Autor Tema: Demostración de la desigualdad triangular.

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21 Febrero, 2021, 06:20 pm
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sugata

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Creo que es mi primer mensaje con una duda de un libro que estoy estudiando. Intentaré hacerlo lo mejor que pueda.

Las citas serán extractos del libro "Curso de Geometría básica" de Peter Buser y Antonio F. Costa de la editorial UNED. Del primer curso del Grado de matemáticas.
Para los que no quieran los conocimientos previos, que no hacen falta para los que dominan el tema, pueden saltar hasta las letras rojas.

Definición
Citar
Sea \( M \) un conjunto no vacío. Una función
\( \delta:M\times M\rightarrow{}\mathbb{R} \)
se llama metrica o también distancia sobre \( M \) si las condiciones siguientes se verifican para todo \( x, y, z\in{}M \)
1. \( \delta (x, y) >0 \) si \( x\neq y \), y \( \delta (x, x) =0 \)
2. \( \delta (x, y) =\delta (y, x)  \) simetria
3. \( \delta (x, y) \leq{}\delta (x, z)+\delta (z, y)  \) desigualdad triangular.

Ahora me piden demostrar que la métrica euclidiana en \( \mathbb{R}^2 \) es una métrica.
Los puntos 1 y 2 son casi inmediatos. Para la desigualdad triangular el libro no da respuestas, pero sí indicaciones.
Pongo el problema:
Citar
Dada la aplicación \( d_E:\mathbb{R} ^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow{}\mathbb{R}  \) definida por:
\( d_E(x, y) =\sqrt[ ]{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \)
Demostrar que \( (\mathbb{R} ^2,d_E) \) es un espacio métrico.
Para resolver esta desigualdad dan varias indicaciones.
1. Probar \( 2xy\leq x^2+y^2 \) (casi directo)
2. Usando 1 probar \( (ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+d^2) \) (casi directo.)

En este tercer punto tengo el problema
Citar
Usar el "viejo truco" :
\( x-z=x-y+y-z \)
En \( d((x_1,x_2),(z_1,z_2))^2 \)
Pero no consigo usar ese punto ya que no tengo ninguna expresión \( x-z \), ya que al elevar al cuadrado queda \( x_i ^2-2x_iz_i+z_i ^2 \)

Luego me pide comparar con el segundo miembro de la desigualdad, pero creo que si entiendo lo que quiere hacer aquí, puedo seguir.
Si veis que por aquí no se puede ir, pongo el resto, pero creo que debería poderse....

Off topic: mi opinión sobre el libro.
Spoiler
buff.... De lo más antipático que he visto. La notación complicada sin venir a cuento. Por ejemplo en los triángulos, en vez de denotar las aristas con minúscula del vertice opuesto las trata como segmentos [A, B].
La organización compleja. Habla de triángulos, da dos pinceladas y pasa isometrias, poco después habla de Geogebra....
Trata la Geometría en forma conjuntista y me cuesta mucho... Aunque si estuviera mejor organizado y usará notaciones "habituales" me sería más fácil.
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21 Febrero, 2021, 06:54 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Yo creo que cuesta más tratar de probarlo a lo bruto, como propone el libro, que de una forma más conceptual.

Si \( x=(x_1, x_2) \) e \( y=(y_1, y_2) \), define el producto escalar \( x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2 \) y observa que \( x(y_1+y_2)=x\cdot y_1 + x\cdot y_2 \).

Define la norma \( \|x\|=\sqrt{x\cdot x} = \sqrt{x_1^2+x_2^2} \).

En estos términos, \( d(x, y) = \|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \).

Si \( x=(a, c) \), \( y=(b, d) \), la desgualdad que has demostrado es

\( (x\cdot y)^2 = (ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)=\|x\|^2\|y\|^2 \), de donde \( |x\cdot y|\leq \|x\|\|y\| \).

Ahora observa que:

\( \|x+y\|^2 = (x+y)(x+y)=x(x+y)+y(x+y)=x\cdot x+y\cdot y+ 2x\cdot y\leq \|x\|^2+\|y\|^2+2|x\cdot y|\leq \|x\|^2+\|y\|^2+2\|x\|\|y\|=(\|x\|+\|y\|)^2 \).

Por lo tanto

\( \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\| \).

Y así la desigualdad triangular es inmediata:

\( d(x, z) = \|x-z\|=\|x-y+y-z\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|=d(x, y)+d(y, z) \).

Puedes verlo así o "traducir" el argumento para eliminar normas y productos escalares.

21 Febrero, 2021, 07:17 pm
Respuesta #2

sugata

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Gracias Carlos Ivorra, pero quería hacerlo con los conocimientos del libro, donde no se habla de normas (aunque si de distancias).
La demostración la tengo hecha geométricamente, que es mucho más sencilla. (doble de área de un rectángulo, menor que el área de un cuadrado de lado la diagonal del rectángulo.)
Lo que me descuadra es ese "viejo truco" y por qué lo hace elevando al cuadrado....
Luego sustituirá los a, b, c, y d, por restas de componentes... Me pierde....
Aunque si has leído el spoiler, me entenderás.

De todas formas, creo que con tu método puedo sacar alguna cosa en claro.

21 Febrero, 2021, 07:23 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Gracias Carlos Ivorra, pero quería hacerlo con los conocimientos del libro, donde no se habla de normas (aunque si de distancias).

Vale, pero observa que no he usado "más conocimientos". Sólo he introducido notación para expresar los cálculos más cómodamente, pero no hace falta saber nada que no se explique en el libro. En teoría, si quitas cada norma y cada producto que he puesto y los sustituyes por sus definiciones, tendrás una demostración "en los términos del libro", pero bastante farragosa, eso sí.

21 Febrero, 2021, 07:26 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Como propone el libro:
\( \displaystyle (x_1-z_1)^2+(x_2-z_2)^2 = (x_1-y_1+y_1-z_1)^2 + (x_2-y_2+y_2-z_2)^2 =  \)
\( \displaystyle = (x_1-y_1)^2 + (y_1-z_1)^2 + 2 \cdot (x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) +  (x_2-y_2)^2 + (y_2-z_2)^2 +  2 \cdot (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2) =  \)
\( \displaystyle =d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot (x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) + 2 \cdot (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2)  \)
Ahora usa  \(  (ab +cd) \leq \sqrt{(a^2+c^2) \cdot (b^2+d^2)}  \).

\( \displaystyle d^2(X,Z) = d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot ((x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) + (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2)) \leq d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot (\sqrt{(x_1-y_1)^2  +  (x_2-y_2)^2)}  \cdot \sqrt{((y_1-z_1)^2 + (y_2-z_2)^2)} =  \)
\( \displaystyle = (d(X,Y)+d(Y,Z))^2  \)

21 Febrero, 2021, 07:47 pm
Respuesta #5

sugata

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Gracias Carlos Ivorra, pero quería hacerlo con los conocimientos del libro, donde no se habla de normas (aunque si de distancias).

Vale, pero observa que no he usado "más conocimientos". Sólo he introducido notación para expresar los cálculos más cómodamente, pero no hace falta saber nada que no se explique en el libro. En teoría, si quitas cada norma y cada producto que he puesto y los sustituyes por sus definiciones, tendrás una demostración "en los términos del libro", pero bastante farragosa, eso sí.

Si, lo había visto, pero me inquietaba "el viejo truco"

Como propone el libro:
\( \displaystyle (x_1-z_1)^2+(x_2-z_2)^2 = (x_1-y_1+y_1-z_1)^2 + (x_2-y_2+y_2-z_2)^2 =  \)
\( \displaystyle = (x_1-y_1)^2 + (y_1-z_1)^2 + 2 \cdot (x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) +  (x_2-y_2)^2 + (y_2-z_2)^2 +  2 \cdot (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2) =  \)
\( \displaystyle =d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot (x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) + 2 \cdot (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2)  \)
Ahora usa  \(  (ab +cd) \leq \sqrt{(a^2+c^2) \cdot (b^2+d^2)}  \).

\( \displaystyle d^2(X,Z) = d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot ((x_1-y_1) \cdot (y_1-z_1) + (x_2-y_2) \cdot (y_2-z_2)) \leq d^2(X,Y) + d^2(Y,Z) + 2 \cdot (\sqrt{(x_1-y_1)^2  +  (x_2-y_2)^2)}  \cdot \sqrt{((y_1-z_1)^2 + (y_2-z_2)^2)} =  \)
\( \displaystyle = (d(X,Y)+d(Y,Z))^2  \)


¡¡¡Claro!!!
No pensé en usar "el viejo truco" dentro del cuadrado, ya que tendría 4 componentes al cuadrado y no podría usar el binomio cuadrado, pero agrupando como tu haces, claro que sale.
Muchas gracias a ambos. Continuaré con el libro y con las dudas, que serán muchas...