Hola martiniano y delmar, gracias por interesarse en mi pregunta.
Hola.
Sean: \( L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \) lineal, \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) y \( F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \) definido como: \[ F(z) = (f(z), L(z)) \], es claro que:
\( dF_x(v) = (\nabla f (x).v, Lv) \)
Pues, para mí no es claro lo que está en rojo. No entiendo bien qué es lo que está sucediendo en ninguna de las dos coordenadas. Agradecería si me pudieran explicar qué es lo que me estoy perdiendo.
El miembro izquierdo de la igualdad en rojo debe de ser una notación, un tanto confusa, para referirse a la derivada direccional de \[ F \] en el punto \[ x \] según la dirección \[ v \].
Si \[ F \] es diferenciable lo de antes es igual al producto escalar del gradiente de \[ F \] en \[ x \] por el vector \[ v \], que es lo que tienes en el miembro derecho.
Un saludo.
Ahora estaba leyendo en Wikipedia y, efectivamente, lo de la izquierda es la derivada direccional.
De todas formas, no entiendo cómo se llega a esto. ¿Cómo se calcula el diferencial (en general)?
Hola
De acuerdo con lo que dice martiniano, otra forma de llamar al miembro de la izquierda, es con el conocido nombre de diferencial de F en el punto x, y la ecuación se da, precisamente por que L es lineal, un detalle más \( Lv=L(v) \)
Saludos
* No entiendo cómo se relaciona lo que dices del miembro izquierdo con que L sea lineal.
* Cuando dices "un detalle más \( Lv=L(v) \)", ¿te refieres a que \( Lv \) es notación para \( L(v) \) o a que en este caso se puede deducir que sean iguales? Claramente L es una función y "v" un vector, tiene sentido que L se esté aplicando a "v", pero me resulta raro que no hayan utilizado los paréntesis.
Nuevamente, gracias a ambos por responder. 
Saludos.
El diferencial en un punto
u de un campo vectorial diferenciable
F (pongo
u en lugar de
x para claridad), es un transformación lineal :
\( T_u:R^3\rightarrow{R^3} \)
\( \ \ v\rightarrow{T_u(v)} \)
Por ser \( T_u \) una transformación lineal tiene una representación matricial, respecto a la base canónica y se cumple \( T_u(v)=m(T_u).v \) (v como vector columna) y se tiene :
\( m(T_u)=\begin{bmatrix}{DF1_x}&{DF1_y}&{DF1_z}\\{DF2_x}&{DF2_y}&{DF2_z}\\{DF3_x}&{DF3_y}&{DF3_z}\end{bmatrix}_u \)
Donde \( F1,F2,F3 \) son los componentes del campo vectorial F, por que se tiene que
F(u)=(F1(u),F2(u),F3(u)) evidentemente en la matriz están las derivadas parciales respecto a x,y,z, bajo estas condiciones \( T_u(v) \) es en efecto la derivada de
F en la dirección del vector
v, es lo mismo, el diferencial tal como se ha definido con la derivada direccional
Para aclarar un poco más se tiene que :
\( F:R^3\rightarrow{R^3} \)
\( u\rightarrow{F(u)=(f(u),L1(u),L2(u))} \)
Donde :
\( L:R^3\rightarrow{R^2} \)
\( u\rightarrow{L(u)=(L1(u),L2(u))} \)
En consecuencia \( m(T_u)=\begin{bmatrix}{Df_x(u)}&{Df_y(u)}&{Df_z(u)}\\{DL1_x(u)}&{DL1_y(u)}&{DL1_z(u)}\\{DL2_x(u)}&{DL2_y(u)}&{DL2_z(u)}\end{bmatrix} \)
Además L es un campo vectorial lineal por hipótesis entonces es también una transformación lineal y se puede expresar :
\( L(u)=\begin{bmatrix}{a_1}&{b_1}&{c_1}\\{a_2}&{b_2}&{c_2}\end{bmatrix}u \) obviamente
u como vector columna, de acá puedes obtener L1 y L2 y con ello verificar la ecuación del problema
Agregando para que se entienda mejor en el campo vectorial
L se puede poner \( u=(x,y,z) \) para determinación de componentes y derivación parcial; por otro lado el jacobiano no es el diferencial, es su representación matricial. El diferencial es la transformación lineal que esta representada por el jacobiano
Saludos
