Autor Tema: Duda sobre diferencial de funciones compuestas

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08 Enero, 2022, 07:38 am
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Francolino

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Hola,

Estaba leyendo unos apuntes y tengo una duda bastante básica que espero que me puedan aclarar.

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Sean: \( L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \) lineal, \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) y \( F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \) definido como: \[ F(z) = (f(z), L(z)) \], es claro que:

\( dF_x(v) = (\nabla f (x).v, Lv) \)

Pues, para mí no es claro lo que está en rojo. No entiendo bien qué es lo que está sucediendo en ninguna de las dos coordenadas. Agradecería si me pudieran explicar qué es lo que me estoy perdiendo.

Saludos.

08 Enero, 2022, 10:11 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

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Sean: \( L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \) lineal, \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) y \( F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \) definido como: \[ F(z) = (f(z), L(z)) \], es claro que:

\( dF_x(v) = (\nabla f (x).v, Lv) \)

Pues, para mí no es claro lo que está en rojo. No entiendo bien qué es lo que está sucediendo en ninguna de las dos coordenadas. Agradecería si me pudieran explicar qué es lo que me estoy perdiendo.

El miembro izquierdo de la igualdad en rojo debe de ser una notación, un tanto confusa, para referirse a la derivada direccional de \[ F \] en el punto \[ x \] según la dirección \[ v \].

Si \[ F \] es diferenciable lo de antes es igual al producto escalar del gradiente de \[ F \] en \[ x \] por el vector \[ v \], que es lo que tienes en el miembro derecho.

Un saludo.

08 Enero, 2022, 09:03 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola


De acuerdo con lo que dice martiniano, otra forma de llamar al miembro de la izquierda, es con el conocido nombre de diferencial de F en el punto x,  y la ecuación se da, precisamente por que L es lineal, un detalle más \( Lv=L(v) \)


Saludos

09 Enero, 2022, 12:38 am
Respuesta #3

Francolino

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Hola martiniano y delmar, gracias por interesarse en mi pregunta.

Hola.

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Sean: \( L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \) lineal, \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) y \( F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \) definido como: \[ F(z) = (f(z), L(z)) \], es claro que:

\( dF_x(v) = (\nabla f (x).v, Lv) \)

Pues, para mí no es claro lo que está en rojo. No entiendo bien qué es lo que está sucediendo en ninguna de las dos coordenadas. Agradecería si me pudieran explicar qué es lo que me estoy perdiendo.

El miembro izquierdo de la igualdad en rojo debe de ser una notación, un tanto confusa, para referirse a la derivada direccional de \[ F \] en el punto \[ x \] según la dirección \[ v \].

Si \[ F \] es diferenciable lo de antes es igual al producto escalar del gradiente de \[ F \] en \[ x \] por el vector \[ v \], que es lo que tienes en el miembro derecho.

Un saludo.
Ahora estaba leyendo en Wikipedia y, efectivamente, lo de la izquierda es la derivada direccional.

De todas formas, no entiendo cómo se llega a esto. ¿Cómo se calcula el diferencial (en general)?


Hola


De acuerdo con lo que dice martiniano, otra forma de llamar al miembro de la izquierda, es con el conocido nombre de diferencial de F en el punto x,  y la ecuación se da, precisamente por que L es lineal, un detalle más \( Lv=L(v) \)


Saludos

* No entiendo cómo se relaciona lo que dices del miembro izquierdo con que L sea lineal.
* Cuando dices "un detalle más \( Lv=L(v) \)", ¿te refieres a que \( Lv \) es notación para \( L(v) \) o a que en este caso se puede deducir que sean iguales? Claramente L es una función y "v" un vector, tiene sentido que L se esté aplicando a "v", pero me resulta raro que no hayan utilizado los paréntesis.


Nuevamente, gracias a ambos por responder. :)

Saludos.

09 Enero, 2022, 12:55 am
Respuesta #4

Masacroso

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En geometría diferencial la notación estándar para el diferencial es ésa o una parecida. Si tienes una función \( F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) suave entonces se define el diferencial (o tangencial) de \( F \) en \( x \) como la única función lineal \( dF_x:T_x\mathbb{R}^3\to T_{F(x)}\mathbb{R}^3 \) tal que

\( \displaystyle{
(dF_x V)h=(V(h\circ F))(x)
} \)

donde \( h \) es cualquier función suave en \( \mathbb{R}^3 \) que tome valores reales, y \( V \) un elemento cualquiera de \( T_{x}\mathbb{R}^3 \) (que actúa como una derivación sobre \( h\circ F \)).

Quizá la forma más sencilla de calcular el diferencial de una función sea utilizando curvas, es decir, para una variedad diferencial suave \( M \) sin borde y un \( V\in T_xM \) cualquiera se puede demostrar que existe una curva suave \( \varphi :(-1,1)\to M \) tal que \( \varphi (0)=x \) y \( \varphi '(0)=V \), y entonces se tiene la igualdad

\( \displaystyle{
d_xF\, V=\frac{d}{d t}\bigg |_0 (F\circ \varphi )(t)
} \)

En tu caso tienes entonces que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
d_xF\, V&=\frac{d}{d t}\bigg|_0 (F\circ \varphi )(t)\\
&=\left(\frac{d}{d t}\bigg|_0 (f\circ \varphi)(t), \frac{d}{d t}\bigg|_0 L\varphi(t)\right)\\
&=\left( d(f\circ \varphi)_0\left(\frac{d}{d t}\right), d(L\varphi)_0\left(\frac{d}{d t}\right)\right)\\
&=\left( df_{\varphi (0)}d\varphi_0\left(\frac{d}{d t}\right), dL_{\varphi (0)}d \varphi_0\left(\frac{d}{d t}\right)\right)\\
&=(df_{\varphi (0)}\varphi '(0), dL_{\varphi (0)}\varphi '(0))\\
&=(df_xV,dL_xV)\in T_{f(x)}\mathbb{R}^2\times T_{Lx}\mathbb{R}\cong T_{F(x)}\mathbb{R}^3
\end{align*}
} \)

Dado un \( x\in \mathbb{R}^n \) cualquiera usando los isomorfismos \( T_x\mathbb{R}^n\cong \mathbb{R}^n \), entonces tenemos que \( df_x\cong \partial f(x) \) y \( dL_x\cong \partial L(x)=L \), donde \( \partial  \) es la derivada de Fréchet. Finalmente utilizando el teorema de representación de Riesz tenemos que \( \partial f(x)V=\nabla f(x)\cdot V \), para cualquier \( V\in \mathbb{R}^3 \), quedando finalmente que

\( \displaystyle{
dF_x\, V\cong (\nabla f(x)\cdot V, LV)
} \)

No sé si esto te ayuda a aclarar algo o lo empeora aún más.

09 Enero, 2022, 01:48 am
Respuesta #5

Francolino

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Hola Masacroso, gracias por la trabajada respuesta.

Ahora estaba buscando y resulta que en el curso en ningún momento definimos el diferencial (al menos hasta donde he leído). Fue como un concepto asumido. Si mal no recuerdo, cuando queríamos calcularlo, procedíamos a calcular el jacobiano y le llamábamos diferencial. ¿Tiene esto algún sentido? ¿Es el mismo diferencial del que tú hablas?

Voy a ver si leo un poco más de esto y recién ahí estaré en condiciones de poder leer y hacer un esfuerzo por entender tu mensaje.

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No sé si esto te ayuda a aclarar algo o lo empeora aún más.
Digamos que todo ayuda. :) Ahora estoy tratando de ver cuáles son todos los conceptos que me faltan por ver para poder entender lo que estaba estudiando...

Saludos.

09 Enero, 2022, 02:08 am
Respuesta #6

delmar

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Hola martiniano y delmar, gracias por interesarse en mi pregunta.

Hola.

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Sean: \( L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \) lineal, \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) y \( F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \) definido como: \[ F(z) = (f(z), L(z)) \], es claro que:

\( dF_x(v) = (\nabla f (x).v, Lv) \)

Pues, para mí no es claro lo que está en rojo. No entiendo bien qué es lo que está sucediendo en ninguna de las dos coordenadas. Agradecería si me pudieran explicar qué es lo que me estoy perdiendo.

El miembro izquierdo de la igualdad en rojo debe de ser una notación, un tanto confusa, para referirse a la derivada direccional de \[ F \] en el punto \[ x \] según la dirección \[ v \].

Si \[ F \] es diferenciable lo de antes es igual al producto escalar del gradiente de \[ F \] en \[ x \] por el vector \[ v \], que es lo que tienes en el miembro derecho.

Un saludo.
Ahora estaba leyendo en Wikipedia y, efectivamente, lo de la izquierda es la derivada direccional.

De todas formas, no entiendo cómo se llega a esto. ¿Cómo se calcula el diferencial (en general)?


Hola


De acuerdo con lo que dice martiniano, otra forma de llamar al miembro de la izquierda, es con el conocido nombre de diferencial de F en el punto x,  y la ecuación se da, precisamente por que L es lineal, un detalle más \( Lv=L(v) \)


Saludos

* No entiendo cómo se relaciona lo que dices del miembro izquierdo con que L sea lineal.
* Cuando dices "un detalle más \( Lv=L(v) \)", ¿te refieres a que \( Lv \) es notación para \( L(v) \) o a que en este caso se puede deducir que sean iguales? Claramente L es una función y "v" un vector, tiene sentido que L se esté aplicando a "v", pero me resulta raro que no hayan utilizado los paréntesis.


Nuevamente, gracias a ambos por responder. :)

Saludos.

El diferencial en un punto u de un campo vectorial diferenciable F (pongo u en lugar de x para claridad), es un transformación lineal :

\( T_u:R^3\rightarrow{R^3} \)

      \(  \ \ v\rightarrow{T_u(v)} \)

Por ser \( T_u \) una transformación lineal tiene una representación matricial, respecto a la base canónica y se cumple \( T_u(v)=m(T_u).v \) (v como vector columna) y se tiene :

\( m(T_u)=\begin{bmatrix}{DF1_x}&{DF1_y}&{DF1_z}\\{DF2_x}&{DF2_y}&{DF2_z}\\{DF3_x}&{DF3_y}&{DF3_z}\end{bmatrix}_u \)

Donde \( F1,F2,F3 \) son los componentes del campo vectorial F, por que se tiene que F(u)=(F1(u),F2(u),F3(u)) evidentemente en la matriz están las derivadas parciales respecto a x,y,z, bajo estas condiciones \( T_u(v) \) es en efecto la derivada de F en la dirección del vector v, es lo mismo, el diferencial tal como se ha definido con la derivada direccional

Para aclarar un poco más se tiene que :

\( F:R^3\rightarrow{R^3} \)

   \( u\rightarrow{F(u)=(f(u),L1(u),L2(u))} \)

Donde  :

\( L:R^3\rightarrow{R^2} \)

   \( u\rightarrow{L(u)=(L1(u),L2(u))} \)

En consecuencia \( m(T_u)=\begin{bmatrix}{Df_x(u)}&{Df_y(u)}&{Df_z(u)}\\{DL1_x(u)}&{DL1_y(u)}&{DL1_z(u)}\\{DL2_x(u)}&{DL2_y(u)}&{DL2_z(u)}\end{bmatrix} \)

Además L es un campo vectorial lineal por hipótesis entonces es también una transformación lineal y se puede expresar :

\( L(u)=\begin{bmatrix}{a_1}&{b_1}&{c_1}\\{a_2}&{b_2}&{c_2}\end{bmatrix}u \) obviamente u como vector columna, de acá puedes obtener L1 y L2 y con ello verificar la ecuación del problema

Agregando para que se entienda mejor en el campo vectorial L se puede poner \( u=(x,y,z) \) para determinación de componentes y derivación parcial; por otro lado el jacobiano no es el diferencial, es su representación matricial. El diferencial es la transformación lineal que esta representada por el jacobiano


Saludos

09 Enero, 2022, 02:44 am
Respuesta #7

Francolino

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Hola delmar, gracias por responder.

Ahora me quedó mucho más claro todo este asunto. :) (Nada quita que luego vuelta a hacer alguna otra pregunta sobre este tema.)


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por otro lado el jacobiano no es el diferencial, es su representación matricial. El diferencial es la transformación lineal que esta representada por el jacobiano

Se ve que lo utilizábamos indistintamente para ahorrar notación...

Saludos.

09 Enero, 2022, 02:52 am
Respuesta #8

Masacroso

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Hola Masacroso, gracias por la trabajada respuesta.

Ahora estaba buscando y resulta que en el curso en ningún momento definimos el diferencial (al menos hasta donde he leído). Fue como un concepto asumido. Si mal no recuerdo, cuando queríamos calcularlo, procedíamos a calcular el jacobiano y le llamábamos diferencial. ¿Tiene esto algún sentido? ¿Es el mismo diferencial del que tú hablas?

Sí, con toda seguridad es lo mismo, sólo cambia la notación y el contexto teórico. Como has abierto este tema en el subforo de "geometría diferencial" he supuesto que es en este marco desde el que se habla, de ahí mi respuesta y notación, pero como te digo cuando las variedades diferenciales son los propios espacios euclídeos entonces todo se reduce a la derivada de Fréchet de toda la vida, que puede representarse por la matriz jacobiana de derivadas parciales.

09 Enero, 2022, 05:26 am
Respuesta #9

Francolino

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Hola Masacroso, gracias por responder.

De hecho, la base de mi consulta era sobre un texto de geometría diferencial introductorio... Pero no he visto esa definición de diferencial que comentas en el curso, es por esto que no estaba seguro de si se trataba del diferencial como jacobiano o tenía algo más de fondo.

Por el nivel de matemática que abarcamos en el curso, tu definición de diferencial parece "estar a la altura" del curso pero no la he visto aún en los apuntes que estoy leyendo y me resulta extraño porque ya ha aparecido el diferencial en algunas demostraciones y lo venía leyendo/interpretando de forma "intuitiva", es por eso que quise preguntar bien qué era.

Como dije antes: que no les sorprenda que vuelva con más dudas sobre este concepto más tarde, y gracias a todos por participar de la discusión. :)

Saludos.