Muchas gracias por responder.
Mi inconveniente es esa inecuación, pues no sé como despejar la c. Cuando busco la resolución de la inecuación en, por ejemplo, Wolfram Alpha me devuelve un valor en la función W de Lambert, tema que aún no vi en la cursada.
¿Existe algún otro camino para poder encontrar la c?
Es que no te piden el ínfimo de los \( r_0 \), te piden
un \( r_0 \). Entonces, la función \( g(c)=e^c-4c \) es estrictamente creciente por ejemplo para \( c>4 \) (¿por qué?) y \( e^4-4>0 \). También, al ser \( e>2.5 \) queda
\( f(4)=e^4-2\cdot 4^2-4>(2.5)^4-2\cdot 4^2-4=39.0625-32-4=3.0625>0. \)
Concluyendo, para \( x>4 \) tenemos
\( \dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=e^c-4 >0 \)
con lo cual, \( f(x)=e^x-2x^2-4>f(4)>0 \) si \( x>r_0=4 \), o bien \( f(x)=e^x>2x^2+4 \) si \( x>r_0=4 \)
Fíjate que en
WolframAlpha el ínfimo de los valores de \( r_0 \) es \( 3.19551 \), pero con buen criterio, el enunciado sólo pide
un \( r_0 \) para no trabajar con el irracional \( e \).