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Mensajes - Masacroso

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Cálculo de Varias Variables / Re: Definición de derivadas parciales
« en: 07 Octubre, 2017, 02:56 pm »
La función original no está definida en \( f(x,0) \) (o en \( f(0,y) \)) así que no sé cómo lo estás haciendo. No obstante la función original posiblemente se pueda definir continuamente en \( f(x,0) \) (o en \( f(0,y) \)) si los límites existen en esos puntos, y en \( f(0,0) \) siempre y cuando el doble límite \( \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \) exista.

3122
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Exponencial compleja
« en: 06 Octubre, 2017, 08:24 pm »
No, no tiene mucho sentido para \( \phi-\theta \) real (y creo que si fuesen complejos tampoco).

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Cálculo 1 variable / Re: Riemann Integrable
« en: 06 Octubre, 2017, 06:40 pm »
El número de discontinuidades puede ser infinito contable, por ejemplo la función de Thomae tiene límite definido en todos sus puntos igual a cero pero su número de discontinuidades es infinito contable.

Así que tendrás que tener eso en cuenta también.

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De oposición y olimpíadas / Re: funcional y función piso
« en: 06 Octubre, 2017, 03:46 pm »
Un punto de partida es ver lo que pasa cuando \( x \) o \( y \) valen cero o uno, ya que eso restringirá bastante el tipo de funciones que se puedan definir. Por ejemplo: si \( x=0 \) nos quedaría la ecuación \( f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor \) para todo \( y\in\Bbb R \) por lo cual...

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Álgebra / Re: linda propriedad
« en: 06 Octubre, 2017, 01:22 pm »
Se puede demostrar fácilmente por contradicción o por contraposición utilizando las definiciones de inyectividad y sobreyectividad.

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Álgebra / Re: Identidad de determinantes
« en: 06 Octubre, 2017, 05:31 am »
Muchas gracias a todos. Algun libro o pagina que me recomienden con ejercicios parecidos se los agredeceria mucho!

El libro Problems and solutions in introductory and advanced matrix calculus de Steeb está dedicado a lo que su título indica. El tercer capítulo es de problemas de determinantes y trazas, eso sí, está en inglés. Lo puedes encontrar en formato DJVU buscando por ahí.

Por otra parte buscando en google por "exercises determinants" se encuentran varios PDFs en línea con ejercicios de diferentes estudiantes/universidades. Si tuviese que elegir me quedaría con este PDF que tiene ejercicios y teoría.

Añado: he buscado cosas en castellano pero lo que he encontrado no me ha parecido adecuado al tema del hilo (he encontrado ejercicios de cálculo de determinantes de matrices definidas, pero no ejercicios de cálculo simbólico).

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Cálculo 1 variable / Re: Cálculo de límite con factoriales
« en: 05 Octubre, 2017, 01:07 pm »
Algo parecido si el criterio de d'Alembert, pero en sucesiones también funciona, ahora intentaré buscar el hilo.



Sí, ya me he dado cuenta. Claro, si funciona para series funciona para sucesiones, es decir, la convergencia/divergencia de la serie implica la convergencia/divergencia de la sucesión.

La convergencia de la serie implica la convergencia de la sucesión a cero, sin embargo la divergencia de la serie (dada por el criterio d'Alambert) no implica necesariamente la divergencia de la sucesión. La divergencia, por el criterio d'Alambart, nos dice que para suficientemente grande \( n\in\Bbb N \) tenemos que \( |a_{k+1}|>|a_k| \), pero eso no implica necesariamente que la sucesión \( \{a_n\}_{n\in\Bbb N} \) diverja.

Ok, parece que sí, que después de todo si la serie diverge por el criterio d'Alambert también lo hace la sucesión.

(Sí, hablamos de lo mismo, criterio d'Alambert o también conocido en inglés como "ratio test".)

EDITADO.

3128
Cálculo 1 variable / Re: Cálculo de límite con factoriales
« en: 05 Octubre, 2017, 12:50 pm »
Juan Pablo, me parece que has aplicado un test para series, el test del ratio ¿no?

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Cálculo 1 variable / Re: Desigualdad entre números reales
« en: 05 Octubre, 2017, 10:41 am »
Tienes razón Luis, lo cierto es que esa función que dejé no es útil ahora que miro mejor, la derivada es más complicada que la función original.

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Cálculo 1 variable / Re: Cálculo de límite con factoriales
« en: 05 Octubre, 2017, 06:36 am »
No, el límite no es necesariamente cero. Mis planteos anteriores fueron erróneos, no había leído bien el ejercicio. Observa que el límite \( \lim_{k\to\infty}|(k+1)^k(pq)^k|=\infty \) si \( pq\neq 0 \), precisamente por la propiedad arquimedeana antes citada.

Por otro lado si \( |2pq|<1 \) entonces \( \lim_{k\to\infty}|2pq|^k=0 \), y si \( |2pq|>1 \) entonces \( \lim_{k\to\infty}|2pq|^k=\infty \), y cuando \( 2pq=1 \) el límite \( \lim_{k\to\infty} (pq)^k=1 \), y si \( 2pq=-1 \) el límite anterior no existe.

Por lo cual si \( |2pq|<1 \) no está claro cuánto vale el límite del ejercicio. Por otro lado la expresión \( (2k)!/(k!)^2 \) aparece en algunas expresiones relacionadas con funciones trigonométricas, así que seguramente para el caso de \( 0<2pq\le 1 \) el límite sea finito. Ahora mismo no se me ocurre como resolverlo.

Quizá sea también útil observar que \( (2k)!/(k!)^2=\binom{2k}k \).

Spoiler
Mirando en Wolfram Mathematica y dando valores entre uno y cero a la función definida por
Código: [Seleccionar]
f[p_]:=Limit[Binomial[2k,k] p^k,k->Infinity]
me da cero o infinito... lol. Por ejemplo \( f(1/3)=\infty \) pero \( f(1/4)=0 \).
[cerrar]

AÑADIDO:
Spoiler
He hecho una consulta relacionado a este tema en MSE, ya que no tenía claro si era posible que existiese algún \( pq\ge 0 \) tal que el valor del límite fuese finito y distinto de cero... pero parece que tal cosa no es posible.
[cerrar]

3131
Cálculo 1 variable / Re: Cálculo de límite con factoriales
« en: 05 Octubre, 2017, 04:07 am »
Hola Masacroso

Gracias por tu ayuda.

Podrías explicarme por favor .
como la propiedad arquimediana me solucionaría el límite?

Saludos!

Evalúa los límites

\( \displaystyle\cancel{\lim_{k\to\infty}\frac{k+j}j,\quad j\in\{1,\ldots,k\}} \)

y verás para qué la necesitas.

PLANTEAMIENTO ERRÓNEO.

3132
Contestación en breve: no, no tienen esa distribución ya que los números reales no son contables... La distribución IQIQIQ... presupone que los reales son contables, es decir, ordenables en listas, lo cual es imposible como demostró Cantor hace un tiempo.

3133
Análisis Matemático / Re: Vector unitario normal
« en: 05 Octubre, 2017, 02:47 am »
Básicamente tienes que mostrar que el producto escalar \( \hat n\cdot\partial r \) es cero, o dicho de otro modo: que

\( \partial[\varphi(r)]=\partial(\varphi\circ r)=(\partial\varphi\circ r)\partial r=|\nabla\varphi(r)|\hat n\cdot\partial r=0 \)

que es equivalente a decir que \( \varphi(r) \) es constante.

3134
Cálculo 1 variable / Re: Desigualdad entre números reales
« en: 05 Octubre, 2017, 02:20 am »
Una forma es analizar la derivada de la función definida por \( f(\alpha):=1+z^\alpha-(1+z)^\alpha \), donde \( z\in[0,1) \), ya que suponiendo (sin pérdida de generalidad) que \( x> y \) tu desigualdad se puede reescribir como

\( \displaystyle (x+y)^\alpha \le x^\alpha + y^\alpha\implies x^\alpha(1+z)^\alpha\le x^\alpha(1+z^\alpha) \)

donde he definido \( z:=y/x \).

Otra forma sería usar la expansión binomial de \( (1+z)^\alpha \) y, ya sea mostrar por inducción o alguna cota, que la desigualdad se cumple.

3135
Topología (general) / Re: Continuidad con respecto a una base
« en: 05 Octubre, 2017, 02:12 am »
No, el enunciado de tu profesor es correcto. Se trata de mostrar que la preimagen de cualquier abierto es también abierta.

Ahora bien: no sé exactamente cómo debes hacer la demostración ya que para mí lo que tu profesor te pide "demostrar" es la definición general de continuidad... por tanto tendrás que partir de un contexto en el que esa demostración tenga sentido, pero ese contexto no lo conozco.

Por ejemplo: si \( X \) e \( Y \) fuesen espacios métricos entonces tendrías que ver que esa definición de continuidad es equivalente a la de Weierstrass dada por épsilons y deltas.

3136
Cálculo 1 variable / Re: Cálculo de límite con factoriales
« en: 05 Octubre, 2017, 02:03 am »
No tiene mucho misterio. Simplemente tienes que simplificar \( (2k)!/(k!)^2 \) y, si fuese necesario, observar que por la propiedad arquimedeana de los reales existe un \( m\in\Bbb N \) tal que \( m\cdot pq>1 \).

Spoiler
\( \cancel{\displaystyle\frac{(2k)!}{(k!)^2}=\frac{1\cdot 2\cdots k\cdot(k+1)\cdots (2k)}{1\cdot2\cdots k\cdot 1\cdot 2\cdots k}} \)
[cerrar]

PLANTEAMIENTO ERRÓNEO

3137
Áreas / Re: Diferencia de áreas
« en: 04 Octubre, 2017, 09:20 am »
¿Y F qué es? Yo creo que el problema, aclarando lo de F, es una utilización del teorema del coseno.

EDITO: supongo que F es el punto medio de BC.

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CÁLCULO MENTAL DE CUADRADOS Y CUBOS DE NÚMEROS DE DOS Y TRES CIFRAS CON AYUDA VISUAL: aquí lo que yo propongo es simplemente utilizar la expansión binomial/multinomial dando cuenta de la contribución de las cifras originales a las cifras de la potencia.

Por ejemplo: el cuadrado de un número de dos cifras \( a \) y \( b \) se calcularía como \( (a|b)^2=a^2|2ab|b^2 \), donde las barras se utilizan para separar dígitos y cálculos como se mostró en mi post anterior. Un ejemplo: \( 84^2=64|64|16=7056 \), que se calcula mentalmente como \( 64,64\to 70,4 \), y luego \( 70,4,16\to70,5,6 \). Y un cubo de un número de tres cifras toma la forma \( (a|b)^3=a^3|3a^2b|3ab^2|b^3 \).

Si son tres cifras entonces \( (a|b|c)^2=a^2 | 2ab|2ac+b^2|2bc | c^2 \), y de manera análoga se puede encontrar una fórmula para el cubo (la forma general se puede obtener de lo que se ha denominado "producto cruzado de dígitos" en la técnica de cálculo de productos llamada "védica").

Una forma de usar esto para hacer productos de números de hasta tres cifras es observar que \( n\times m=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left|\frac{n+m}2-n\right|^2 \), es decir: el cuadrado de la media menos el cuadrado de la desviación a la media. Aunque es mejor desarrollar otras técnicas específicas para productos de números.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DE DOS Y TRES CIFRAS CON AYUDA VISUAL: al igual que en el caso anterior sólo que esta vez tenemos que \( (a|b)(c|d)=ac|ad+bc|bd \) para el caso de dos cifras. Ejemplo: \( 87\times 23\implies 16\to (16,24\to) 18,4\to (18,4+14\to) 19,8\to (19,8,21\to) 19,10,1\to 20,0,1 \), es decir que \( 87\times 23= 2001 \).

Para el caso de tres cifras tenemos que \( (x|y|z)(a|b|c)=xa|xb+ya|xc+yb+zc|yc+zb|zc \), lo cual necesita algo de práctica para hacerse mentalmente con el sistema de listas (es una variación de la multiplicación védica de números de tres cifras). Por ejemplo

\( 639\times 514=\big (30\to 30,6+15\to 30,21\to 32,1\to 32,3,7\to 32,3,52\to 32,8,2\to 32,8,4,1\to 32,8,4,4,6\big )=328446 \)

3139
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matrices
« en: 04 Octubre, 2017, 02:08 am »
Tu problema se resume en hallar una matriz \( A \) de dimensiones \( 2\times 2 \) tal que \( A(x,y)=(x+y,x-y) \), por lo cual tienes que resolver el sistema de ecuaciones lineales definido por el siguiente producto

\( \pmatrix{a&b\\c&d}\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{x+y\\x-y}\implies ax+by=x+y\quad\text{ y }\quad cx+dy=x-y \)

3140
Hola Masacroso.

Me gusta tu método, gracias por compartirlo. Desde ahora lo pondré en práctica.

Saludos



Me alegro que te haya gustado. Lo de arriba es fácilmente adaptable a restas, es decir, restamos los dígitos y evaluamos si la resta de dígitos siguiente es negativa, si es el caso restamos uno a la resta actual.

El siguiente paso es adaptarlo a sumas de más de dos dígitos, por lo que he de encontrar una forma rápida de evaluar las decenas y unidades de una suma de dígitos más larga.

También buscaré un método para divisiones y multiplicaciones, siempre buscando que el cálculo sea de izquierda a derecha y lo más rápido posible.

TÉCNICA DE CÁLCULO MENTAL PARA SUMAR DOS O MÁS NÚMEROS CON AYUDA VISUAL: he probado varios métodos para sumar varios números a la vez y me he encontrado que me resulta relativamente fácil si creo lo que yo denomino una lista mental de números, que viene a ser un vector de naturales.

Un ejemplo, para sumar \( 2458+7649+3538 \) sumamos \( 2+7+3=12 \) y hacemos un registro mental de ese número, doce, como el primer número de nuestra lista mental. Luego evaluamos la suma de los siguientes dígitos y la añadimos a la lista, es decir \(  4+6+5=15 \) por lo cual pensamos la lista de números \( 12, 15 \) y su transformación a base decimal como \( 13,5 \), es decir, sumando las decenas al número anterior y dejando las unidades.

Seguimos: \( 5+4+3=12 \) por lo cual ahora tenemos la lista \( 13,5,12 \) que se transforma en la lista \( 13,6,2 \), y seguimos \( 8+9=17 \) por lo que la lista de números ahora va así \( 13,6,2,17\to 13,6,3,7 \), y finalmente sumando \( 8 \) nos queda la lista \( 13,6,3,15\to 13,6,4,5 \).

Por tanto la suma total queda \( 2458+7649+3538=13 6 4 5 \). Pero la forma final de cálculo mental que debemos adoptar es la siguiente secuencia de pensamientos

\( 12\to 13,5\to 13,6,2\to 13,6,3,7\to 13,6,4,5 \)

Lo anterior también aparece en el libro titulado Dead Reckoning. Calculating without instruments, es la versión mental de una forma de sumar en papel de izquierda a derecha separando por cifras:

\( 152426+645728+63546+625346=13|17|15|19|12|26=14|8|6|10|4|6=1487046 \)

donde las barras separan dígitos "sin base numérica" (aunque representados por la base numérica decimal), más tarde se acomodan a la base decimal sumando el acarreo. Lo que yo propongo arriba es lo mismo pero adaptado al cálculo mental, es decir, sumando y acomodando a base decimal recursivamente, paso a paso, dígito a dígito. Como la lista va variando y alargándose poco a poco es relativamente fácil hacer el cálculo mentalmente siempre que tangamos los sumandos a la vista.

TÉCNICA DE CALCULO MENTAL DE PRODUCTO DE UN NÚMERO POR OTRO NÚMERO DE UNA CIFRA, CON AYUDA VISUAL: la técnica de suma anterior puede aplicarse al cálculo de productos de dos números donde uno tiene una cifra. Por ejemplo \( 67357\times 6 \) se puede calcular con listas de este modo:

\( 36\to 40,2\to 40,3,8\to 40,4,1,0\to 40,4,1,4,2 \)

Básicamente es lo mismo que hemos hecho antes para sumar cifras usando listas pero usando productos simples de dos cifras en vez de sumas.

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