¿No podríamos simplemente decir que \( B=\{sin(n\pi/e)|n\in \Bbb n\}
 \) es denso en \( [-1;1] \) porque \( Cl(B)=[-1;1] \), considerando claro a éste como subespacio de \( R \) con la topología usual ?

Si. Si tienes una función \( f(x) \) con periodicidad \( p/q \) con \( p,q \) naturales coprimos, entonces evaluada sobre los naturales la periodicidad de \( f(n) \) es \( p \), o en otras palabras:

\( f(n)=f(n+p) \)

ó también:

\( \{f(n)|n\in \Bbb N\}=\{f(n)|n=1,2,\ldots,p\} \)

Que \( f(n)=f(n+p) \) es obvio por la periodicidad de \( f \) ya que:

\( f(n+p)=f(n+q\cdot (p/q))=f(n) \) (aquí usamos la \( p/q \) periodicidad de \( f(x) \))

Por otra parte si,

\( f(n)=f(m) \) (con ambas variables enteras)

entonces por la periodicidad sabemos que \( m-n=k\cdot (p/q) \). Como \( m-n \) es entero y \( p,q \) son coprimos, necesariamente \( k \) es múltiplo de \( q \) y así:

\( m=n+p\cdot (k/q) \)

luego eso muestra que el período es múltiplo de \( p \).

Aquí la función no sería periódica sobre los enteros, es decir, el conjunto:

\( \{sin(n\pi/e)|n\in \Bbb n\} \)

sería infinito. Además se puede probar que es denso en \( [-1,1] \).

Mira por aquí (y los otros hilos que allí se enlazan):

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115718.0

Saludos.

Para el punto 4) si \(  x  \not\in A
\cup B  \) , entonces \( \chi _{A \cup B }(x) = 0 \) dado que

\( \displaystyle x \not\in A \) y \( \displaystyle x \not\in B \)

\( \displaystyle \chi _A(x)+ \chi _B(x) - \chi _A(x)* \chi _B(x) = 0+0-0*0= 0 \)

Por tanto

\(  \displaystyle \forall x \in X \) se verifica

\( \displaystyle \chi  _{A \cup B}(x) = \chi _A(x) + \chi _B(x) - \chi _A(x) * \chi _B(x) \)

Lo cual implica que

\(  \displaystyle \chi _{A \cup B} = \chi _A + \chi _B - \chi _A * \chi _B \)

b) \( \displaystyle \chi _{A \cap B}= \chi _A * \chi _B \)

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \vee \chi _A(x) = 1 \vee \chi _B(x) =1 \)

Es decir, si \( \displaystyle x \in A \cap B \) entonces
\( \displaystyle \chi _{A \cap B}(x)= \chi _A(x) \chi _B(x) \)

Por otra parte

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  x \not\in A \vee x \not\in B \Rightarrow \chi _{A \cap B}(x) = 0 \vee ( \chi _A(x) = 0 \vee \chi _B(x)= 0) \)

Por tanto, si \( \displaystyle x \not\in A \cap B \) también

\( \displaystyle  \chi _{A \cap B}(x) = \chi _A(x) \chi _B(x) \)
Concluimos que

\( \displaystyle \chi _{A \cap B}=
\chi _A * \chi _B  \)

Para c)
\( \displaystyle \chi _{A^c} =1 - \chi _A  \)

Tenemos

\( \displaystyle x \in A \Rightarrow x \not\in A^c  \Rightarrow  \chi _A(x) =1 \vee \chi _{A^c}(x) = 0 \Rightarrow  \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

\( \displaystyle x  \not\in A \Rightarrow x \in A^c \Rightarrow \chi _A(x) = 0 \vee  \chi _{A^c}(x)=1 \Rightarrow \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

Cómo \(  \displaystyle \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \) para todo \( \displaystyle x \in X \) concluimos que \( \displaystyle \chi _{A^c} = 1 - \chi _A \)

Es correcto?

Cómo queda la parte d) y e) por favor ayúdame con esos puntos