No, no tiene mucho sentido para \( \phi-\theta \) real (y creo que si fuesen complejos tampoco).

Un punto de partida es ver lo que pasa cuando \( x \) o \( y \) valen cero o uno, ya que eso restringirá bastante el tipo de funciones que se puedan definir. Por ejemplo: si \( x=0 \) nos quedaría la ecuación \( f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor \) para todo \( y\in\Bbb R \) por lo cual...

Muchas gracias a todos. Algun libro o pagina que me recomienden con ejercicios parecidos se los agredeceria mucho!

El libro Problems and solutions in introductory and advanced matrix calculus de Steeb está dedicado a lo que su título indica. El tercer capítulo es de problemas de determinantes y trazas, eso sí, está en inglés. Lo puedes encontrar en formato DJVU buscando por ahí.

Por otra parte buscando en google por "exercises determinants" se encuentran varios PDFs en línea con ejercicios de diferentes estudiantes/universidades. Si tuviese que elegir me quedaría con este PDF que tiene ejercicios y teoría.

Añado: he buscado cosas en castellano pero lo que he encontrado no me ha parecido adecuado al tema del hilo (he encontrado ejercicios de cálculo de determinantes de matrices definidas, pero no ejercicios de cálculo simbólico).

Juan Pablo, me parece que has aplicado un test para series, el test del ratio ¿no?

No, el límite no es necesariamente cero. Mis planteos anteriores fueron erróneos, no había leído bien el ejercicio. Observa que el límite \( \lim_{k\to\infty}|(k+1)^k(pq)^k|=\infty \) si \( pq\neq 0 \), precisamente por la propiedad arquimedeana antes citada.

Por otro lado si \( |2pq|<1 \) entonces \( \lim_{k\to\infty}|2pq|^k=0 \), y si \( |2pq|>1 \) entonces \( \lim_{k\to\infty}|2pq|^k=\infty \), y cuando \( 2pq=1 \) el límite \( \lim_{k\to\infty} (pq)^k=1 \), y si \( 2pq=-1 \) el límite anterior no existe.

Por lo cual si \( |2pq|<1 \) no está claro cuánto vale el límite del ejercicio. Por otro lado la expresión \( (2k)!/(k!)^2 \) aparece en algunas expresiones relacionadas con funciones trigonométricas, así que seguramente para el caso de \( 0<2pq\le 1 \) el límite sea finito. Ahora mismo no se me ocurre como resolverlo.

Quizá sea también útil observar que \( (2k)!/(k!)^2=\binom{2k}k \).


AÑADIDO:

Contestación en breve: no, no tienen esa distribución ya que los números reales no son contables... La distribución IQIQIQ... presupone que los reales son contables, es decir, ordenables en listas, lo cual es imposible como demostró Cantor hace un tiempo.

Una forma es analizar la derivada de la función definida por \( f(\alpha):=1+z^\alpha-(1+z)^\alpha \), donde \( z\in[0,1) \), ya que suponiendo (sin pérdida de generalidad) que \( x> y \) tu desigualdad se puede reescribir como


donde he definido \( z:=y/x \).

---

Otra forma sería usar la expansión binomial de \( (1+z)^\alpha \) y, ya sea mostrar por inducción o alguna cota, que la desigualdad se cumple.

No tiene mucho misterio. Simplemente tienes que simplificar \( (2k)!/(k!)^2 \) y, si fuese necesario, observar que por la propiedad arquimedeana de los reales existe un \( m\in\Bbb N \) tal que \( m\cdot pq>1 \).


PLANTEAMIENTO ERRÓNEO

CÁLCULO MENTAL DE CUADRADOS Y CUBOS DE NÚMEROS DE DOS Y TRES CIFRAS CON AYUDA VISUAL: aquí lo que yo propongo es simplemente utilizar la expansión binomial/multinomial dando cuenta de la contribución de las cifras originales a las cifras de la potencia.

Por ejemplo: el cuadrado de un número de dos cifras \( a \) y \( b \) se calcularía como \( (a|b)^2=a^2|2ab|b^2 \), donde las barras se utilizan para separar dígitos y cálculos como se mostró en mi post anterior. Un ejemplo: \( 84^2=64|64|16=7056 \), que se calcula mentalmente como \( 64,64\to 70,4 \), y luego \( 70,4,16\to70,5,6 \). Y un cubo de un número de tres cifras toma la forma \( (a|b)^3=a^3|3a^2b|3ab^2|b^3 \).

Si son tres cifras entonces \( (a|b|c)^2=a^2 | 2ab|2ac+b^2|2bc | c^2 \), y de manera análoga se puede encontrar una fórmula para el cubo (la forma general se puede obtener de lo que se ha denominado "producto cruzado de dígitos" en la técnica de cálculo de productos llamada "védica").

Una forma de usar esto para hacer productos de números de hasta tres cifras es observar que \( n\times m=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left|\frac{n+m}2-n\right|^2 \), es decir: el cuadrado de la media menos el cuadrado de la desviación a la media. Aunque es mejor desarrollar otras técnicas específicas para productos de números.

---

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DE DOS Y TRES CIFRAS CON AYUDA VISUAL: al igual que en el caso anterior sólo que esta vez tenemos que \( (a|b)(c|d)=ac|ad+bc|bd \) para el caso de dos cifras. Ejemplo: \( 87\times 23\implies 16\to (16,24\to) 18,4\to (18,4+14\to) 19,8\to (19,8,21\to) 19,10,1\to 20,0,1 \), es decir que \( 87\times 23= 2001 \).

Para el caso de tres cifras tenemos que \( (x|y|z)(a|b|c)=xa|xb+ya|xc+yb+zc|yc+zb|zc \), lo cual necesita algo de práctica para hacerse mentalmente con el sistema de listas (es una variación de la multiplicación védica de números de tres cifras). Por ejemplo

Hola Masacroso.

Me gusta tu método, gracias por compartirlo. Desde ahora lo pondré en práctica.

Saludos

Me alegro que te haya gustado. Lo de arriba es fácilmente adaptable a restas, es decir, restamos los dígitos y evaluamos si la resta de dígitos siguiente es negativa, si es el caso restamos uno a la resta actual.

El siguiente paso es adaptarlo a sumas de más de dos dígitos, por lo que he de encontrar una forma rápida de evaluar las decenas y unidades de una suma de dígitos más larga.

También buscaré un método para divisiones y multiplicaciones, siempre buscando que el cálculo sea de izquierda a derecha y lo más rápido posible.

---

TÉCNICA DE CÁLCULO MENTAL PARA SUMAR DOS O MÁS NÚMEROS CON AYUDA VISUAL: he probado varios métodos para sumar varios números a la vez y me he encontrado que me resulta relativamente fácil si creo lo que yo denomino una lista mental de números, que viene a ser un vector de naturales.

Un ejemplo, para sumar \( 2458+7649+3538 \) sumamos \( 2+7+3=12 \) y hacemos un registro mental de ese número, doce, como el primer número de nuestra lista mental. Luego evaluamos la suma de los siguientes dígitos y la añadimos a la lista, es decir \(  4+6+5=15 \) por lo cual pensamos la lista de números \( 12, 15 \) y su transformación a base decimal como \( 13,5 \), es decir, sumando las decenas al número anterior y dejando las unidades.

Seguimos: \( 5+4+3=12 \) por lo cual ahora tenemos la lista \( 13,5,12 \) que se transforma en la lista \( 13,6,2 \), y seguimos \( 8+9=17 \) por lo que la lista de números ahora va así \( 13,6,2,17\to 13,6,3,7 \), y finalmente sumando \( 8 \) nos queda la lista \( 13,6,3,15\to 13,6,4,5 \).

Por tanto la suma total queda \( 2458+7649+3538=13 6 4 5 \). Pero la forma final de cálculo mental que debemos adoptar es la siguiente secuencia de pensamientos


Lo anterior también aparece en el libro titulado Dead Reckoning. Calculating without instruments, es la versión mental de una forma de sumar en papel de izquierda a derecha separando por cifras:


donde las barras separan dígitos "sin base numérica" (aunque representados por la base numérica decimal), más tarde se acomodan a la base decimal sumando el acarreo. Lo que yo propongo arriba es lo mismo pero adaptado al cálculo mental, es decir, sumando y acomodando a base decimal recursivamente, paso a paso, dígito a dígito. Como la lista va variando y alargándose poco a poco es relativamente fácil hacer el cálculo mentalmente siempre que tangamos los sumandos a la vista.

---

TÉCNICA DE CALCULO MENTAL DE PRODUCTO DE UN NÚMERO POR OTRO NÚMERO DE UNA CIFRA, CON AYUDA VISUAL: la técnica de suma anterior puede aplicarse al cálculo de productos de dos números donde uno tiene una cifra. Por ejemplo \( 67357\times 6 \) se puede calcular con listas de este modo:


Básicamente es lo mismo que hemos hecho antes para sumar cifras usando listas pero usando productos simples de dos cifras en vez de sumas.