[PedroGzlez]

Hola:
Alguna idea de cómo se podría probar que la serie \( \displaystyle\sum \frac{1}{n} (1-\frac{\pi}{1})(1-\frac{\pi}{2})\cdots (1-\frac{\pi}{n}) \) converge o diverge? 

[Samir M.]

Hola.

La siguiente respuesta no se corresponde con la pregunta del post (distintas funciones). No obstante, la dejo aquí por si alguien buscase esta solución.

Observa que si \( f(x)= \dfrac{1-{\frac{\pi}{x}}}{x} \) entonces se tiene que \( f(x) \) es monótona decreciente. Como \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_1^{n} f(x) dx = \infty  \) entonces \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1-{\frac{\pi}{n}}}{n}  \), tu serie, diverge.


Saludos.

[Masacroso]

Hola:
Alguna idea de cómo se podría probar que la serie \( \displaystyle\sum \frac{1}{n} (1-\frac{\pi}{1})(1-\frac{\pi}{2})\cdots (1-\frac{\pi}{n}) \) converge o diverge? 

Pista: tu serie se puede escribir como

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}\frac1{n}\prod_{k=1}^n \left(1-\frac{\pi}{k}\right)
} \)

Entonces puedes intentar comparar el productorio con cosas que sepas que hagan que la serie converja o diverja, por ejemplo ver si para algún \( m\in \mathbb{N} \) y \( C>0 \)

\( \displaystyle{
0\leqslant \prod_{k=m}^n\left(1-\frac{\pi}{k}\right)\leqslant \frac C{n}
} \)

para \( n \) suficientemente grande.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que:
\( \displaystyle a_n = \dfrac{\prod_{j=1}^n (1-\dfrac{\pi}{j})}{n}  \).
Mira que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1  \) y luego aplica el criterio de Raabe para ver su convergencia.
Editado
Habría que aplicar lo que dije a partir de \( n = 4 \) quiero decir \( a_n = \dfrac{\prod_{j=4}^n (1-\dfrac{\pi}{j})}{n}  \)

Puedes usar también que \( 1+x < e^x  \) sea \( \displaystyle s_n = -\pi\cdot \sum_{j=1}^n \dfrac{1}{n}  \) entonces:

\( a_n < \dfrac{e^{s_n}}{n}  \).

Editado

Hola.

Observa que si \( f(x)= \dfrac{1-{\frac{\pi}{x}}}{x} \) entonces se tiene que \( f(x) \) es monótona decreciente. Como \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_1^{n} f(x) dx = \infty  \) entonces \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1-{\frac{\pi}{n}}}{n}  \), tu serie, diverge.

Saludos.

Esto sería si la serie fuera:
\( \displaystyle \sum_{j=1}^n \dfrac{1-\dfrac{\pi}{n}}{n}  \)

[Samir M.]

Cierto es, leí mal el enunciado, disculpas.