Como se demuestra que Si una función \(  f \) es analítica en todos los puntos interiores a un contorno cerrado simple y sobre los puntos de C , entonces:

\(  \displaystyle\int_{c}^{} f \ (z) dz = 0  \)

Corrección: como expone Carlos más abajo lo que está en el spoiler no es cierto en general salvo si \( D \) resulta ser un disco cerrado (o un subconjunto de un disco cerrado) en el cual \( f \) sea analítica.

Hola de nuevo, tengo una duda. ¿La fórmula está diseñada para calcular "k" éxitos o "k" o más éxitos? Lo comento porque tal y como he trasladado la fórmula, a partir de un número de dados lanzados relativamente elevado, las probabilidades de éxito (obtener k ó más éxitos) decrece. Supongo que he trasladado incorrectamente la fórmula.

Sería un ejercicio muy interesante que entendieses la fórmula \( \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \) para saber exactamente lo que representa, así será más fácil que vayas entendiendo cómo funcionan las probabilidades. Por si te sirve te dejo una explicación.

La parte más fácil de entender de la fórmula \( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \) es ésta: \( p^k \), lo cual se puede entender como la probabilidad de que, dadas \( k \) posiciones determinadas de \( n \) posibles, en cada posición haya un éxito. Por otro lado \( (1-p)^{n-k} \) representa la probabilidad de no tener ningún éxito en las restantes \( n-k \) posiciones. Entonces \( p^k(1-p)^{n-k} \) se puede entender como la probabilidad de que, habiendo elegido \( k \) posiciones dentro de \( n \) posibles, justamente en esas \( k \) posiciones todos sean éxitos y en las restantes posiciones todos sean fracasos. (Aquí por posiciones, al tirar \( n \) veces el dado, entendemos \( k \) tiradas determinadas de las \( n \)).

Luego el objeto \( \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \) representa el número de conjuntos diferentes de \( k \) posiciones de \( n \) posibles, dicho de otro modo si tenemos el conjunto de posiciones \( P:=\{1,2,3,\ldots ,n\} \) entonces \( \binom{n}{k} \) sería el número de subconjuntos diferentes de \( P \) con exactamente \( k \) elementos.


Finalmente si definimos \( c:=\binom{n}{k} \) y \( q:=p^k (1-p)^{n-k} \) entonces \( c \) es el número total de formas diferentes posibles de tirar \( n \) veces un dado y obtener exactamente \( k \) éxitos, y \( q \) es la probabilidad de cualquiera de esas \( c \) jugadas, por tanto su producto \( c\cdot q \) es la probabilidad de que salga una de esas jugadas, es decir, la probabilidad de que al tirar un dado \( n \) veces salgan exactamente \( k \) éxitos.

Y lo que no me ha quedado claro es el apartado b, alguien podria ayudarme? Sería multiplicar los complejos de antes por (1/2)e^(pi/6)i
Perdonarme pero no se usar latex, disculparme
Muchas gracias a todos

Sobre lo del \( \LaTeX \), para aprender a usarlo, mira aquí. Sobre el aparatado b), la homotecia es multiplicar por \( 1/2 \) (mira aquí para ver la definición de homotecia) pero previamente a aplicar la homotecia giramos los puntos respecto al origen \( \pi/6 \) radianes, lo que equivale a multiplicar por \( e^{i\pi /6} \).

Por favor, transcribe el contenido que te interesa a \( \LaTeX \), tienes un tutorial sobre cómo utilizar \( \LaTeX \) aquí.

Hola gracias por la respuesta, ya ves se me hace dificil comprenderla de buenas a primeras, me gustaría me confirmes si el punto donde rota el hexágono es Z1 o Z0 yo entiendo que es Z1 pues tiene sus coordenadas en el origen.

El punto sobre el que rota el hexágono, para transformarlo en el nuevo hexágono, es el cero, que coincide con \( z_1 \).

Hola comunidad.

Tengo la siguiente esperanza \(  E(X|Y)  \)

Entonces, yo lo resuelvo como: \(  \sum_{x}\;x\;P(X|Y)  \)

Supongamos que tenemos para x = o y x = 1.

Entonces, me quedaría así: \(  0 * P(x=0/y) + 1 * P(x=1/y)  \)

¿cierto? Porfavor, gracias.

Sí, es correcto, pero ojo: si \( Y \) es una variable aleatoria entonces tanto \( E(X|Y) \) como \( P(X=k|Y) \) son variables aleatorias, no números. Si \( Y \) es un evento entonces lo anterior son números.

Hola Masacroso siendo la tercera vez que empiezo a escribir este mensaje , creo que  hay un gazapo, o no entiendo bien tu formula para calcular los complejos
\( e^{\frac{ik2\pi}{n}} \) genéricamente es un complejo que daría la dirección  y \( |z_1-z_0| \) daría la magnitud

me pregunto porque lo multiplicas por \( (z_1-z_0) \)  que es otro complejo cuando en realidad hay que sumarlos es decir

\( z_i-z_0=|z_1-z_0|e^{i(\frac{k2\pi}{n}+\phi_0)}  \)
siendo \( \phi_0=\arctan\dfrac{Im(z_4-z_1)}{Re(z_4-z_1)} \)
así tiene mas sentido para mi, o quizá es solo un gazapo  o no lo entiendo por estar viejo oxidado.

Si escribimos \( z=|z|e^{i \phi } \) entonces rotar \( z \) alrededor del origen \( \psi  \) radianes (en dirección contraria a las agujas del reloj) es el complejo \( |z|e^{i(\phi +\psi )}=z e^{i\psi } \), es decir, multiplicar por el complejo \( e^{i\psi } \) es rotar ese complejo, alrededor del origen, \( \psi  \) radianes.

Ahora, si \( z \) es un punto cualquiera de un círculo de radio \( r \) con centro en \( z_0 \) eso significa que \( |z-z_0|=r \), en particular \( \tilde z:=z-z_0 \) es un punto del círculo de radio \( r \) con centro en el origen. Entonces si \( z \) es un vértice de un polígono regular, polígono centrado en \( z_0 \), entonces \( \tilde z \) es un punto de un polígono regular pero centrado en el origen, si rotamos ahora \( \tilde z \) hallamos cualquier otro punto del círculo de radio \( r \) centrado en el origen, es decir que \( |\tilde z e^{i\psi }|=r \) para todo \( \psi \in \mathbb{R} \), por tanto tenemos que \( z':=\tilde ze^{i\psi }+z_0 \) es un punto del círculo de radio \( r \) entorno a \( z_0 \) ya que \( |z'-z_0|=r \).

Con esto quiero decir, que la idea es trasladar el hexágono de tal modo que su centro sea el origen, rotar allí multiplicando por complejos de la forma \( e^{i\psi } \) para hallar los otros vértices del hexágono, respecto al origen, y luego volverlos a trasladar a su posición de origen, es decir, si \( z_1 \) es uno de los vértices del hexágono y \( z_0 \) es el centro del hexágono entonces el resto de los vértices del hexágono original vienen dados por \( z_k=(z_1-z_0)e^{i (k-1)\pi/3}+z_0 \) para \( k\in \{1,\ldots ,6\} \). En la respuesta de arriba eso nos deja la ecuación \( z_4-z_0=(z_1-z_0)e^{i\pi} \) de donde podemos hallar el valor de \( z_0 \) (el centro del hexágono) y a partir de ahí hallar el resto de los vértices.

Si me podéis ayudar a resolver este problema os lo agradecería

Discutir, en función del valor de \( a \), la existencia de soluciones de la ecuación \( a^x = x^a \) siendo \( a \) y \( x \) números reales estrictamente positivos.

Moderación: \( \LaTeX \) y ortografía corregidos, y título cambiado por otro más informativo.

Como \( a,x>0 \) entonces puedes tomar logaritmos a ambos lados de la ecuación quedando la ecuación alternativa


Por tanto te queda estudiar la forma de la función \( f:(0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto x^{1/x} \) para ver cuántas soluciones puede tener una ecuación de la forma \( f(x)=c \), para cualquier \( c\in \operatorname{img}(f) \). Espero que con lo dicho ya puedas resolverlo.

Claro, entonces:

Se demuestra por demostración por contraposición que la proposición planteada es verdadera dado que la \(  P (A \cup B)  \) varía entre 0 y 1... por lo que es menor e igual a 1. Entonces, la proposición inicial planteada es verdadera. ¿correcto?

Correcto.

WoW, esa pregunta/respuesta supera todos mis conocimientos actuales.

Una versión adecuada directamente a la pregunta de este hilo es la siguiente. Primero observa que demostrar que \( A\implies B \) es exactamente lo mismo que demostrar que \( \lnot B\implies \lnot A \), es decir, ambas fórmulas proposicionales son lógicamente equivalentes, si una es cierta la otra necesariamente lo es, y viceversa (para verlo sólo tienes que comparar las tablas de verdad de ambas fórmulas proposicionales y ver que son idénticas). Entonces dada una proposición del tipo \( A\implies B \) a la proposición equivalente \( \lnot B\implies \lnot A \) se le llama proposición contrapositiva, y una demostración que se base en demostrar una proposición contrapositiva a una dada se denomina demostración por contraposición.

Dicho lo anterior, una demostración por contraposición es muy sencilla en este caso. Te piden demostrar \( P(A)+P(B)>1 \implies A\cap B\neq \emptyset  \), y la proposición contrapositiva es \( A\cap B=\emptyset \implies P(A)+P(B)\leqslant 1 \). Ahora, ¿sabes demostrar esto último? Pista final: recuerda que \( P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D) \) para cualesquiera eventos \( C \) y \( D \) de un espacio de probabilidad y que \( P(\emptyset )=0 \).