Hola comunidad, saludos a todos:

¿Cuál es la diferencia entre una Binomial negativa y una Binomial?

Saludos,

Mira aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial_negativa

y compara con la distribución binomial:

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

Gracias amigo.

Entonces la solución estaría aproximadamente en \( [-0.2441,0.2441] \)

Eso es.

Hola compañeros del foro.
Tengo un problema que debo resolver
Use su graficadora para completar la tabla en la que se muestra que \( senθ\approx{θ} \) para valores pequeños de \(  θ    \). ¿Para qué valores de \( θ    \) la magnitud del error es menos del \( 1\% \) de \(  
 θ  \)?
Esto es resuelva la relación
\( \left |{sen θ-θ}\right |<0.01\left |{senθ}\right | \)
Hice la tabla y la aproximación es como me dice el problema pero no puedo resolver la inecuación.
A lo más que llegue es

\( \displaystyle\frac{\left |{sen θ- 
 θ }\right |}{\left |{sen
θ  }\right |}<0.01 \)

\( \left |{\displaystyle\frac{sen θ-  θ }{sen θ }}\right |<0.01 \)


\( -0.01<\displaystyle\frac{sen  θ-  θ }{sen  θ }<0.01 \)


\( -0.01<1-\displaystyle\frac{θ   }{sen θ 
 }<0.01 \)


\( -1.01<-\displaystyle\frac{ θ  }{sen  θ  }<0.99 \)


Pero hasta ahí he llegado.

Tienes que \( \left| 1-\frac{\theta }{\operatorname{sen}\theta } \right|<\frac1{100} \). Ahora fíjate que, en \( [-\pi,\pi] \), \( \theta  \) y \( \operatorname{sen}\theta  \) tienen el mismo signo siempre, y que siempre se da el caso de que \( \theta >\operatorname{sen}\theta  \), ya que en un círculo la longitud de arco que define un ángulo en el primer cuadrante (que es igual al valor del ángulo) tiene una longitud mayor al seno de ese mismo ángulo. Esto quiere decir que \( \left| 1-\frac{\theta }{\operatorname{sen}\theta } \right|=\frac{\theta }{\operatorname{sen}\theta }-1 \) al menos cuando \( \theta \in[-\pi/2,\pi/2] \).

Ahora te queda hallar el valor de \( \theta  \) en \( [0,\pi/2] \) para el cual \( \frac{\theta }{\operatorname{sen}\theta }-1=\frac1{100} \), y a partir de ahí y debido a la paridad de la función \( \frac{\theta }{\operatorname{sen}\theta } \) hallar el rango de valores que cumplen la desigualdad de origen en \( [-\pi/2,\pi/2] \).

Una forma de plantear el ejercicio, aunque desde luego no tan sencilla como la de hméndez.

Primero definimos los vectores


Y para cualquier vector \( x \) definimos \( \hat x:=x/\|x\| \).

Ahora, utilizando una base ortonormal \( e_1,e_2,e_3 \) tal que \( e_1:=\hat u \), \( \operatorname{span}(e_1,e_2)=\operatorname{span}(u,v) \) y \( h=\|h\| e_3 \), podemos hallar las coordenadas de los vectores directores \( \hat u,\, \hat v \) y \( \hat w \) a partir de las relaciones


A partir de ahí con las relaciones


podemos definir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos den los valores de \( \|u\| \) y de \( \|w\| \), hallando así la expresión explícita de los vectores \( u \) y \( w \) en base \( e_1,e_2,e_3 \).

Ahora bien, la longitud de \( v \) no afecta ninguna de las relaciones establecidas, por tanto o bien faltan datos en el ejercicio o bien hay que asumir, como hace hméndez, que el paralelogramo \( ABCD \) es un rombo para finalizar el ejercicio.

gracias , y como determinaria la igualdad entre dos transformaciones lineales   

Tienen que ser la misma función, es decir, que mapeen los mismos vectores a los mismos vectores. Entonces si, por ejemplo, representas ambos isomorfismos utilizando las mismas bases vectoriales entonces las matrices resultantes deben de ser idénticas.

Hola buenas, estoy intentando hacer el siguiente ejercicio pero estoy atascado ya desde hace un buen rato:
"Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua verificando que \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=0 \) para toda función \( g:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) continua con \( g(a)=g(b)=0 \). Demostrar que \( f(x)=0\forall{x}\in{[a,b]} \)"
He hecho alguna otra demostración antes parecida y la clave estaba en la continuidad de las funciones pero aquí no veo cómo seguir. Muchas gracias por la ayuda.

Supón que \( f\neq 0 \), entonces existe \( x_0\in [a,b] \) tal que \( f(x_0)\neq 0 \), sin pérdida de generalidad puedes suponer que \( f(x_0)=1 \). Entonces existe un entorno del \( x_0 \), es decir que existe un \( \delta >0 \), tal que si \( x\in [x_0-\delta ,x_0+\delta ]  \) entonces \( f(x)\geqslant 1/2 \). Ahora, sólo te falta definir una función continua \( g \) tal que \( g(x)=0 \) en \( [a,b]\setminus [x_0-\delta ,x_0+\delta ] \), \( g(x)=1 \) en \( [x_0-\delta/2 ,x_0+\delta/2 ] \) y que en el resto su valor sea positivo (por simplicidad con valores comprendidos entre cero y uno, una función con estas características tendría la forma de un trapecio).

Siete empleados de la empresa, dos de los cuales son gerentes, organizaron una reunión para discutir la actualidad
resultados de algunos objetivos corporativos. La reunión estaba prevista en un salón que tiene una mesa circular de siete
lugares donde los empleados deben sentarse. En esta reunión, los dos gerentes deben sentarse separados
para facilitar la comunicación, y otros dos empleados deberán sentarse uno al lado del otro, ya que llevarán a cabo
juntos una breve presentación.
Obedeciendo estas restricciones, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse los siete empleados alrededor del
mesa para la celebración de la reunión?(R:144)

Considerando a las dos personas juntas como una (6!/6) * 2! (como se pueden permutar)
Eliminando la posibilidad de que los gerentes estén juntos ´(considerado como un tbm) (5!/5) * 2! (gerentes intercambiando juntos)
Por lo tanto 240-48= 192
¿Dónde está el error?

Agrupemos los dos que siempre deben ir sentados juntos como una sola persona, momentáneamente. Entonces es más fácil calcular de cuántas formas distintas se pueden colocar seis personas alrededor de una mesa circular en la que otras dos personas determinadas (los gerentes) siempre se sientan uno junto al otro, esas serían las configuraciones que no nos interesan, las cuales habría que restar a las totales (las totales serían en este contexto las permutaciones circulares de siete personas en las dos empleados siempre se sientan uno junto al otro). Las diferentes permutaciones circulares de \( n \) elementos son \( (n-1)! \), ya que si fuesen permutaciones lineales habría que dividirlas por \( n \) que es el número de permutaciones equivalentes si las consideramos en un círculo.

En nuestro caso el número total de permutaciones circulares distintas de siete objetos, donde un par de ellos siempre se aparecen uno al lado del otro, es \( 2\cdot 5! \), donde el dos es debido a las diferentes formas en las que podemos ordenar los dos objetos que van contiguos.

Si los gerentes se sientan uno al lado del otro entonces, usando el mismo razonamiento de antes, tendríamos que habría \( 2\cdot 2\cdot 4! \) configuraciones posibles. El total buscado es la diferencia, que representa el número total de permutaciones circulares en las que hay dos objetos que siempre van contiguos y otros dos objetos que nunca van contiguos, es decir \( 2\cdot 5!-4\cdot 4!=144 \).

P.D.: he cambiado el título del tema a uno más acorde y lo he movido al subforo correspondiente.

Creo que esto no está del todo bien. De \[ n \mid p^2k \] y \[ n \not\mid p^2 \] no se sigue que \[ n \mid k \]. Podria pasar, por ejemplo, que \[ n=pk' \] con \[ k'\mid k \] y \[ 1<k'<k \].

Oh, cierto... había pasado por alto esa posibilidad. Gracias geómetracat.

Solución: Sea $$n = |y|$$. Puesto que $$1 = x^{pk} = y^{p^2 k}$$, tenemos que $$p^2k$$ es un múltiplo de $$n$$.  Por otra parte, todo múltiplo $$M$$ de $$n$$ cumple también que $$(y^p)^M = 1$$, por lo que $$p^2k = p(pk)$$ tiene que ser el menor de los múltiplos comunes de $$p$$ y $$n$$, o sea que $$p^2k = \mathrm{mcm}(n,p) = \frac{np}{\mathrm{mcd}(n,p)}$$, de donde se sigue que $$n$$ divide a $$pk$$. Tenemos entonces que $$n = Apk$$ y que $$p^2k = Bn$$ para ciertos enteros $$A$$ y $$B$$, y por tanto $$p^2k = BApk$$, o sea que $$p = BA$$, y como $$p$$ es primo, debe ser $$A = 1$$ o $$A = p$$. No obstante, elegir $$A = 1$$ nos da que $$n = pk$$, lo que no puede ser por que entonces $$1 = y^n = (y^p)^k$$, en contradicción con la hipótesis de que $$pk$$ es el orden de $$y^p$$. Por tanto, debe ser $$A = p$$, y así $$n = p (pk) = p^2k$$.

Lo marcado en rojo no puede estar bien, ya que contradice lo que quieres demostrar, que es que \( n=p^2k \). Además no sigo muy bien la argumentación marcada en verde.

Creo que el argumento más sencillo es por contradicción: supongamos que \( n<p^2k \), entonces o bien \( n\mid p^2 \) o bien \( n\nmid p^2 \). En el primer caso \( n\in\{1,p,p^2\} \), pero ninguno de esos valores para \( n \) es posible ya que entonces tendríamos que \( y=1 \) o \( y^p=x=1 \) o que \( y^{p^2}=x^p=1 \), lo cual en todo caso contradice que \( |x|=pk \).

Entonces, si \( n<p^2k \), necesariamente \( n\nmid p^2\,\land\,  n\mid k \), lo cual vuelve a ser contradictorio ya que entonces tendríamos que \( 1=y^k\implies 1=y^{pk}=x^k \). Por tanto necesariamente \( n=p^2k \).∎

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
(a) Sea \( B_r=\{x \in \mathbb{R}^n : \left\|{x}\right\|<r\} \) con \( r>0 \). Mostrar que \( f:B_r \to \mathbb{R}^n \) definida por \( f(x)=\dfrac{rx}{\sqrt{r^2-\left\|{x}\right\|^2}} \) es un difeomorfismo de clase \( C^\infty \) entre \( B_r \) y \( \mathbb{R}^n \)

(b) Sea \( M \) una variedad de dimensión \( k \). Probar que todo punto de \( M \) tiene un entorno difeomorfo a todo \( \mathbb{R}^k \) y que, en consecuencia, las parametrizaciones pueden ser elegidas con dominio en \( \mathbb{R}^k \)

Para la parte (a) se puede ver que \( f \) es \( C^\infty \) comprobando que es composición y producto de funciones \( C^\infty \) en su dominio.
No puedo lograr ver si es biyectiva y con inversa biyectiva \( C^\infty \).

¿Alguna pista para continuar?

Variedad Diferenciable

\( M\subset  \mathbb{R}^n \) es una variedad diferenciable de dimensión \( d \)  si \( \forall p \in M \) se tiene que existe \( U \) abierto de \( p \) en \( \mathbb{R}^n \) y \( W \) abierto de \( \mathbb{R}^n \) y \( h:U\to W \) difeomorfismo tal que \( h(U\cap M)= (\mathbb{R}^d\times\{0\}^{n-d})\cap W \)

[cerrar]

Variedad Diferenciable vía parametrización

Un subconjunto \( M\subset \mathbb{R}^n \) es una variedad diferenciable de dimensión \( d \) si y solo si para todo \( x  \in M \) se satisface lo siguiente:

Existe un abierto \( U \) conteniendo \( x \), un abierto \( V \subset \mathbb{R}^d \) , y un mapa inyectivo \( \varphi :V\to \mathbb{R}^n \) tal que:

• \( \varphi(V)=M\cap U \)
• \( D \varphi(y) \) tiene rango máximo para todo \( y \in V \)
• \( \varphi^{-1}:\varphi(V) \to V \) es continua (con la topología relativa)

[cerrar]

Saludos,
Franco.

Para el a) tienes que


con \( \hat w:=\frac{w}{\|w\|} \) cuando \( w\neq 0 \). Te queda por tanto comprobar que efectivamente


Para el b): supongo que partes del hecho de que cada punto de \( M \) tiene un entorno \( U \) en \( \mathbb{R}^n \) el cual es difeomorfo a un abierto \( V \) de \( \mathbb{R}^n \). Supón que \( \varphi :U\to V \) es uno de esos difeomorfismos, con \( U\subset \mathbb{R}^n \) entorno abierto con \( p\in M\cap U \), entonces como \( V \) es abierto contiene una bola centrada en \( \varphi (p) \), es decir que \( \mathbb{B}(\varphi (p), r)\subset V \) para algún \( r>0 \), y al ser \( \varphi  \) un difeomorfismo la restricción \( \psi :=\varphi |_G \) con \( G:=\varphi ^{-1}(\mathbb{B}(\varphi (p),r)) \) sigue siendo un difeomorfismo. Es decir, tienes que para cada punto \( p\in M \) existe un difeomorfismo \( \psi :\tilde U\to \mathbb{B}(q,r) \). Ahora aplica el apartado a) sobre esa bola para definir un difeomorfismo desde \( \tilde U \) a \( \mathbb{R}^n \).