Autor Tema: Hallar número cuyas cifras vayan dividiendo su posición.

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24 Enero, 2018, 04:41 am
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sugata

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En un libro que me regalaron de divulgación matemática (Things to make and do in Fourth dimension), encontré este problemilla.
Hallar un número de nueve cifras tal que cogiendo los números hasta una posición divida esa posición. Los números son del 1 al 9 y hay que usarlos todos.
El enunciado es de memoria, así que me explico.
Las dos primeras sean divisibles por 2, las tres primeras divisible por 3...
Yo lo he sacado al principio con razonamientos y al final a fuerza bruta.
Ahí va lo que he hecho yo.

No abrir si no se ha intentado
Por supuesto al no tener 0, en la quinta posición tenemos un 5.
Analizando los divisores de 4 con un impar delante salen siempre las mismas cifras finales 2 y 6, éstos irán en la posición 4 y 8 implicando que las posiciones 2 y 6 tendremos el 4 y el 8.
Así que tenemos algo de este estilo (Lo que hay en los paréntesis son posibles cifras y los asteriscos los desconocidos.)
\( *(4-8)*(2-6)\ 5\ (4-8)*(2-6)* \)

Ahora busco divisores de 6, sabiendo que su última cifra es par, o sea que los 6 primeros números solo tengo que buscar que sean múltiplos de 3
En las 6 primeras cifras tengo seguro una suma de 17 \( (4+8+5) \), así que busco que número tengo que sumar para que sea múltiplo de 3.
Y el número que sume a 17 debe ser par ya que buscamos 2 impares y un par.
Encuentro:
\( 10=6+3+1\\16=6+7+3\\16=6+1+9 \)

Con lo que en cuarta posición tengo un 6 y por tanto en la octava un 2
\( *(4-8)*65(4-8)*2* \)
Ahora con esas sumas pruebo los múltiplos de 3 para ver las primeras cifras.
En segundo lugar tengo un 4 o un 8
De la primera suma (6+3+1) uso los impares y los pruebo con el 4 y el 8 y sólo funciona con el 8 (3+1+8=12)
De las otras 2, actuando de la misma forma también sale 8.
\( 7+3+8\\6+1+9 \)
Así que ya tengo colocados todos los pares y analizando los múltiplos de 8 cuyas tres últimas cifras sean \( 4*2 \) sale que en la séptima posición solo pueden estar el 7 y el 3.
\( *8*654(3-7)2* \)
Y a partir de aquí usé la fuerza bruta dividiendo por 7 con las posibilidades que me quedaban.
A ver si podéis encontrar algo mejor. Yo no he podido, pero yo no se nada.
El número lo pongo en spoiler.
[cerrar]
El número es...
381654729
[cerrar]

P.D. ¿No se pueden anidar los Spoilers?


24 Enero, 2018, 09:16 am
Respuesta #1

feriva

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Uno puede ser éste (si no me he equivocado y si he entendido bien de qué se trata)

Spoiler

123252561

Ah, el método que he utilizado es la cuenta de la Vieja Modular

[cerrar]

Saludos.

24 Enero, 2018, 09:29 am
Respuesta #2

sugata

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Ah, el método que he utilizado es la cuenta de la Vieja Modular

[cerrar]



Saludos.



Se te ha olvidado la premisa de usar todos los números del 1 al 9.
Lo sé, me explico fatal.

24 Enero, 2018, 09:34 am
Respuesta #3

feriva

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Se te ha olvidado la premisa de usar todos los números del 1 al 9.
Lo sé, me explico fatal.

Ah, ya me parecía muy fácil. No te explicas mal, es que yo soy un desastre.

Saludos.

24 Enero, 2018, 09:41 am
Respuesta #4

sugata

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Se te ha olvidado la premisa de usar todos los números del 1 al 9.
Lo sé, me explico fatal.

Ah, ya me parecía muy fácil. No te explicas mal, es que yo soy un desastre.

Saludos.

Por lo que leí en el libro y comprobé por mi método, el número es único y lo he puesto en el spoiler.

24 Enero, 2018, 09:52 am
Respuesta #5

feriva

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Por lo que leí en el libro y comprobé por mi método, el número es único y lo he puesto en el spoiler.


No lo miraré aún. Creo que si me pusiera lo acabaría sacando, pero, por otra parte, seguro que dentro de poco llegará Luis y lo resolverá de la mejor y más elegante manera, así que para qué :)

24 Enero, 2018, 09:54 am
Respuesta #6

sugata

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Yo llego a un punto que lo saco a fuerza bruta, con las pocas combinaciones que me quedan y usando la calculadora.
El peor divisor es el 7. Ese es el que me mata.

24 Enero, 2018, 10:48 am
Respuesta #7

feriva

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Yo llego a un punto que lo saco a fuerza bruta, con las pocas combinaciones que me quedan y usando la calculadora.
El peor divisor es el 7. Ese es el que me mata.

Yo hago cábalas.

Spoiler

Sean los dígitos del número \( abcd5fghj
  \)

\( a+b+c \) es múltiplo de tres; y \( a+b+c+d+5+f
  \) también, porque el número es múltiplos de 6. Entonces implica que \( d+5+f
  \) es múltiplo de tres.

Luego, por los restos, \( d+f
  \) puede ser en principio 1 (5+1=6) pero no puede ser porque no pueden sumar 1.

También la suma puede ser igual a 4,7,10,13,16; no más, pues los dígitos distintos más grandes son 8+9=17.

Además, tienen que ser los dos pares por la posición que ocupan “d” y “f”. Y no puede ser cuatro, porque no está repetido el 2, que es la única suma de pares que da 4. Tampoco puede ser 16, entonces \( d+f=10
  \) donde un sumando vale 4 y el otro 6; pero sin poder especificar aún si es “f” o “d”...

Y así, siguiendo, pensando más cosas, creo que acabaría sacándolo algún día o algún año. Como llevo tiempo sin hacer nada de números, sin pensar en cosas de matemáticas, me cuesta.

A lo mejor a ratos lo sigo pensando.

[cerrar]

Saludos.

24 Enero, 2018, 12:18 pm
Respuesta #8

sugata

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Como sé que no quieres mi resolución completa, te dejo en spoiler cómo empecé, sin dar muchos datos.

Spoiler
Busca múltiplos de 4 con la cifra penúltima impar.
Recuerda las reglas de divisibilidad. Tendrás dos posiciones con dos números posibles....
[cerrar]

Editado: puse en Látex lo que iba en Spoiler

24 Enero, 2018, 12:19 pm
Respuesta #9

Ignacio Larrosa

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Yo llego a un punto que lo saco a fuerza bruta, con las pocas combinaciones que me quedan y usando la calculadora.
El peor divisor es el 7. Ese es el que me mata.

Si, para el 7 hay que hacer algunas pruebas, pero no son muchas. Yo lo vi hace ya mucho en un artículo del gran Martin Gardner en Investigación y Ciencia.

Spoiler
Es evidente que la 5ª cifra es 5, que los impares ocupan posiciones impares y los pares posiciones pares. Tenemos entonces que el número es de la forma:

abcd5fghi

Debe ser:

\( a + b +c \equiv{} d + 5 + f \equiv{} g + h + 1 \equiv{} 0\textrm{ mod }3\;\Rightarrow{}\{d, f\} = \{2, 8\}\textrm{ o }\{4, 6\} \)

Por otra parte \( cd\textrm{ y }gh \) deben ser múltiplos de \( 4 \), y al ser \( c\textrm{ y }g \) impares, obliga a que \( \{d, h\} = \{2, 6\} \).
Esto permite precisar que \( (d, f) = (2, 8)\textrm{ o }(6, 4) \). Estoy utilizando paréntesis para indicar vectores, con elementos dados en orden, y llaves para conjuntos, desordenados.

Además \( fgh \) debe ser divisible por \( 8 \), que como \( f \) es par, obliga a que \( gh \) sea divisible por \( 8 \), que como \( g \) es impar obliga a que sea \( h \in{}\{2, 6\} \)

1. \( (d, f) = (2, 8) \;\Rightarrow{}\; h = 6, b = 4\;\Rightarrow{}\; \{a, c\} = \{1, 7\} ,\{g, i\} = \{3, 9\}, g\in{}\{1, 9\} \)  POSIBLE
Es decir, dos posibilidades:

147258963
741258963

que no cumplen el criterio del 7.

2. \( (d, f) = (6, 4) \;\Rightarrow{}\; h = 2, b = 8\;\Rightarrow{}\; g\in{}\{3, 7\} \)  POSIBLE
Es decir, ocho posibilidades, considerando también la divisibilidad por \( 3 \):

183654729
381654729
189654327
189654723
981654327
981654723
789654321
987654321

Y el único que pasa la prueba del \( 7\textrm{ es el }381654729 \).
[cerrar]

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)