Hola a todos!
Estoy algo atascada con lo siguiente.
Estaba calculando el grupo fundamental del plano proyectivo y como modelo tengo \( \mathbb{D}^2/\sim{} \), donde \( \sim{} \) es la relación antipodal. Para calcular el grupo utilicé el teorema de Seifert Van-Kampen y tomé \( U= X-[0,0] \) y \( V=int(\mathbb{D}^2) \). El punto básico que tengo es \( x_0=(1/2,0) \) y con esto tengo que al componer \( z(t)=(\displaystyle\frac{1}{2}cos(2\pi t), \displaystyle\frac{1}{2}sen(2\pi t)) \) con la función proyección obtengo un generador para el grupo \( \pi_1(U\cap{}V,x_0) \). Después de otro montón de cálculos tengo que si \( x_1=[1,0] \)([] es por la clase de equivalencia) entonces \( \beta =\bar{\delta}\circ{}\alpha\circ{}\delta \) es un generador de \( \pi_1(U,x_0) \), donde \( \alpha(t)=[cos(\pi t),sen(\pi t)] \) y \( \delta(t)=[1-\displaystyle\frac{t}{2},0] \). Ahora bien, para calcular el producto amalgamado tengo que el mapeo inclusión \( i \) de \( U\cap{V} \) a \( U \) debe inducir un homomorfismo de grupos, entonces tengo entendido que \( i_*[\gamma]=[\beta*\beta] \) pero no veo claro el por qué de esto último, me ayudaría mucho que alguien me ayudara a demostrar esta ultima afirmación.
De antemano muchas gracias.
