Hola señores del foro, tengo el siguiente problema:

Calcular $$\int_{C}(x-y)dS$$ donde $$C:x^2+y^2=3x$$

Hice lo siguiente:  complete cuadrados y llegue a: $$(x-\frac{3}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2})^2$$
parametrizando en sentido anti-horario :
$$\alpha(t)=(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t, \frac{3}{2}\mbox{sen } t)  ; t \in [0,2\pi] $$

Luego $$ f(\alpha(t))= \frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t   ;  \quad \mbox{ y }  \quad   \|\alpha'(t)\|= \frac{3}{2}$$
 
Portanto seria calcular:

$$\int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t ) \frac{3}{2}dt$$

Pero en el libro dice que seria:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos t- \frac{3}{2}\mbox{sen }t ) \frac{3}{2}dt$$

y la respuesta da diferente, cual seria mi error, 

No veo que hayas cometido ningún error ya que la solución en \( \mathbb{R}^2 \) a la ecuación \( x^2+y^2=3x \) es el círculo que has descrito. Fíjate si, a lo mejor, la solución que se busca no es en todo \( \mathbb{R}^2 \) y por eso en la solución del libro sólo calculan medio círculo.

Esto no sé si catalogarlo como "recomendación" sino más bien compartir mi experiencia, que quizá sirva a otros. Conocía los libros de matemáticas de Barry Simon desde hace unos años, aunque sólo alguno de ellos lo había llegado a hojear así muy por encima.

Recientemente me he puesto a leer su libro de análisis real y debo decir que lo estoy disfrutando muchísimo... No recuerdo haber disfrutado tanto de la lectura de un libro de matemáticas. ¿Qué lo hace diferente a muchos otros libros que tratan lo mismo o parecido? Que me parece humano, profundamente humano. Con esto de humano quiero decir dos cosas:

1) La gran mayoría de teoremas están motivados, quiero decir, antes de su exposición y demostración se suele exponer brevemente por qué son útiles o necesarios.

2) Después de cada sección hay una referencia histórica, bibliográfica y biográfica de muchos matemáticos cuyos teoremas se nombran en el capítulo, junto a diferentes discusiones relevantes.

Además de lo anterior la presentación y demostración de los teoremas es muy clara y elegante, cosa que no siempre ocurre en libros de matemáticas. Así que estoy disfrutando como un enano, casi como si estuviese viendo una película o leyendo una novela.

Añadir a lo anterior que el contenido matemático es muy general, más que en muchos otros libros de análisis real, lo cual me hace disfrutarlo aún más si cabe.

Añadido.

Vale tienes razón, faltaba información en el ejercicio. Ya por curiosidad, por imaginar una situación un poco distinta, si en vez de eso tuviéramos el siguiente ejemplo. Tenemos una serie de autobuses en una ciudad con un número de licencia para cada uno (el numerito que tienen en la parte delantera). Digamos que pasan tres autobuses que tienen números 3, 27 y 80, de forma ordenada. ¿Sería posible en este caso realizar alguna estimación y estimar N (en este caso el número de licencias o autobuses)? ¿O también falta información?

Muchas gracias de antemano.

Un saludo!

Lo más que podemos decir en este caso es que se han registrado 80 licencias y por tanto, posiblemente, haya al menos 80 autobuses en circulación. En verdad, y siendo 100% rigurosos y sin más información, lo único que podemos decir es que hay, al menos, tres autobuses.

En el libro de A First Course in Abstract Algebra de J. Rotman, aparece el argumento siguiente:

      Let \(P \cdot Q\) denote the dot product:
      \[
        P \cdot Q=a c+b d .
      \]

      Now
      \[
        \begin{aligned}
          (P-Q) \cdot(P-Q) & =P \cdot P-2(P \cdot Q)+Q \cdot Q                              \\
                          & =\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a c+b d)+\left(c^{2}+d^{2}\right)  \\
                          & =\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b d+d^{2}\right) \\
                          & =(a-c)^{2}+(b-d)^{2}                                           \\
                          & =\|P-Q\|^{2}
        \end{aligned}
      \]
      It follows that every isometry \(\varphi\) preserves dot products:
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=P \cdot Q,
      \]
      because
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=\|\varphi(P)-\varphi(Q)\|^{2}=\|P-Q\|^{2}=P \cdot Q .
      \]

La parte en color rojo es incorrecta, ¿no es cierto? ¿Cómo es que el producto punto de $$P$$ y $$Q$$ es igual al cuadrado de la distancia entre ellos? Lo que yo puedo obtener a partir de los cálculos que se muestran es que
\[
2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2,
\]
y de aquí puede obtenerse la invariancia del producto punto bajo isometrías, ¿cierto?.

Sí, es un error muy gordo. Se habrá despistado ahí Rotman, seguramente quisiese escribir otra cosa, pero no tengo muy claro el qué. Es cierto que las isometrías preservan los productos internos, pero eso es debido a que el dual de Hilbert (en espacios de Hilbert de dimensión finita) de una isometría es igual a su inversa, es decir que \( \varphi ^*=\varphi ^{-1} \) y por tanto \( \langle \varphi P,\varphi Q \rangle=\langle \varphi ^*\varphi P,Q \rangle=\langle P,Q \rangle    \) (aquí he utilizado la notación \( \langle \,\cdot\, ,\,\cdot\,  \rangle  \) para el producto interior).

Corrección: había pasado por alto que, si la dimensión del espacio de Hilbert es infinita, entonces las isometrías no son necesariamente invertibles.

He encontrado un problema que parece bastante simple, pero que no sé resolver. Dice así:

En una clase se pregunta las calificaciones a 6 estudiantes. Sus notas son 1, 2, 3, 9, 9, 10. En base a estos resultados de la muestra, ¿de qué forma se podría estimar el número total N de alumnos en la clase? ¿Cuál seria ese valor? (Se debe tener en cuenta que las variables son aleatorias discretas)

Se trata de un problema de inferencia estadística, pero no tengo ni idea de como puedo hallar el tamaño poblacional.

¡Muchas gracias de antemano!

Tal y como está planteado y sin más datos la única estimación que se puede hacer es que hay al menos seis alumnos. Lo de las notas, por sí solo y sin alguna suposición especial, no da ninguna información.

Muchas gracias Masacroso, me ha quedado claro todo, salvo una cosa, ¿se puede llegar a calcular el valor de \(  q  \)? Si es así, no sé cómo calcular esa probabilidad con valor absoluto.

Un saludo.

Observa que

Hola a todos.

Estoy intentando realizar un ejercicio de probabilidad usando el Teorema de Bayes, pero en este caso no tengo urnas con números enteros, sino el siguiente enunciado:

Tengo n urnas \( U_i \ \forall{i} = 1,...,n  \). Elijo una urna, saco una bola de ella y la devuelvo a la misma urna. Saco una segunda bola que vuelvo a devolver y saco una tercera (todas estas de la urna elegida inicialmente). Sabemos que \( P(elegir \ urna \ U_i) = 1/n \ \forall{i} = 1,...,n \). Calcular:

1- P(dos primeras bolas extraídas sean blancas)
2- P(la urna elegida sea \( U_r \) si las dos primeras bolas fueron blancas)
3- P(tercera bola sea blanca si las dos primeras fueron blancas)

¿Cuántas bolas hay en cada urna? ¿Qué tipos de bolas hay en cada urna, sólo negras y blancas? Es que sin eso no se puede hacer nada, faltan datos del ejercicio, ¿o se trata de plantear el problema teóricamente y ya está? En este último caso podríamos hacer lo siguiente, definimos la variable aleatoria \( X \), que toma valores en \( \{1,\ldots ,n\} \), y representa la elección de la urna, y por \( B_j \) representamos el evento "extraer una bola blanca en la \( j \)-ésima extracción".

Entonces, como la extracción de las bolas es con reposición podemos asumir que las extracciones de bolas de la urna elegida son sucesos independientes. Entonces la primera probabilidad pedida es


La segunda probabilidad pedida es


La tercera es

Hola, en un ejercicio me piden lo siguiente:
si el polinomio de Taylor de f de orden 5 en \(  x_0 =2  \) es \(  p(x) = (x-2)^5 + 3(x-2)^4 + 3(x-2)^2 -8 \). Calcular \(  f^3 (2)  \) y \(  f^4 (2)  \). ¿Se puede conocer el valor de \(  f^6 (2)  \)? ¿Cuánto vale \(  f ^6 (2)  \)?

Traté de rearmar el polinomio y llegué  a esto :

\(  p(x) = \displaystyle\frac{120}{5!} (x-2)^5 + \displaystyle\frac{72}{4!} (x-2)^4 + \displaystyle\frac{6}{2!} (x-2)^2 -8  \) y obtuve que \(  f^4 (2) = 72  \). Pero no se como hallar \(  f^3 (2)  \) y \(  f^6 (2)  \).

¿Alguna pista para resolver esto? Gracias desde ya

Antes que nada, la notación \( f^k(a) \) es confusa respecto al significado de \( k \), en este contexto se entiende que se refiere a la \( k \)-ésima derivada de \( f \) en \( a \), aunque eso se suele notar como \( f^{(k)}(a) \). Dicho eso, tienes que \( f^{(3)}(2)=0 \), y el valor de \( f^{(6)}(2) \) es desconocido. De hecho, si pudieses conocer el valor de \( f^{(6)}(2) \) entonces podrías escribir el polinomio de Taylor de grado seis, y conocer a su vez el valor de \( f^{(7)}(2) \), y sucesivamente conocer el valor de \( f^{(k)}(2) \) para todo \( k \) y así obtener la expansión de Taylor entorno a \( 2 \), lo cual no tiene sentido, en principio porque hay un número incontable de funciones distintas cuyo polinomio de Taylor de grado cinco es el que te han dado.

Show that   \( \mathbb{N}[x] \) is a monoid if the operation is multiplication.

i got it from John Perry Abstract algebra book

Se preguntó esto mismo en este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119946.msg483424#msg483424

Si eres la misma persona (las dos cuentas tienen la misma IP) no repitas hilos por favor. Pregunta en el otro hilo si tienes alguna duda y así no multiplicamos hilos con lo mismo innecesarimante.

Cita de: Masacroso en 09 Abril, 2022, 10:12 pm

Toda la razón, ha sido un despiste, al hablar de \( D \) tenía en mente un conjunto compacto simplemente conexo, ahora lo corrijo en mi anterior respuesta.

No, no. Aunque sea simplemente conexo, el resultado es falso. Una U "gorda" es simplemente conexa, pero una función analítica definida sobre una U no tiene por qué admitir un desarrollo en serie de potencias convergente en todo su dominio.

Oh, cierto. Entonces no ha sido un simple despiste, lo estaba pensando mal.