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Mensajes - Masacroso

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Hola, necesitaría un sw que me permita graficar esferas, planos y rectas y que a su vez me permita medir ángulos entre rectas, distancias en la esfera, etc. Agradeceré a quien me pueda recomendar uno y el sitio web de donde bajarlo.

Muchas gracias!

Con geogebra, que es un software gratuito excelente, puedes hacer todo eso.

2
Problemas y Desafíos / Re: Una aguja especial
« en: 23 Mayo, 2022, 02:11 am »
La respuesta de martiniano es una versión mucho más sencilla de la mía que sí está perfectamente al alcance de un estudiante de instituto.
Por otro lado, estuve pensando un rato en una demostración puramente geométrica y no se me ocurrió nada. Así que intrigado, busqué por internet a ver si encontraba la solución geométrica que le habían dicho que existía a Eparoh.

Resulta que este problema está sacado de un libro de Paul Halmos llamado "Problems for Mathematicians, Young and Old". Ahí da dos demostraciones. Una es la que ha puesto martiniano. La otra es la "puramente geométrica", que dejo en spoiler (aunque no veo muy claro que sea tan accesible a un estudiante de instituto como le habían dicho a Eparoh).

Spoiler
La solución va en la línea de lo que comentaba en otro mensaje de que los puntos que no quedan cubiertos al pinchar un punto del plano son los que están en circunferencias concéntricas en el punto de radio racional. Entonces, pinchamos dos puntos del plano cualesquiera. Los puntos que están a distancia racional de ambos son precisamente las intersecciones de las circunferencias de las dos familias asociadas a cada punto. Como cada par de circunferencias corta a lo sumo en dos puntos, y tenemos un número infinito numerable de circunferencias en cada familia, el conjunto de todas las intersecciones es numerable. Llamemos \( A \) a este conjunto numerable. Entonces tenemos que los únicos puntos no pintados con los dos pinchazos que hemos dado son los puntos de \( A \). Basta con probar que existe otro punto \( P \) tal que ningún punto de \( A \) está a distancia racional de \( P \). Los puntos que están a distancia racional de \( A \) son los que están sobre circunferencias concéntricas con algún punto de \( A \) de radio racional. Como \( A \) es numerable, el conjunto de todas estas circunferencias es numerable. Ahora tomamos una recta cualquiera del plano. La intersección de todas estas circunferencias con la recta forman un subconjunto numerable de la recta, pues hay un número numerable de circunferencias y cada circunferencia corta a la recta en dos puntos a lo sumo. En particular, hay (infinitos) puntos de la recta que no están en esta intersección. Tomamos como \( P \) cualquiera de ellos y hemos acabado.

Es una demostración que me parece preciosa porque no requiere ningún cálculo, pero no veo yo muy claro si estas historias de numerabilidad están al alcance de un estudiante de instituto. Yo desde luego no hubiera entendido bien este argumento (mucho menos hubiera sido capaz de hacerlo) en el instituto.
[cerrar]

Bellísima demostración, sin duda alguna  :aplauso: :aplauso:

3
Álgebra / Re: Infinite Sum
« en: 21 Mayo, 2022, 09:10 am »
Finding sum of \( \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{(n^2+1)}{(n+2)n!} \)

As \( n+1>0 \) for every \( n\geqslant 0 \) then we can multiply and divide inside the summand by \( n+1 \), then we have that

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{n^2+1}{(n+2)n!}&=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(n^2+1)(n+1)}{(n+2)!}\\
&=\left[\sum_{n=1}^{\infty }(n^2+1)(n+1)\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}\right]_{x=1}\\
&=\left[\sum_{m=3}^{\infty }((m-2)^2+1)(m-1)\frac{x^m}{m!}\right]_{x=1}&&(\text{with the change }m=n+2)\\
&=\left[\sum_{m=0}^{\infty }((m-2)^2+1)(m-1)\frac{x^m}{m!}-\frac{x^2}{2}+5\right]_{x=1}\\
&=\left[\sum_{m=0}^{\infty }((m-2)^2+1)(m-1)\frac{x^m}{m!}\right]_{x=1}+\frac{9}{2}\\
&=\left[\sum_{m=0}^{\infty }(m^3-5m^2+9m-5)\frac{x^m}{m!}\right]_{x=1}+\frac{9}{2}
\end{align*}
} \)

Then you have a series of the form \( \sum_{n\geqslant 0}p(n)\frac{x^n}{n!} \) for some polynomial \( p \), and there is a theorem that says that

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 0}p(n)\frac{x^n}{n!}=p(xD)\sum_{n\geqslant 0}\frac{x^n}{n!}=p(xD)[e^{x}]
} \)

where \( xD \) is a differential operator that means "first differentiate (respect to \( x \)) and after multiply by \( x \)", and \( (xD)^k \) means "apply the operator \( xD \) \( k \)-times consecutively" and \( (xD)^0 \) is the identity map. Then

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{m=0}^{\infty }(m^3-5m^2+9m-5)\frac{x^m}{m!}&=((xD)^3-5(xD)^2+9(xD)-5)[e^x]\\
&=(xD)^2[xe^x]-5(xD)[xe^x]+9xe^x-5e^x\\
&=(xD)[x(x+1)e^x]-5x(x+1)e^x+(9x-5)e^x\\
&=(x^2+3x+1)e^x-5(x^2+x)e^x+(9x-5)e^x\\
&=(-4x^2+7x-4)e^x
\end{align*}
} \)

Therefore

\( \displaystyle{
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(n^2+1)}{(n+2)n!}=\frac{9}{2}-e
} \)

4
Problemas y Desafíos / Re: Una aguja especial
« en: 21 Mayo, 2022, 01:35 am »
No conocía el ejercicio. Es muy bonito y difícil, al menos yo no conozco solución, más que la que acabo de leer de geómetracat.

5
Lo estoy intentando siguiendo la pista, pero no me sale.

Ok. Mira, necesitas conocer la desigualdad de Schwartz por un lado, que nos dice que en un espacio de Hilbert

\( \displaystyle{
|\langle x,y \rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|
} \)

y la igualdad sólo se alcanza si \( x \) e \( y \) son colineales. También necesitas conocer el teorema de Pitágoras, que nos dice que si \( x \) e \( y \) son ortogonales entonces \( \|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2 \). Entonces observa que si \( x_0=x_0^{\top }+x_0^{\perp } \), donde \( x_0^{\top }\in M,\, x_0^{\perp }\in M^{\perp } \) e \( y\in M \), tienes que

\( \displaystyle{
\|x_0-y\|^2=\|x_0^{\perp }+(x_0^{\top }-y)\|^2=\|x_0^{\perp }\|^2+\|x_0^{\top }-y\|^2\geqslant \|x_0^{\perp }\|^2
} \)

Por tanto el ínfimo de \( \|x_0-y\| \) se alcanza cuando \( y=x_0^{\top } \), quedando entonces que

\( \displaystyle{
d(x_0,M):=\inf_{y\in M}\|x_0-y\|=\|x_0^{\perp }\|=\left\langle x_0^{\perp },\frac{x_0^{\perp }}{\|x_0^{\perp }\|} \right\rangle =\left\langle x_0,\frac{x_0^{\perp }}{\|x_0^{\perp }\|} \right\rangle
} \)


Te queda utilizar lo que te dije más arriba de la desigualdad de Cauchy-Schwartz para demostrar que

\( \displaystyle{
\sup_{y\in M^{\perp }\cap S}|\langle x_0,y \rangle |=\langle x_0,y_0 \rangle \iff y_0=\frac{x_0^{\perp  }}{\|x_0^{\perp }\|}
} \)

donde \( S:=\{x\in H: \|x\|=1\} \).

6
Sea \( M \) un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert \( H \). Dado \( x_0\in{H} \), demostrar que \( \min\{\|x-x_0\|; x\in{M}\}=\max\{|\langle x_0,y\rangle|;  y\in{M^\perp}, \|y\|=1\} \)

Si alguien me puede echar una mano con este ejercicio, gracias de antemano.

Moderación: corregido \( \LaTeX \).

Te dejo una pista: como \( M \) es cerrado, entonces \( H=M\oplus M^{\perp } \). Por tanto si \( x\in  H \) entonces \( x=x_{\top }+x_{\perp } \) donde \( x_{\top }\in M \) y \( x_{\perp }\in M^{\perp } \). Ahora observa que

\( \displaystyle{
\|x-x_{\top }\|=\|x_{\perp }\|=\left\langle x_{\perp }, \frac{x_{\perp }}{\|x_{\perp }\|}\right\rangle
} \)

7
probar que si una funcion $$f$$ es de clase $$C^1$$,  en un punto $$a$$ de un abierto $$A$$ de $$R^n$$, entonces ella es diferenciable en ese mismo punto a.

¿Seguro que has copiado bien el ejercicio? Porque así descrito no tiene mucho sentido, la definición de ser de clase \( C^1 \) implica que es una función diferenciable al menos en el interior de su dominio, o sea, no habría nada que probar.

8
Probabilidad / Re: problema de eventos independientes
« en: 14 Mayo, 2022, 04:31 pm »
Para el a), considerando que la probabilidad de aprobar con A en una signatura es un evento independiente de las otras asignaturas, tendríamos que la probabilidad de sacar todas A's sería simplemente multiplicar las cuatro probabilidades, es decir \( \frac1{5}\cdot \frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}=\frac{7}{1000} \).

El b) es algo más engorroso ya que hay que sumar todos los casos posibles, sería

\( \displaystyle{
p_1(p_2\cdot p_3\cdot q_4+p_2\cdot q_3\cdot p_4+q_2\cdot p_3\cdot p_4)+q_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4=\frac1{5}\left(\frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{3}{10}+\frac1{2}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{7}{10}+\frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}\right)+\frac{4}{5}\cdot \frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}\\
=\frac1{5}\cdot \frac{3+7+9\cdot 7}{200}+\frac{4\cdot 7}{1000}=\frac{73+28}{1000}=\frac{101}{1000}=0,101
} \)

Me salen los mismos resultados. Además, si no asumimos independencia, entonces no podemos hacer cálculo alguno ya que no conoceríamos las relaciones de dependencia.

9
Hola, estoy teniendo un problema al plantear esta integral. Viene de este enunciado:
Sea el sólido en el primer octante limitado por los planos \(  y = 0, z = 0 \)  y por las superficies \( z= 4−x^2 \)  y \(  x = y^2 \), donde su función de densidad viene dada por \(  ρ(x, y, z) =k xy \) , siendo \(  k \)  una constante.
Según tengo entendido se plantearía con la siguiente forma:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{m(x)}^{M(x)}\displaystyle\int_{p(x,y)}^{P(x,y)}f(x,y,z) dzdydx \)
Si fuera por 1 sola superficie creo que podría, pero con 2 no se me ocurre forma.

Las condiciones del sólido se pueden re-escribir como \( 0\leqslant z\leqslant 4-x^2 \), \( 0\leqslant y\leqslant \sqrt{x} \) y \( x\geqslant 0 \), y esta última desigualdad se convierte en \( 0\leqslant x\leqslant 2 \), ya que debe darse el caso de que \( 0\leqslant 4-x^2 \). Eso ya te define los límites de una integral triple: tienes el rango de \( x \) y el de \( y \) y \( z \) que dependen ambos del de \( x \).

10
Matemática de Escuelas / Re: Aritmética
« en: 11 Mayo, 2022, 05:36 pm »
Gracias por la respuesta pero no entiendo. Los álbumes tienen el mismo número de página.
Si n= 28
1 album=28 .15 = 420
2 album = 28.18 = 504
504+420 =924 <1000

Tenía un error, había pasado una cantidad restando cuando debería ir sumando, ya lo corregí arriba en rojo. Ahora el resultado es correcto con \( n=32 \) y \( x=16 \) ya que \( 15\cdot 32+18\cdot (32-4)+16=1000 \).

11
Matemática de Escuelas / Re: Aritmética
« en: 11 Mayo, 2022, 02:00 pm »
Carlos tiene 1000 fotos y decidió ponerlas en un álbum. Para ello compró dos álbumes con hojas del mismo tamaño y el mismo número de hojas. Llené todas las hojas de uno de ellos, adjuntando 15 fotos a cada hoja. En el otro álbum, en cambio, si pones 15 fotos por hoja, quedarían algunas fotos. Pensó en adjuntar 18 por hoja, pero en ese caso quedarían exactamente 3 hojas vacías y una sola hoja estaría incompleta.
En estas condiciones, se puede decir que el número de Cartas que tenía en el primer álbum es igual a?

No encontré la respuesta correcta en las alternativas proporcionadas (a-430, b-475, c)470, d)465, e)460). Intenté hacerlo por deducción:

Si son los 2 álbumes con 18 cromos por página (no queda claro en el comunicado si puso los 18 solo en el segundo o en los dos) no he encontrado solución
Lo más parecido serían 29 páginas cada álbum así:
Para los 2 álbumes con 18 tarjetas por página
29 . 18 = 522 (1 álbum)
26,18 = 468 (2 álbum) + 522 = 990. Entonces en la página 27 completaría 1000 tarjetas y habría 2 páginas en blanco

Para el 1 álbum con 15 tarjetas por página y el 2 álbum con 18 tarjetas por página hay una solución
15. 32 = 480 (1 álbum)
18.28 = 504 (2 álbumes) +480 = 984 . Así el 29 completaría las 1000 fichas y quedarían 3 hojas en blanco las cuales cumplirían el enunciado (1 incompleta y 3 en blanco)

¿Podría comprobar si mi pensamiento es correcto? ¿Hay una forma algebraica de demostrar la solución?

Te dicen que el primer álbum lo llena con 15 fotos por página, y que el segundo con 18 fotos por página y le quedan entonces tres páginas vacías. Cuando dice que en el segundo álbum le quedó una página incompleta quiere decir que la última página tiene menos de 18 fotos. Resumiendo, se nos dice que \( 15\cdot n+18\cdot (n-4)+x=1000 \), para un \( 1\leqslant x<18 \) y donde \( n \) es el número de páginas por álbum. Arreglando un poco la ecuación nos queda

\( \displaystyle{
(15+18)n+x=1000{\color{red}{+}}18\cdot 4\iff 33\mid {\color{red}{1072}}-x
} \)

donde la última expresión significa que \( 33 \) divide a \( {\color{red}{1072}}-x \). Como \( {\color{red}{1072}}/33={\color{red}{32,4848...}} \) entonces podemos buscar un \( 1\leqslant x<18 \) tal que \( x/33={\color{red}{0,4848...}} \), si tal \( x \) existe entonces la solución sería \( n={\color{red}{32}} \). Si \( x/33={\color{red}{0,4848...}} \) entonces \( x=33\cdot {\color{red}{0,4848...}}={\color{red}{16}} \), quedando por solución \( n={\color{red}{32}} \) y \( x={\color{red}{16}} \).

Entonces el número de fotos en el primer álbum quedaría como \( {\color{red}{32}}\cdot 15={\color{red}{480}} \).

Si supones que son los dos álbumes que se rellenan con \( 18 \) fotos por hoja entonces la condición sería \( 36\mid {\color{red}{1072}}-x \), y al quedar \( {\color{red}{1072}}/36={\color{red}{29,777...}} \) entonces \( x=36\cdot 0,777....=28 \), lo cual es imposible ya que \( x<18 \), por tanto esta interpretación del problema no tendría solución, debe ser la primera interpretación.

Corrección.

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Probabilidad / Re: Función de densidad
« en: 10 Mayo, 2022, 09:27 am »
Buen día,
tengo el siguiente ejercicio:
Sean X e Y variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con distribución exponencial de parámetro \( \lambda \). Determinar la función de densidad de \( W:= min \{X, Y^3\} \).

He intentado resolverlo tomando \(  Z=Y^3 \) para encontrar la función de densidad de Z pero de ahí no se me ocurre cómo continuar.
¿Cómo puedo encontrar dicha función mínimo de X e Y?

Agradezco sus colaboraciones,
Saludos.

Tienes que \( \Pr [W> c]=\Pr [X>c,Y^3>c]=\Pr [X>c,Y>c^{1/3}]=\Pr [X>c]\cdot \Pr [Y>c^{1/3}] \), donde la última igualdad se debe a que \( X \) e \( Y \) son independientes.

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Probabilidad / Re: Teoría de Probabilidad
« en: 10 Mayo, 2022, 09:22 am »
Al resolver lo que me propones, tomando \( a=b=\sqrt(2)/2 \) Llego a obtener:

\(  \displaystyle{ F_{X,Y}(a,b)=\Pr [X\leqslant a,Y\leqslant b]=\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b]) }
                                               = \frac{\lambda}{\pi} [0,\frac{\pi}{4}] \)


Está mal, primero ¡\( \lambda  \) no es una constante, es la medida de Lebesgue! Ahora, observa que \( [0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2]=[\pi/4,\pi] \), por tanto \( [0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2]=[3\pi/4,\pi] \), quedando entonces

\( \displaystyle{
F_{X,Y}(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2])=\frac1{\pi}\lambda ([3\pi/4,\pi])=\frac1{4}
} \)

Citar
Por el otro lado de la igualdad:
\( F_X(a) \cdot{F_Y(b)}=\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a] })\right)\cdot{\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b]) }\right)}=\frac{\lambda}{\pi} [0,\frac{\pi}{4}]\cdot{\frac{\lambda}{\pi} [0,\frac{\pi}{4}]} \)

Sigo con el inconveniente de \(  \frac{\lambda}{\pi} \) en la última igualdad para probar la independiencia.

Saludos,


Aquí cometes barbaridades semejantes, te queda

\( \displaystyle{
\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2])=\lambda ([0,\pi/4]\cup [3\pi/4,\pi])=\pi/2\\
\lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2])=\lambda ([\pi/4,\pi])=3\pi/4\\
\therefore\quad F_{X}(\sqrt{2}/2)\cdot F_Y(\sqrt{2}/2)=\frac1{\pi^2}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2])\cdot \lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,\sqrt{2}/2])=\frac{3}{8}
} \)

Por tanto \( F_{X,Y}(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) \neq F_X(\sqrt{2}/2)\cdot F_Y(\sqrt{2}/2) \), lo que demuestra que \( X \) e \( Y \) no pueden ser independientes.∎

14
Álgebra / Re: Álgebra Lineal Subespacio T-invariantes
« en: 09 Mayo, 2022, 02:18 pm »
Hola. ¡Como están! ¡Soy nueva en esta página, espero que puedan ayudarme! Me dan un ejercicio

Sea un operador lineal \( T\in \mathbb{R}^2 \) tal que
\( \displaystyle{
[T]=A=\begin{pmatrix}{2}&{1}\\{0}&{2}\end{pmatrix}
} \)

La consigna me dice que pruebe que \( W_1=\langle (1,0) \rangle  \) es \( T \)-invariante lo cual lo probé y es así. Y la segunda consigna me dice que pruebe que no existe un subespacio \( W_2\subset \mathbb{R}^2 \) que sea \( T \)-invariante y que además \( \mathbb{R}^2=W_1+W_2 \).

Gracias!

Moderación: corregido el \( \LaTeX \) y la ortografía.

Puedes tomar \( W_2=\mathbb{R}^2 \), entonces tendrías una solución. Aunque imagino que se refiere a un subespacio invariante propio. Entonces, si existiese tal subespacio \( W_2 \) éste debería ser de dimensión uno, es decir que \( W_2=\langle (a,b) \rangle  \) para algún \( (a,b)\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \). Pero eso significaría que \( (a,b) \) sea un vector propio de \( T \) ya que \( T(a,b)\in W_2 \) si y solo si \( T(a,b)=\lambda (a,b) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{R} \). Además debe darse el caso de que \( W_1\cap W_2=\{(0,0)\} \), ya que si no fuese así entonces \( \dim(W_1+W_2)=1 \).

Por tanto deducimos que tal \( W_2 \) existiría si y solo si \( T \) tiene dos vectores propios linealmente independientes, \( (1,0) \) y \( (a,b) \), lo cual a su vez implicaría que \( T \) sería diagonalizable. Te queda por tanto demostrar que no existe tal vector \( (a,b) \), linealmente independiente de \( (1,0) \), que sea también vector propio de \( T \).

15
Calcular
$$\int_{C}x(\frac{1-x^2}{x^2+z^2})^{1/2}dx+y(\frac{1-y^2}{y^2+z^2})^{1/2}dy+z(\frac{1-z^2}{2x^2+z^2})^{1/2}dz$$

donde $$C$$ es la interseccion de las superficies $$y=x; 2x^2+z^2=1$$en el primer octante  y recorrida en el sentido anti-horario.

Hice los calculos tomando: $$r(t)=(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t, \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\sin t) ; t \in [0,\pi/2]$$
y me salio $$-1/6$$
Pero el libro da la respuesta $$85$$  :-\ :-\



Observa que las condiciones son equivalentes a \( x=y \) y \( x^2+y^2+z^2=1 \). La integral se simplifica a

\( \displaystyle{
\int_{C}2x\,d x+\sqrt{2}zx\,d z=\int_{0}^{\pi/2}(-\cos t+\cos ^2 t)\sin t \,d t=-\frac1{6}
} \)

16
Cálculo de Varias Variables / Re: Integral de campo vectorial
« en: 08 Mayo, 2022, 06:22 pm »
Hola , estoy intentando el siguiente problema pero me sale diferente a la respuesta del libro.
$$\int_{C}xydx+e^{y}dy$$  donde $$C:y+2=|x+2|$$ desde el punto $$(0,0)$$ hasta el punto $$(-4,0)$$

Hice los calculos y me salio: $$38+2e^{-2}$$
pero la respuesta del libro es: $$ 2e^{-4}-2e^{-2}-40/3$$  :banghead: :banghead:


Una parametrización de \( C \) que conserva la orientación es \( \gamma :[0,4]\to \mathbb{R}^2,\, t\mapsto (-t,|2-t|-2) \), por tanto la integral queda

\( \displaystyle{
\int_{C}(xy\,d x+e^{y}\,d y)=\int_{0}^4 -t(|2-t|-2)\,d (-t)+e^{|2-t|-2}\,d (|2-t|-2)=\int_{0}^4(t(|2-t|-2)+\operatorname{signo}(t-2)e^{|2-t|-2})\,d t\\
=\int_{0}^2(-t^2-e^{-t})\,d t+\int_{2}^4(t(t-4)+e^{t-4})\,d t=\left[-\frac{t^3}{3}+e^{-t}\right]_{t=0}^{t=2}+\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+e^{t-4}\right]_{t=2}^{t=4}=-8
} \)

No sé si habré cometido algún error al obtener el resultado final (lo he hecho a mano y es posible que algún signo o alguna cosa se me haya escapado).

17
Probabilidad / Re: Ejercicio de probabilidad condicional
« en: 07 Mayo, 2022, 06:14 am »
Lo primero que me llama la atención del ejercicio es que hablen de exactitud en vez de sensibilidad y especificidad, se han de referir a ambos conceptos a la vez. Si definimos \( C,NC,P,N \) los eventos "tener cáncer", "no tener cáncer", "dar positivo en el test" y "dar negativo en el test", entonces si la sensibilidad y especificidad del test son del 95% eso quiere decir que \( \Pr [P|C]=\Pr [N|NC]=0,95 \), y nos piden calcular \( \Pr [C|P] \) sabiendo que \( \Pr [C]=0,005 \). De ahí nos queda que

\( \displaystyle{
\Pr [C|P]=\frac{\Pr [C,P]}{\Pr [P]}=\frac{\Pr [P|C] \Pr [C]}{\Pr [P]}=\frac{\Pr [P|C] \Pr [C]}{\Pr [P|C]\Pr [C]+\Pr [P|NC]\Pr [NC]}\\
=\frac{\Pr [P|C] \Pr [C]}{\Pr [P|C]\Pr [C]+(1-\Pr [N|NC])\Pr [NC]}=\frac{0,95\cdot 0,005}{0,95\cdot 0,005+0,05\cdot 0,995}=0,087156
} \)

Esta forma de resolverla es más compacta pero seguramente mucho menos clara, en ella he utilizado la ley de la probabilidad total y el hecho de que una función de la forma \( Q[A]:=\Pr [A|B] \) es también una función de probabilidad, para cualquier evento \( B \) fijo que tomemos.

18
Probabilidad / Re: Teoría de Probabilidad
« en: 07 Mayo, 2022, 05:47 am »
Hola,
Me quedaría así:
\( F_X(a) \cdot{F_Y(b)}=\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a] })\right)\cdot{\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b]) }\right)} \)

Correcto.


Citar
\( F_X(a) \cdot{F_Y(b)}=\frac1{\pi^2}\lambda^2\left(\displaystyle{ [0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b] }\right) \)

Esta expresión no es correcta.


Citar
Por consiguiente no cumple la condición de independencia por el cuadrado de \( \pi \) y \( \lambda \) ¿o estoy operando de manera incorrecta?
Saludos,


Puedes hacer dos cosas: o bien darle algunos valores a \( a \) y \( b \) para ver si puedes refutar la identidad a demostrar, o bien utilizar geometría, explotando las similitudes entre seno y coseno, para hallar una forma explícita a expresiones de la forma \( \lambda ([0,\pi ]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a]) \).

Por ejemplo prueba a tomar \( a=b=\sqrt{2}/2 \) y ver lo que obtienes.

19
Probabilidad / Re: Teoría de Probabilidad
« en: 06 Mayo, 2022, 04:36 pm »
Hola Masacroso,
Gracias por la respuesta.

Entonces para el lado derecho de la igualdad se tendría:
\(  F_X(a)=P[X<a]=\displaystyle{=\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a] }) \) y para Y, se tiene:

\(  F_Y(b)=P[Y<b]=\displaystyle{=\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b]) } \)

Al realizar el producto, se tiene que:

\( F_X(a) \cdot{F_Y(b)}=\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a] })\right)\cdot{\left(\displaystyle{\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b]) }\right)} \)

¿Es correcto el procedimiento?

Saludos,


Sí, así es. Te queda comprobar si los valores de las expresiones coinciden o no.

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Probabilidad / Re: Teoría de Probabilidad
« en: 06 Mayo, 2022, 08:47 am »
Buen dia
Espero se encuentren bien.
Estoy realizando unos ejercicios sobre probabilidad y me encontré con este:
1. Sea \( (\Omega, F, P) = ([0,\pi], B(\mathbb{R})\cap{[0,\pi]},  \frac{1}{\pi} \lambda  |_{[0, \pi]})  \). Sean X y Y las variables aletaorias definidas sobre \( \Omega \) por:
\(  X(\omega):=sin(\omega)  \) y \( Y(\omega):=cos(\omega) \)

¿Son X y Y independientes? Explicar.

¿Cómo podría dar respuesta al interrogante?
Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

Una manera es ver si resulta que \( F_{X,Y}=F_X\cdot F_Y \), es decir, si su función de distribución conjunta es igual al producto de las funciones de distribución individuales, donde por ejemplo tienes que

\( \displaystyle{
F_{X,Y}(a,b)=\Pr [X\leqslant a,Y\leqslant b]=\frac1{\pi}\lambda ([0,\pi]\cap \sin ^{-1}(-\infty ,a]\cap \cos ^{-1}(-\infty ,b])
} \)

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