[LunaeTD]

Buenas, tengo una duda de como resolver el siguiente ejercicio:

Hallar el valor de \( x \) para que el cociente \( 3\pi/x \) sea:

a) Un número real positivo.
b) Un número real negativo.
c) Un número imaginario puro con su parte imaginaria positiva.
d) Un número imaginario puro con su parte imaginaria negativa.

He buscado varias explicaciones, pero aparecían explicadas con un cociente que tenía parte imaginaria, siguiendo esta lógica; para que un número complejo sea real, la parte imaginaria debe ser nula; y también; para que un número complejo sea imaginario puro, la parte real debe ser nula. Pero, siguiendo esto, las soluciones no tienen sentido. O bien porque no tiene solución, o porque hay otra forma de hacerlo, la cual no he encontrado.

Gracias.

[Masacroso]

En general, si \( z,w\in \mathbb{C} \) y \( w\neq 0 \) entonces \( \frac{z}{w}=\frac{z\cdot \bar w}{|z|^2} \) donde, si por ejemplo \( w=a+bi \) entonces \( |w|^2=w\cdot \bar w=a^2+b^2 \) con \( \bar w=a-bi \) el conjugado de \( w \). Como \( |w|^2 \) es siempre un número real no negativo entonces para que \( \frac{z}{w} \) tenga alguna de las propiedades del ejercicio es suficiente con que esas propiedades las tenga \( z\cdot \bar w \). Utilizando un complejo genérico \( w=a+bi \) puedes ver cuáles son los valores que debería tomar \( a \) y \( b \) para que \( z\cdot \bar w \) tenga la propiedad que deseas, siendo en este caso \( z=3\pi \).