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Mensajes - Masacroso

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Muchas gracias por responder Masacroso. He hecho los cálculos nuevamente y me sigue dando el mismo resultado. Supongo están bien. Cómo se demuestra que está matriz es diagonalizable? Agradezco tu ayuda.

Ya lo has demostrado, la matriz diagonal \( D \) que hallas es una de las diagonalizaciones posibles de \( A \).

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Como se demuestra que Si una función \(  f \) es analítica en todos los puntos interiores a un contorno cerrado simple y sobre los puntos de C , entonces:

\(  \displaystyle\int_{c}^{} f \ (z) dz = 0  \)

Corrección: como expone Carlos más abajo lo que está en el spoiler no es cierto en general salvo si \( D \) resulta ser un disco cerrado (o un subconjunto de un disco cerrado) en el cual \( f \) sea analítica.

Spoiler
Tal demostración no es trivial si \( C \) no tiene una parametrización regular (en tal caso la integral se define utilizando otras curvas homótopas que sí posean una parametrización regular, como por ejemplo una curva poligonal). Asumiendo que \( C \) tiene una parametrización regular entonces una demostración relativamente sencilla es ver que si \( f \) es analítica en un conjunto compacto \( D \) entonces \( f(z)=\sum_{k=0}^{\infty }c_k(z-z_0)^k \) para algún \( z_0\in D \), donde la serie anterior converge uniforme y absolutamente en \( D \).

Entonces si definimos \( F(z):=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{c_k}{k+1}(z-z_0)^{k+1} \) vemos que \( F \) está bien definida en \( D \) porque converge uniforme y absolutamente en \( D \) (eso lo vemos al compararla con \( f \)), siendo además el caso de que \( F'=f \), es decir que \( F \) es una primitiva de \( f \). Si el contorno de \( D \), que denotamos por \( \partial D \), es una curva simple y que posee una parametrización regular \( \gamma :[0,1]\to \mathbb{C} \), entonces \( (F\circ \gamma )'(t)=(F'\circ \gamma )(t)\gamma '(t)=(f\circ \gamma )(t)\gamma '(t) \) y por tanto

\( \displaystyle{
\int_{\partial D}f(z)\,d z:=\int_{0}^1 (f\circ \gamma )(t)\gamma '(t)\,d t=(F\circ \gamma )(1)-(F\circ \gamma )(0)=0
} \)

ya que \( \gamma (1)=\gamma (0) \) al ser una curva cerrada.
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Tienes un operador lineal \( T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) que cumple que \( Tv_k=\lambda _kv_k \) para \( \lambda _k\in \mathbb{R} \) y \( k \in\{1,2,3\} \), siendo \( \lambda _k\neq \lambda _j \) para \( k\neq j \), entonces además de ser vectores propios los \( v_k \) constituyen una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Ahora llamemos \( A \) a la matriz que representa a \( T \) utilizando la base canónica en \( \mathbb{R}^3 \). Si \( P \) es el operador lineal de cambio de base desde la base canónica \( e_1,e_2,e_3 \) a la base de vectores propios \( v_1,v_2,v_3 \), es decir que \( Pe_k=v_k \) para \( k\in\{1,2,3\} \), entonces tienes que \( (P^{-1}TP)e_k=P^{-1}Tv_k=P^{-1}\lambda_k v_k=\lambda _kP^{-1}v_k=\lambda _ke_k \), es decir, que la matriz en base canónica que representa al operador \( \tilde T:=P^{-1}TP \) es diagonal.

De lo anterior se deduce que, si los cálculos que has hecho son correctos (es decir si los vectores que has encontrado realmente son vectores propios de \( A \)), entonces tu respuesta es correcta ya que \( P \), al representarse en forma de matriz utilizando la base canónica, sería la matriz cuyas columnas fuesen los vectores propios \( v_1,v_2 \) y \( v_3 \) (con dichos vectores representados utilizando la base canónica).

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Probabilidad / Re: Probabilidades lanzando dados
« en: 08 Abril, 2022, 07:12 pm »
Hola de nuevo, tengo una duda. ¿La fórmula está diseñada para calcular "k" éxitos o "k" o más éxitos? Lo comento porque tal y como he trasladado la fórmula, a partir de un número de dados lanzados relativamente elevado, las probabilidades de éxito (obtener k ó más éxitos) decrece. Supongo que he trasladado incorrectamente la fórmula.

Sería un ejercicio muy interesante que entendieses la fórmula \( \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \) para saber exactamente lo que representa, así será más fácil que vayas entendiendo cómo funcionan las probabilidades. Por si te sirve te dejo una explicación.

La parte más fácil de entender de la fórmula \( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \) es ésta: \( p^k \), lo cual se puede entender como la probabilidad de que, dadas \( k \) posiciones determinadas de \( n \) posibles, en cada posición haya un éxito. Por otro lado \( (1-p)^{n-k} \) representa la probabilidad de no tener ningún éxito en las restantes \( n-k \) posiciones. Entonces \( p^k(1-p)^{n-k} \) se puede entender como la probabilidad de que, habiendo elegido \( k \) posiciones dentro de \( n \) posibles, justamente en esas \( k \) posiciones todos sean éxitos y en las restantes posiciones todos sean fracasos. (Aquí por posiciones, al tirar \( n \) veces el dado, entendemos \( k \) tiradas determinadas de las \( n \)).

Luego el objeto \( \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \) representa el número de conjuntos diferentes de \( k \) posiciones de \( n \) posibles, dicho de otro modo si tenemos el conjunto de posiciones \( P:=\{1,2,3,\ldots ,n\} \) entonces \( \binom{n}{k} \) sería el número de subconjuntos diferentes de \( P \) con exactamente \( k \) elementos.

Spoiler
Una forma de entender de dónde viene la expresión \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) es ésta: el factor \( n! \) representa el número total de permutaciones de \( n \) objetos, pero como entre esos objetos hay exactamente \( k \) "éxitos" entonces los objetos que cuentan como éxito son indistinguibles entre sí (podemos decir, del mismo color), por lo cual permutar esos \( k \) objetos deja la misma distribución inicial, por tanto dividimos entre el número total de permutaciones de esos \( k \) objetos para evitar contar configuraciones de más, y lo mismo hacemos con el resto de objetos (a los que podemos adjudicar un color diferente y llamarle "fracasos"), dejándonos entonces la expresión \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
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Finalmente si definimos \( c:=\binom{n}{k} \) y \( q:=p^k (1-p)^{n-k} \) entonces \( c \) es el número total de formas diferentes posibles de tirar \( n \) veces un dado y obtener exactamente \( k \) éxitos, y \( q \) es la probabilidad de cualquiera de esas \( c \) jugadas, por tanto su producto \( c\cdot q \) es la probabilidad de que salga una de esas jugadas, es decir, la probabilidad de que al tirar un dado \( n \) veces salgan exactamente \( k \) éxitos.

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Estructuras algebraicas / Re: Monoides
« en: 08 Abril, 2022, 12:24 pm »
Demuestre que  \( \mathbb{N}[x] \) el anillo de polinomios  en una variable con coeficientes enteros es un monoide.

Demuestre que \( \mathbf{N}[x] \) también es un monoide si la operación es una multiplicación.

Añadiría una cosa a lo dicho por Luis, y es recalcar que el enunciado es contradictorio, o como poco confuso, ya que \( \mathbb{N}[x] \) no es un "anillo de polinomios". De hecho si fuese un anillo, del tipo que sea, ya sería automáticamente un monoide.

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Y lo que no me ha quedado claro es el apartado b, alguien podria ayudarme? Sería multiplicar los complejos de antes por (1/2)e^(pi/6)i
Perdonarme pero no se usar latex, disculparme
Muchas gracias a todos

Sobre lo del \( \LaTeX \), para aprender a usarlo, mira aquí. Sobre el aparatado b), la homotecia es multiplicar por \( 1/2 \) (mira aquí para ver la definición de homotecia) pero previamente a aplicar la homotecia giramos los puntos respecto al origen \( \pi/6 \) radianes, lo que equivale a multiplicar por \( e^{i\pi /6} \).

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La verdad es que la explicación dada es algo confusa. Si \( E \) representa un empleado entonces lo que te dicen al inicio es que \( 3E\times  5=150 \), y luego te piden calcular la \( X \) en la ecuación \( 5E\times 6=X \). De la primera ecuación obtienes que \( E=10 \) y ahora sustituyendo en la segunda encuentras que \( X=300 \).

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Por favor, transcribe el contenido que te interesa a \( \LaTeX \), tienes un tutorial sobre cómo utilizar \( \LaTeX \) aquí.

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Hola todos, quería consultar cuál es la mejor forma de probar si ésta afirmación es verdadera o no:

\(  (A\cap{B})\triangle{C} = (A\triangle{C})\cap{(B\triangle{C})}  \)

Intenté tomando la primera parte de la igualdad, mediante leyes de DeMorgan  y distributivas a ver si lograba llegar a la expresión de la parte derecha, pero me lie y  no logré llegar a nada. Usando tablas de verdad obtuve que los valores de verdad de las columnas para cada parte de la igualdad eran distintos, por lo cual deduje que no eran expresiones equivalentes y entonces la igualdad no valía. Pero ¿cuál método es mejor para probar este tipo de ejercicios?

Si tengo que probar implicaciones del tipo \(  C\subseteq{A}\Rightarrow{B\cap{C}}\subseteq{(A\triangle{B})^c} \) las tablas de verdad es el método más claro?

No sé cuál es "la mejor", o si existe una forma mejor que otra pero puedes intentar utilizar el método clásico de mostrar que si \( x\in (A\cap B)\,\triangle\, C \) entonces \( x\in (A\,\triangle\,C)\cap (B \,\triangle\, C)  \) y viceversa, eso si sospechas que es cierta la igualdad. Si sospechas que no es cierta puedes intentar buscar un contra-ejemplo, en ese sentido puedes utilizar diagramas de Venn de tres conjuntos y ver si alguno no cumple la igualdad.

Añado: otra cosa que puedes hacer es escribir cada conjunto a los lados de la igualdad en alguna forma normal, por ejemplo en forma normal \( \cup  \) o en forma normal \( \cap  \), de ese modo es muy fácil ver si ambas formas normales son equivalentes o no lo son. Aquí puedes leer sobre formas normales en lógica, puedes aplicar lo mismo a conjuntos entendiendo \( \cup  \) como \( \,\lor\,  \), \( \cap  \) como \( \,\land\,  \) y \( ^\complement  \) como \( \lnot  \).

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Hola gracias por la respuesta, ya ves se me hace dificil comprenderla de buenas a primeras, me gustaría me confirmes si el punto donde rota el hexágono es Z1 o Z0 yo entiendo que es Z1 pues tiene sus coordenadas en el origen.

El punto sobre el que rota el hexágono, para transformarlo en el nuevo hexágono, es el cero, que coincide con \( z_1 \).

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para la segunda parte  entonces veremos si he hecho la tarea


\( z_k-z_0'=(z_1-z_0')e^{i\frac{(k-1)\pi}{3}} \)

donde \( z_0'=(z_1-z_0)\dfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}} \)

y no hay deformación sino rotación, correcto ?

De antes teníamos que \( z_k=(z_1-z_0)e^{i (k-1)\pi/3}+z_0 \), por tanto girar \( \pi /6 \) radianes alrededor del origen y luego multiplicar por \( 1/2 \) (que es lo que nos piden con la homotecia dada) los nuevos puntos son \( \tilde z_k:=z_k w_0 \) con \( w_0:=\frac1{2}e^{i\pi /6} \) y de la relación anterior vemos que \( \tilde z_k=(\tilde z_1-\tilde z_0)e^{i (k-1)\pi/3}+\tilde z_0 \), con \( \tilde z_0:=z_0w_0 \). La relación anterior de los \( \tilde z_k \) define un hexágono regular alrededor de \( \tilde z_0 \) así que después de la transformación seguimos teniendo un hexágono regular. La transformación es una rotación y un escalado ya que \( |\tilde z_k-\tilde z_0|=\frac1{2}|z_k-z_0| \), es decir, el nuevo hexágono tiene los lados con la mitad de longitud que el original.

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Probabilidad / Re: Esperanza condicional
« en: 02 Abril, 2022, 08:37 pm »
Hola comunidad.

Tengo la siguiente esperanza \(  E(X|Y)  \)

Entonces, yo lo resuelvo como: \(  \sum_{x}\;x\;P(X|Y)  \)

Supongamos que tenemos para x = o y x = 1.

Entonces, me quedaría así: \(  0 * P(x=0/y) + 1 * P(x=1/y)  \)

¿cierto? Porfavor, gracias.

Sí, es correcto, pero ojo: si \( Y \) es una variable aleatoria entonces tanto \( E(X|Y) \) como \( P(X=k|Y) \) son variables aleatorias, no números. Si \( Y \) es un evento entonces lo anterior son números.

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Foro general / Re: Terror en el supermercado matemático
« en: 02 Abril, 2022, 06:47 pm »
Por añadir a lo dicho por geómetracat, el análisis no estándar es mucho más difícil que el análisis estándar. Si bien es cierto que algunas cosas parecen más simples, y sirven para hacer determinadas demostraciones que en el análisis estándar serían más farragosas, a cambio tienes que utilizar mucho la lógica o una versión alternativa a la teoría de conjuntos estándar.

En serio, el análisis estándar es mucho pero que mucho más simple y directo, y es por eso que el análisis no estándar apenas se utiliza excepto para cosas muy especializadas donde ese lenguaje permite un tratamiento más sencillo de algunas construcciones matemáticas.

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Hola Masacroso siendo la tercera vez que empiezo a escribir este mensaje , creo que  hay un gazapo, o no entiendo bien tu formula para calcular los complejos
\( e^{\frac{ik2\pi}{n}} \) genéricamente es un complejo que daría la dirección  y \( |z_1-z_0| \) daría la magnitud

me pregunto porque lo multiplicas por \( (z_1-z_0) \)  que es otro complejo cuando en realidad hay que sumarlos es decir

\( z_i-z_0=|z_1-z_0|e^{i(\frac{k2\pi}{n}+\phi_0)}  \)
siendo \( \phi_0=\arctan\dfrac{Im(z_4-z_1)}{Re(z_4-z_1)} \)
así tiene mas sentido para mi, o quizá es solo un gazapo  o no lo entiendo por estar viejo oxidado.

Si escribimos \( z=|z|e^{i \phi } \) entonces rotar \( z \) alrededor del origen \( \psi  \) radianes (en dirección contraria a las agujas del reloj) es el complejo \( |z|e^{i(\phi +\psi )}=z e^{i\psi } \), es decir, multiplicar por el complejo \( e^{i\psi } \) es rotar ese complejo, alrededor del origen, \( \psi  \) radianes.

Ahora, si \( z \) es un punto cualquiera de un círculo de radio \( r \) con centro en \( z_0 \) eso significa que \( |z-z_0|=r \), en particular \( \tilde z:=z-z_0 \) es un punto del círculo de radio \( r \) con centro en el origen. Entonces si \( z \) es un vértice de un polígono regular, polígono centrado en \( z_0 \), entonces \( \tilde z \) es un punto de un polígono regular pero centrado en el origen, si rotamos ahora \( \tilde z \) hallamos cualquier otro punto del círculo de radio \( r \) centrado en el origen, es decir que \( |\tilde z e^{i\psi }|=r \) para todo \( \psi \in \mathbb{R} \), por tanto tenemos que \( z':=\tilde ze^{i\psi }+z_0 \) es un punto del círculo de radio \( r \) entorno a \( z_0 \) ya que \( |z'-z_0|=r \).

Con esto quiero decir, que la idea es trasladar el hexágono de tal modo que su centro sea el origen, rotar allí multiplicando por complejos de la forma \( e^{i\psi } \) para hallar los otros vértices del hexágono, respecto al origen, y luego volverlos a trasladar a su posición de origen, es decir, si \( z_1 \) es uno de los vértices del hexágono y \( z_0 \) es el centro del hexágono entonces el resto de los vértices del hexágono original vienen dados por \( z_k=(z_1-z_0)e^{i (k-1)\pi/3}+z_0 \) para \( k\in \{1,\ldots ,6\} \). En la respuesta de arriba eso nos deja la ecuación \( z_4-z_0=(z_1-z_0)e^{i\pi} \) de donde podemos hallar el valor de \( z_0 \) (el centro del hexágono) y a partir de ahí hallar el resto de los vértices.

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Si me podeis ayudar a resolver este problema os lo agradecería

Los afijos de ciertos números complejos \( z_1, z_2, z_3, z_4, z_5 \) y \( z_6 \) son los vértices consecutivos de un hexágono regular. Sabiendo que \( z_1 = 0 \) y \( z_4 = 4 + 6i \), hallar \( z_2, z_3, z_5 \) y \( z_6 \).

Si giramos \( π/6 \) radianes el hexágono centrándonos en el origen de coordenadas, y luego aplicamos una homotecia de centro el \( 0 \) y razón \( 1/2 \). ¿Cuáles serían los nuevos vértices del hexágono? ¿Será regular el nuevo hexágono?

Moderación: corregido \( \LaTeX \) y cambiado título por uno más informativo.

Los vértices de todo polígono regular de \( n \) lados con centro en \( z_0 \) en el plano complejo tienen la forma \( z_k=(z_1-z_0)e^{i 2(k-1)\pi/n}+z_0 \), para \( k\in\{1,\ldots ,n\} \) y donde \( z_1 \) es cualquiera de los vértices de dicho polígono. En tu caso \( n=6 \), tienes dos vértices y además sabes su posición relativa, por tanto usando lo anterior tienes que \( z_4-z_0=e^{i\pi}(z_1-z_0) \) (ya que \( z_4 \) se encuentra a partir de \( z_1 \) rotando un ángulo \( 3\cdot \frac{\pi}3=\pi \) alrededor de \( z_0 \)). Entonces ya puedes despejar \( z_0 \) y hallar así los vértices restantes.

Con lo dicho espero que puedas resolver lo que te queda del ejercicio.

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Si me podéis ayudar a resolver este problema os lo agradecería

Discutir, en función del valor de \( a \), la existencia de soluciones de la ecuación \( a^x = x^a \) siendo \( a \) y \( x \) números reales estrictamente positivos.

Moderación: \( \LaTeX \) y ortografía corregidos, y título cambiado por otro más informativo.

Como \( a,x>0 \) entonces puedes tomar logaritmos a ambos lados de la ecuación quedando la ecuación alternativa

\( \displaystyle{
x^a=a^x\iff a\log x=x\log a\iff \log x^{1/x}=\log a^{1/a} \iff x^{1/x}=a^{1/a}
} \)

Por tanto te queda estudiar la forma de la función \( f:(0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto x^{1/x} \) para ver cuántas soluciones puede tener una ecuación de la forma \( f(x)=c \), para cualquier \( c\in \operatorname{img}(f) \). Espero que con lo dicho ya puedas resolverlo.

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Foro general / Re: Matemáticas socioafectivas y otras perlas
« en: 30 Marzo, 2022, 07:25 pm »
        Matemáticas empáticas y socioafectivas

        Los padres enseñaremos lo que los colegios han dejado de enseñar, incluyendo filosofía




Se trata de estupidizar lo máximo posible a la población, es decir, volverlos personas fácilmente manipulables eliminando cualquier rastro de racionalidad en favor de una emocionalidad superficial y voluble, ¡no me extraña que por ello en las últimas décadas la política se haya enfocado esencialmente en infantilizar a los adultos (especialmente a las mujeres, mucho más emocionales que los hombres en general)! De hecho si os fijáis cualquier tipo de propaganda apela a las emociones, siempre, porque es la manera más sencilla de evitar cualquier análisis racional, captar la atención y modificar la conducta de los oyentes.

¿Y qué mejor forma de manipular y moldear a la gente que con un lavado de cerebro absurdo desde bien pequeñitos?

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Matemática de Escuelas / Re: Probabilidades
« en: 28 Marzo, 2022, 09:32 pm »
Claro, entonces:

Se demuestra por demostración por contraposición que la proposición planteada es verdadera dado que la \(  P (A \cup B)  \) varía entre 0 y 1... por lo que es menor e igual a 1. Entonces, la proposición inicial planteada es verdadera. ¿correcto?

Correcto.

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Estructuras algebraicas / Re: spanning set
« en: 28 Marzo, 2022, 09:31 pm »
Sea \( V \) un espacio vectorial. Si \( S, T \) son conjuntos generadores o spanning set de \( V \), mostrar que \( S+T \) también genera a \( V \) o bien dar un contra ejemplo.

Yo creo que esto es falso, porque si tomo a \( S \) como una base de \( V \)y a \( T= -S \), entonces \( S+T=S-S= \{ 0\} \).
Esto es correcto? o hay alguna forma de justificarlo mas formalmente?

No es correcto asumir en general que \( S-S=\{0\} \) ya que la suma de conjuntos se define así: \( S+T:=\{s+t: s\in S, t\in T\} \). Pero tu intuición es correcta, para eso es suficiente con asumir que \( S=-T \) y \( S=\{v\} \).

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Matemática de Escuelas / Re: Probabilidades
« en: 28 Marzo, 2022, 02:44 pm »
WoW, esa pregunta/respuesta supera todos mis conocimientos actuales.

Una versión adecuada directamente a la pregunta de este hilo es la siguiente. Primero observa que demostrar que \( A\implies B \) es exactamente lo mismo que demostrar que \( \lnot B\implies \lnot A \), es decir, ambas fórmulas proposicionales son lógicamente equivalentes, si una es cierta la otra necesariamente lo es, y viceversa (para verlo sólo tienes que comparar las tablas de verdad de ambas fórmulas proposicionales y ver que son idénticas). Entonces dada una proposición del tipo \( A\implies B \) a la proposición equivalente \( \lnot B\implies \lnot A \) se le llama proposición contrapositiva, y una demostración que se base en demostrar una proposición contrapositiva a una dada se denomina demostración por contraposición.

Dicho lo anterior, una demostración por contraposición es muy sencilla en este caso. Te piden demostrar \( P(A)+P(B)>1 \implies A\cap B\neq \emptyset  \), y la proposición contrapositiva es \( A\cap B=\emptyset \implies P(A)+P(B)\leqslant 1 \). Ahora, ¿sabes demostrar esto último? Pista final: recuerda que \( P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D) \) para cualesquiera eventos \( C \) y \( D \) de un espacio de probabilidad y que \( P(\emptyset )=0 \).

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