pm
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MatematicaMente

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Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

08 Enero, 2022, 08:11 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

Puedes usar el principio de Cavalieri, que dice que si \( G\subset \mathbb{R}^2 \) es un conjunto Lebesgue medible entonces

\( \displaystyle{
\lambda _2(G)=\int_{\mathbb{R}}\lambda _1(G_{[x ]})\,d x
} \)

donde \( G_{[ x]}:=\{y\in \mathbb{R}:(x,y)\in G\} \) es lo que se denomina la sección de \( G \) en \( x \). Arriba \( \lambda _2 \) es la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^2 \) y \( \lambda _1 \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R} \).

09 Enero, 2022, 12:09 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

Si el grafo de la función \( G=\{(x,f(x)|x\in \Bbb R\} \) es medible sólo puede tener medida cero.

En otro caso existiría un conjunto \( H=G\cap [n,n+1)\times [m,m+1) \) con medida no nula \( \epsilon \). Como la medida se conserva por traslaciones, \( m(H+(0,t))=m(H)=\epsilon \) pero entonces:

\( m\left(\displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N} H+(0,1/n)\right)=+\infty \) (es la medida de la unión disjunta de infinitos conjuntos de medida \( \epsilon \))

Pero eso es imposible porque \( \displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N} H+(0,1/n)\subset [n,n+1)\times [m,m+2] \) que tiene medida \( 2 \).

Con esto sólo te queda ver que el grafo es un conjunto medible. Esto es cierto si \( f \) es medible, pero NO es necesariamente cierto si \( f \) es una función arbitraria.

Saludos.