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Mensajes - Masacroso

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Hola señores del foro, tengo el siguiente problema:

Calcular $$\int_{C}(x-y)dS$$ donde $$C:x^2+y^2=3x$$

Hice lo siguiente:  complete cuadrados y llegue a: $$(x-\frac{3}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2})^2$$
parametrizando en sentido anti-horario :
$$\alpha(t)=(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t, \frac{3}{2}\mbox{sen } t)  ; t \in [0,2\pi] $$

Luego $$ f(\alpha(t))= \frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t   ;  \quad \mbox{ y }  \quad   \|\alpha'(t)\|= \frac{3}{2}$$
 
Portanto seria calcular:

$$\int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t ) \frac{3}{2}dt$$

Pero en el libro dice que seria:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t ) \frac{3}{2}dt$$

y la respuesta da diferente, cual seria mi error,  :-\ :-\ :-\

No veo que hayas cometido ningún error ya que la solución en \( \mathbb{R}^2 \) a la ecuación \( x^2+y^2=3x \) es el círculo que has descrito. Fíjate si, a lo mejor, la solución que se busca no es en todo \( \mathbb{R}^2 \) y por eso en la solución del libro sólo calculan medio círculo.

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Probabilidad / Re: Problema de probabilidad condicional
« en: 20 Abril, 2022, 08:51 am »

Muy buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Un auditor observa que el 15% de los saldos de cierta empresa contenía errores. Considere que el 60% de los saldos contienen
valores iguales dado que tienen errores. El 20% de los saldos son valores inusuales. Si la cifra de determinado saldo parece inusual
¿Cuál es la probabilidad de que sea errónea?

El texto anterior, me confunde de alguna manera que no puedo plantear los datos en la formula.


No me extraña que te confunda, yo tampoco entiendo nada de lo que dice. El texto es ininteligible, parece haber sido redactado por un mono borracho, o bien hay algún error en la transcripción. O bien el 15% o bien el 60% de los saldos tienen errores, o uno u otro, no pueden darse las dos cosas a la vez. Tampoco se especifica la relación entre "valor inusual" y "valor erróneo".

Revisa el enunciado, debe haber un error en la transcripción, y si no lo hay entonces es que sencillamente está mal redactado y es un galimatías sin sentido.

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Libros / Libros de Barry Simon
« en: 18 Abril, 2022, 05:12 pm »
Esto no sé si catalogarlo como "recomendación" sino más bien compartir mi experiencia, que quizá sirva a otros. Conocía los libros de matemáticas de Barry Simon desde hace unos años, aunque sólo alguno de ellos lo había llegado a hojear así muy por encima.

Recientemente me he puesto a leer su libro de análisis real y debo decir que lo estoy disfrutando muchísimo... No recuerdo haber disfrutado tanto de la lectura de un libro de matemáticas. ¿Qué lo hace diferente a muchos otros libros que tratan lo mismo o parecido? Que me parece humano, profundamente humano. Con esto de humano quiero decir dos cosas:

1) La gran mayoría de teoremas están motivados, quiero decir, antes de su exposición y demostración se suele exponer brevemente por qué son útiles o necesarios.

2) Después de cada sección hay una referencia histórica, bibliográfica y biográfica de muchos matemáticos cuyos teoremas se nombran en el capítulo, junto a diferentes discusiones relevantes.

Además de lo anterior la presentación y demostración de los teoremas es muy clara y elegante, cosa que no siempre ocurre en libros de matemáticas. Así que estoy disfrutando como un enano, casi como si estuviese viendo una película o leyendo una novela.

Añadir a lo anterior que el contenido matemático es muy general, más que en muchos otros libros de análisis real, lo cual me hace disfrutarlo aún más si cabe.

Añadido.

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Sí, es correcto.

Seguí pensando en esto, y me di cuenta de que no, no es correcto el argumento que he dado. Mi afirmación de que una isometría preserva la norma es falsa, como puede verse al tomar, por ejemplo, la aplicación $$\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$$ dada por $$(x,y) \mapsto (x+1,y)$$, que es una isometría para la cual tenemos que $$\| \phi((1,0)) \| = \| (2,0) \| = 2 \neq 1 = \| (1,0) \|$$. De hecho, esta misma isometría no preserva el producto interno: $$\phi((1,0))\cdot \phi((0,1)) = 2$$, mientras que originalmente $$(1,0)\cdot (0,1) = 0$$. Entonces, creo que el problema tiene que ver con el posicionamiento de los vectores respecto del origen. Recuerdo haber leído que un espacio afín es como un espacio vectorial en el que nos hemos olvidado del origen. ¿Será ese el contexto en el que podemos afirmar que las isometrías preservan ángulos?

Cierto, no había caído en la existencia de isometrías no lineales. Supongo que en el contexto del libro se refieren a isometrías lineales, las cuales sí preservan la norma y el producto.

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Estadística / Re: Estimación
« en: 17 Abril, 2022, 10:58 am »
Vale tienes razón, faltaba información en el ejercicio. Ya por curiosidad, por imaginar una situación un poco distinta, si en vez de eso tuviéramos el siguiente ejemplo. Tenemos una serie de autobuses en una ciudad con un número de licencia para cada uno (el numerito que tienen en la parte delantera). Digamos que pasan tres autobuses que tienen números 3, 27 y 80, de forma ordenada. ¿Sería posible en este caso realizar alguna estimación y estimar N (en este caso el número de licencias o autobuses)? ¿O también falta información?

Muchas gracias de antemano.

Un saludo!

Lo más que podemos decir en este caso es que se han registrado 80 licencias y por tanto, posiblemente, haya al menos 80 autobuses en circulación. En verdad, y siendo 100% rigurosos y sin más información, lo único que podemos decir es que hay, al menos, tres autobuses.

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Hola, Masacroso.

Gracias por la aclaración. Aunque no fui capaz de entender eso del dual de Hilbert. No conozco el concepto, y lo que encontré en la red no fue de mucha ayuda. Aunque creo que el hecho de que una isometría preserva el producto interno puede deducirse también de la relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \), pues si $$\phi$$ es una isometría entonces
\[
\phi(P)\cdot \phi(Q) = \frac{1}{2} \left(-\| \phi(P) - \phi(Q)\|^2 + \| \phi(P) \|^2 + \| \phi(Q)\|^2 \right ) = \frac{1}{2} \left( -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \right) = P\cdot Q.
\]
 
En esos cálculos he usado el hecho de que la isometría preserva la norma, lo cual es fácil de ver. La relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \) se obtiene de inmediato al desarrollar $$(P - Q)\cdot (P - Q)$$, que fue lo que hizo Rotman antes de llegar a la errata.

¿Ves correcta esa idea?

Sí, es correcto.

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En el libro de A First Course in Abstract Algebra de J. Rotman, aparece el argumento siguiente:

      Let \(P \cdot Q\) denote the dot product:
      \[
        P \cdot Q=a c+b d .
      \]

      Now
      \[
        \begin{aligned}
          (P-Q) \cdot(P-Q) & =P \cdot P-2(P \cdot Q)+Q \cdot Q                              \\
                          & =\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a c+b d)+\left(c^{2}+d^{2}\right)  \\
                          & =\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b d+d^{2}\right) \\
                          & =(a-c)^{2}+(b-d)^{2}                                           \\
                          & =\|P-Q\|^{2}
        \end{aligned}
      \]
      It follows that every isometry \(\varphi\) preserves dot products:
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=P \cdot Q,
      \]
      because
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=\|\varphi(P)-\varphi(Q)\|^{2}=\|P-Q\|^{2}=P \cdot Q .
      \]


La parte en color rojo es incorrecta, ¿no es cierto? ¿Cómo es que el producto punto de $$P$$ y $$Q$$ es igual al cuadrado de la distancia entre ellos? Lo que yo puedo obtener a partir de los cálculos que se muestran es que
\[
2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2,
\]
y de aquí puede obtenerse la invariancia del producto punto bajo isometrías, ¿cierto?.

Sí, es un error muy gordo. Se habrá despistado ahí Rotman, seguramente quisiese escribir otra cosa, pero no tengo muy claro el qué. Es cierto que las isometrías preservan los productos internos, pero eso es debido a que el dual de Hilbert (en espacios de Hilbert de dimensión finita) de una isometría es igual a su inversa, es decir que \( \varphi ^*=\varphi ^{-1} \) y por tanto \( \langle \varphi P,\varphi Q \rangle=\langle \varphi ^*\varphi P,Q \rangle=\langle P,Q \rangle    \) (aquí he utilizado la notación \( \langle \,\cdot\, ,\,\cdot\,  \rangle  \) para el producto interior).

Corrección: había pasado por alto que, si la dimensión del espacio de Hilbert es infinita, entonces las isometrías no son necesariamente invertibles.

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- Otros - / Re: Cuadrado de números negativos
« en: 16 Abril, 2022, 03:04 pm »
Supongo que conoceréis esto: \( (5^2)-(-5^2)= 0 \) ó \( 50 \).

Por lo que me entero ahora, resulta de que siempre he calculado mal ese número negativo, veo explicaciones por ahí que dicen que:

\[ -5 \times  5= - 25 \]

Y yo siempre apliqué \( -5 \times  -5  = + 25 \).

Quiero entender que \( -5 \) es un número entero y me encuentro con que se aplica una diferencia entre \( -5^2 \) y \( (-5)^2 \), a mi esa diferenciación me resulta mero convencionalismo.

¿En qué estoy equivocado?

Moderación: corregido \( \LaTeX \).

Tienes que \( (-5)^2=(-5)\times (-5)=25 \) y que \( -5^2=-(5\times 5)=-25 \). Tu confusión venga quizá del segundo caso, en \( -5^2 \) se entiende que es el número \( 5^2 \) cambiado de signo, y sí, tienes razón que es un convencionalismo, de hecho todo en matemáticas es un convencionalismo en el sentido de que las matemáticas son un lenguaje, y todo lenguaje no deja de ser un convencionalismo sobre la interpretación del significado de unos signos en una comunidad de personas.

Por otra parte el primer caso es más sencillo de entender con la identidad \( -a=(-1)\times a \) para cualquier número \( a \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
(-5)^2=(-5)\times (-5)=(-1)\times 5\times (-1)\times 5=(-1)\times (-1)\times 5\times 5=1\times 5\times 5=5\times 5
} \)

ya que se tiene que \( (-1)\times (-1)=1 \) y donde arriba hemos utilizado las propiedades asociativas y conmutativas de la operación producto.

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Estadística / Re: Estimación
« en: 16 Abril, 2022, 11:38 am »
He encontrado un problema que parece bastante simple, pero que no sé resolver. Dice así:

En una clase se pregunta las calificaciones a 6 estudiantes. Sus notas son 1, 2, 3, 9, 9, 10. En base a estos resultados de la muestra, ¿de qué forma se podría estimar el número total N de alumnos en la clase? ¿Cuál seria ese valor? (Se debe tener en cuenta que las variables son aleatorias discretas)

Se trata de un problema de inferencia estadística, pero no tengo ni idea de como puedo hallar el tamaño poblacional.

¡Muchas gracias de antemano!

Tal y como está planteado y sin más datos la única estimación que se puede hacer es que hay al menos seis alumnos. Lo de las notas, por sí solo y sin alguna suposición especial, no da ninguna información.

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Determinar el disco de convergencia de la serie de potencias: \[ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(\sqrt[ n]{n}-1)^n  \times{(z+3i)^n}} \]

Yo he aplicado el criterio de la raíz n-ésima y me queda \[ \lim_{n \to{+\infty}}{(\sqrt[ n]{n}-1)\times{}(z+3i)} \]\ y esto me da que el disco de convergencia es |z+3i|<1. ¿Es correcto?

El radio de convergencia de una serie de potencias de la forma \( \sum_{k\geqslant 0}a_k w^k \) es igual a \( \rho =\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \), por tanto en tu caso \( \rho =\infty  \), es decir, que la serie converge para todo \( z\in \mathbb{C} \).

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Probabilidad / Re: Distribución normal
« en: 15 Abril, 2022, 07:16 pm »
Muchas gracias Masacroso, me ha quedado claro todo, salvo una cosa, ¿se puede llegar a calcular el valor de \(  q  \)? Si es así, no sé cómo calcular esa probabilidad con valor absoluto.

Un saludo.

Observa que

\( \displaystyle{
\Pr [|X-\mu|>\alpha ]=1-\Pr [|X-\mu|\leqslant \alpha ]=1-\Pr [-\alpha \leqslant X-\mu \leqslant \alpha ]=1-(\Pr [X-\mu\leqslant \alpha ]-\Pr [X-\mu<-\alpha ])
} \)

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Probabilidad / Re: Distribución normal
« en: 13 Abril, 2022, 12:47 am »
Hola a todos.

Busco ayuda respecto al siguiente problema de variables aleatorias y distribuciones, que difiere bastante de los que he visto en Internet.

Dada \(  X  \) variable aleatoria igual al peso de manzanas que sigue una distribución normal con \(  u = 2g, o = 5/89 g   \), tenemos paquetes de 15 unidades y una manzana es correcta si su peso no difiere en más de \( 0'1 g \) del peso medio. Se pide:

a) P(un paquete contenga al menos 2 manzanas defectuosas)
b) Si queremos una manzana defectuosa con una probabilidad de \( 0'006  \) calcular a qué desviación típica debemos ajustar la máquina de manzanas
c) Con la desviación típica anterior, P(en 40 paquetes al menos haya 10 manzanas defectuosas)

Me gustaría saber cómo se haría este ejercicio, por lo que cualquier indicación o respuesta me ayudaría mucho. Un saludo.


Cada manzana en un paquete de 15 se puede representar como una variable aleatoria \( X_k \), todas independientes entre sí y con la misma distribución de \( X \). Te dicen que la probabilidad de que la manzana \( X_k \) sea defectuosa es \( q:=\Pr [|X-\mu|>0,1] \), siendo \( \mu \) la media de \( X \).

Ahora bien, el número de manzanas defectuosas en un paquete de 15, al ser las variables independientes e igualmente distribuidas, es una variable aleatoria \( Y \) con distribución binomial de parámetros \( 15 \) y \( q \), y te piden calcular en a) \( \Pr [Y\geqslant 2] \).

En b) te piden calcular \( \sigma  \) para que \( q=0,006 \).

Y en c) te piden hallar \( \Pr [Z\geqslant 10] \) donde \( Z:=\sum_{k=1}^{15\cdot 40}B_k \), donde cada \( B_k \) es independiente de las otras y todas tienen una distribución de Bernoulli de parámetro \( 0,006 \), lo que implica que \( Z \) tiene una distribución binomial de parámetros \( 15\cdot 40 \) y \( 0,006 \).

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Probabilidad / Re: Teorema de Bayes con n urnas
« en: 13 Abril, 2022, 12:29 am »
Hola a todos.

Estoy intentando realizar un ejercicio de probabilidad usando el Teorema de Bayes, pero en este caso no tengo urnas con números enteros, sino el siguiente enunciado:

Tengo n urnas \( U_i \ \forall{i} = 1,...,n  \). Elijo una urna, saco una bola de ella y la devuelvo a la misma urna. Saco una segunda bola que vuelvo a devolver y saco una tercera (todas estas de la urna elegida inicialmente). Sabemos que \( P(elegir \ urna \ U_i) = 1/n \ \forall{i} = 1,...,n \). Calcular:

1- P(dos primeras bolas extraídas sean blancas)
2- P(la urna elegida sea \( U_r \) si las dos primeras bolas fueron blancas)
3- P(tercera bola sea blanca si las dos primeras fueron blancas)

¿Cuántas bolas hay en cada urna? ¿Qué tipos de bolas hay en cada urna, sólo negras y blancas? Es que sin eso no se puede hacer nada, faltan datos del ejercicio, ¿o se trata de plantear el problema teóricamente y ya está? En este último caso podríamos hacer lo siguiente, definimos la variable aleatoria \( X \), que toma valores en \( \{1,\ldots ,n\} \), y representa la elección de la urna, y por \( B_j \) representamos el evento "extraer una bola blanca en la \( j \)-ésima extracción".

Entonces, como la extracción de las bolas es con reposición podemos asumir que las extracciones de bolas de la urna elegida son sucesos independientes. Entonces la primera probabilidad pedida es

\( \displaystyle{
\Pr [B_1\cap B_2]=\sum_{k=1}^n \Pr [B_1\cap B_2|X=k]\Pr [X=k]=\sum_{k=1}^n \Pr [B_1|X=k]\Pr [B_2|X=k]\Pr [X=k]=\frac1{n}\sum_{k=1}^n(\Pr [B_1|X=k])^2
} \)

La segunda probabilidad pedida es

\( \displaystyle{
\Pr [X=r|B_1\cap B_2]=\frac{\Pr [B_1\cap B_2|X=r]\Pr [X=r]}{\Pr [B_1\cap B_2]}=\frac{(\Pr [B_1|X=r])^2}{\sum_{k=1}^n(\Pr [B_1|X=k])^2}
} \)

La tercera es

\( \displaystyle{
\Pr [B_3|B_1\cap B_2]=\frac{\Pr [B_1\cap B_2\cap B_3]}{\Pr [B_1\cap B_3]}=\frac{\sum_{k=1}^n(\Pr [B_1|X=k])^3}{\sum_{k=1}^n(\Pr [B_1|X=k])^2}
} \)

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Cálculo 1 variable / Re: Polinomio de Taylor
« en: 11 Abril, 2022, 05:16 am »
Entonces ¿no sería posible hallar \(  f^{(6)} (2)  \)? No me queda claro cómo es que si conozco \(  f^{(6)} (2)  \) puedo llegar a conocer  \(  f^{(7)} (2)  \).

Debido a que tendrías un método inductivo. Si tienes un polinomio de Taylor de orden \( k \) de una función y eso te permitiese, de algún modo, definir el polinomio de Taylor de orden \( k+1 \) entonces podrías generar la expansión de Taylor al completo de esa función por inducción, lo cual no tiene sentido.

Citar
Otra parte del enunciado pregunta cuánto vale \(  f^{(6)} (2) \) si el polinomio es de orden 7.

Si el polinomio de Taylor dado fuese de orden seis o siete eso significaría que \( f^{(6)}(2)=0 \).

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Cálculo 1 variable / Re: Polinomio de Taylor
« en: 11 Abril, 2022, 02:41 am »
Hola, en un ejercicio me piden lo siguiente:
si el polinomio de Taylor de f de orden 5 en \(  x_0 =2  \) es \(  p(x) = (x-2)^5 + 3(x-2)^4 + 3(x-2)^2 -8 \). Calcular \(  f^3 (2)  \) y \(  f^4 (2)  \). ¿Se puede conocer el valor de \(  f^6 (2)  \)? ¿Cuánto vale \(  f ^6 (2)  \)?

Traté de rearmar el polinomio y llegué  a esto :

\(  p(x) = \displaystyle\frac{120}{5!} (x-2)^5 + \displaystyle\frac{72}{4!} (x-2)^4 + \displaystyle\frac{6}{2!} (x-2)^2 -8  \) y obtuve que \(  f^4 (2) = 72  \). Pero no se como hallar \(  f^3 (2)  \) y \(  f^6 (2)  \).

¿Alguna pista para resolver esto? Gracias desde ya

Antes que nada, la notación \( f^k(a) \) es confusa respecto al significado de \( k \), en este contexto se entiende que se refiere a la \( k \)-ésima derivada de \( f \) en \( a \), aunque eso se suele notar como \( f^{(k)}(a) \). Dicho eso, tienes que \( f^{(3)}(2)=0 \), y el valor de \( f^{(6)}(2) \) es desconocido. De hecho, si pudieses conocer el valor de \( f^{(6)}(2) \) entonces podrías escribir el polinomio de Taylor de grado seis, y conocer a su vez el valor de \( f^{(7)}(2) \), y sucesivamente conocer el valor de \( f^{(k)}(2) \) para todo \( k \) y así obtener la expansión de Taylor entorno a \( 2 \), lo cual no tiene sentido, en principio porque hay un número incontable de funciones distintas cuyo polinomio de Taylor de grado cinco es el que te han dado.

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Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Vectores en el plano
« en: 11 Abril, 2022, 02:16 am »
Yo entiendo que la lancha debe apuntar en un ángulo de \( 25^\circ \) respecto de la trayectoria que quiere realizar, donde sin más explicación asumo que la trayectoria es en línea recta. Como la trayectoria que quiere realizar es en línea recta (asumo) y la velocidad de la lancha es de \( 9\mathrm{km/h} \) si al apuntar en \( 25^\circ \) realiza tal trayectoria eso quiere decir que la velocidad de la corriente que incide perpendicularmente a la lancha se cancela con la componente perpendicular de la velocidad de la lancha.

Ahora bien, la componente perpendicular (respecto a la trayectoria) de la velocidad de la lancha es \( v_1=9\cdot \operatorname{sen}(25^\circ) \), y por tanto \( -v_1 \) sería la componente perpendicular, respecto a la trayectoria de la lancha, de la corriente. Eso suponiendo que mi interpretación fuese la correcta. Ahora bien, el vector velocidad de la corriente realmente no lo conocemos con esta interpretación, ya que no conocemos su componente tangente a la trayectoria de la lancha.

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Álgebra / Re: Monoid problem demonstration
« en: 10 Abril, 2022, 05:34 am »
Show that   \( \mathbb{N}[x] \) is a monoid if the operation is multiplication.

i got it from John Perry Abstract algebra book

Se preguntó esto mismo en este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119946.msg483424#msg483424

Si eres la misma persona (las dos cuentas tienen la misma IP) no repitas hilos por favor. Pregunta en el otro hilo si tienes alguna duda y así no multiplicamos hilos con lo mismo innecesarimante.

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Chicos gracias por sus aportaciones, pero de verdad no entiendo nada. Aquí les adjunto el ejercicio como sale en el cuestionario de práctica.

No sé lo que es "un lema preliminar de recubrimiento". Sí, hay formas de demostrar que esa integral es cero (ignorando lo del recubrimiento preliminar que no sé lo que es) pero la demostración no es tan sencilla como había supuesto, revisando la literatura todo lo que encuentro utiliza la noción de homotopía entre dos curvas. Seguramente el "lema preliminar de recubrimiento" sea algo análogo a utilizar una noción de homotopía.

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Toda la razón, ha sido un despiste, al hablar de \( D \) tenía en mente un conjunto compacto simplemente conexo, ahora lo corrijo en mi anterior respuesta.

No, no. Aunque sea simplemente conexo, el resultado es falso. Una U "gorda" es simplemente conexa, pero una función analítica definida sobre una U no tiene por qué admitir un desarrollo en serie de potencias convergente en todo su dominio.

Oh, cierto. Entonces no ha sido un simple despiste, lo estaba pensando mal.

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una demostración relativamente sencilla es ver que si \( f \) es analítica en un conjunto compacto \( D \) entonces \( f(z)=\sum_{k=0}^{\infty }c_k(z-z_0)^k \) para algún \( z_0\in D \), donde la serie anterior converge uniforme y absolutamente en \( D \) (de hecho eso es lo que significa "ser analítica en \( D \)").

Ojo, eso no es cierto. Las series de potencias convergen en discos, y si \( D \) no es un disco, eso no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, la función \( f(z)=1/z \) es analítica en \( \mathbb C\setminus \{0\} \).

Toda la razón, ha sido un despiste, al hablar de \( D \) tenía en mente un conjunto compacto simplemente conexo, ahora lo corrijo en mi anterior respuesta.

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