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Mensajes - Masacroso

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Otra forma de hacer el cálculo es el siguiente: en principio tenemos que \( z^{w}:=e^{w\operatorname{Log} z}=e^{w(\log |z|+i\operatorname{Arg} z)} \), por tanto tenemos que \( \operatorname{Arg}(z^{w})= \operatorname{Re}(w)\operatorname{Arg} z+\operatorname{Im}(w)\log |z| \), donde en lo anterior he considerado a \( \operatorname{Arg} \) y \( \operatorname{Log} \) como "funciones multivaluadas". Si queremos obtener el argumento principal de \( z^w \) entonces primero tomamos el argumento principal de \( z \) y luego, del conjunto anterior de argumentos módulo \( [0,2\pi) \), tomamos el único representante que pertenezca al conjunto \( (-\pi,\pi] \).

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Topología (general) / Re: Duda con problema de topología.
« en: 09 Enero, 2022, 06:41 pm »
Hola, buenas tardes. Les traigo un problema de topología que me ha dado muchas dudas.

En primer lugar, nos dan la siguiente propiedad:

Se dice que dos seudométricas \[d_1\], \[d_2\] sobre un mismo conjunto X son equivalentes si cumplen las siguientes condiciones:
1. \[\forall \epsilon_1 >0\], existe \[\epsilon_2 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_2}(x;\epsilon_2) \subset B_{d_1}(x;\epsilon_1)\]
2. \[\forall \epsilon_2 >0,\] existe \[\epsilon_1 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_1}(x;\epsilon_1) \subset B_{d_2}(x;\epsilon_2)\]

El ejercicio es el siguiente:

Sea \[X=\left\{{\frac{1}{n}}\right\}_{n \in \mathbb{N}};\] definamos \[d_1\] y \[d_2\] métricas del siguiente modo:

\[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{n-m}\right |\] y \[d_2(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{m}}\right |\]

Demuestra que:
1. \[T(d_1)\] y \[T(d_2)\] son ambas la topología discreta, es decir, \[T(d_1) = T(d_2) = T_d\], y por tanto \[d_1\] y \[d_2\] son topológicamente equivalentes.
2. Se cumple la condición 2, pero no la 1.

Se que en la topología discreta se cumple que \[d(x,y)=1\] si \[x\neq y\] y \[d(x,y)=0\] si \[x=y\].
Y es claro que \[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\begin{cases}{1}&\text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}\neq\displaystyle\frac{1}{m}\\0 & \text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{m}\end{cases}\]

Lo mismo con \[d_2\].

No se como continuar. Muchas gracias de antemano.

La topología discreta es una topología, es decir, no depende de ninguna función distancia. Se caracteriza porque todos los conjuntos de la forma \( \{x\} \) son abiertos y cerrados, es decir, tal topología coincide con el conjunto potencia. Entonces te basta demostrar que las topologías que inducen \( d_1 \) y \( d_2 \) en \( X \) tienen esta propiedad.

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Pongo imagen de región que usé.

Es la otra región, has confundido las desigualdades. Observa que obtienes justamente la probabilidad complementaria con la integral que planteaste.

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Ana y Beto acuerdan en encontrarse a las 12 del medio día para almorzar. Ana llega a una hora con distribución uniforme en [0,60] medida en minutos a partir de las 12:00. Beto llega a una hora con distribución uniforme en [0,30].
Asumir que la hora de llegada de Ana y Beto son independientes.
1. Calcular la probabilidad de que Beto llegue antes que Ana.
Les cuento como lo resolví:
Como la hora de llegada de Ana y Beto son independientes \( f_{XY} (x,y)= \frac{1}{1800} \), luego calcule \( \displaystyle\int_0^{30} \int_{y=x}^{y=30}{\frac{1}{1800}}dydx \)
obteniendo como resultado 0.25.
Pero en la corrección que manda el docente esa prob es de 0,75.
no entiendo en que me equivoque.
Desde ya gracias por respuesta

La integral no es la correcta, tienes que calcular

\( \displaystyle{
\Pr [X<Y]=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}f_{Z}(x,y)d(x,y)
} \)

para \( Z:=(X,Y) \). Como \( X \) e \( Y \) son independientes, entonces \( f_{Z}=f_X\cdot f_Y \), quedando

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\Pr [X<Y]&=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}f_{Z}(x,y)d(x,y)\\
&=\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x<y\}}\frac1{30}\mathbf{1}_{[0,30]}(x)\cdot \frac1{60}\mathbf{1}_{[0,60]}(y)d(x,y)\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{(-\infty ,y)}\mathbf{1}_{[0,30]}(x)\,d x\right)\mathbf{1}_{[0,60]}(y)\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{[0,60]}\left(\int_{[0,\min\{y,30\}]}\,d x\right)\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\int_{[0,60]}\min\{y,30\}\,d y\\
&=\frac1{30\cdot 60}\left(\int_{[0,30]}y\,d y+\int_{(30,60]}30\,d y\right)\\
&=\frac1{30\cdot 60}\left(\frac{30^2}2+30^2\right)\\
&=\frac1{60\cdot 30}\cdot 30^2\cdot \frac{3}{2}\\
&=\frac1{2}\cdot \frac{3}{2}\\
&=0,75
\end{align*}
} \)

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Hola Masacroso, gracias por la trabajada respuesta.

Ahora estaba buscando y resulta que en el curso en ningún momento definimos el diferencial (al menos hasta donde he leído). Fue como un concepto asumido. Si mal no recuerdo, cuando queríamos calcularlo, procedíamos a calcular el jacobiano y le llamábamos diferencial. ¿Tiene esto algún sentido? ¿Es el mismo diferencial del que tú hablas?

Sí, con toda seguridad es lo mismo, sólo cambia la notación y el contexto teórico. Como has abierto este tema en el subforo de "geometría diferencial" he supuesto que es en este marco desde el que se habla, de ahí mi respuesta y notación, pero como te digo cuando las variedades diferenciales son los propios espacios euclídeos entonces todo se reduce a la derivada de Fréchet de toda la vida, que puede representarse por la matriz jacobiana de derivadas parciales.

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En geometría diferencial la notación estándar para el diferencial es ésa o una parecida. Si tienes una función \( F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) suave entonces se define el diferencial (o tangencial) de \( F \) en \( x \) como la única función lineal \( dF_x:T_x\mathbb{R}^3\to T_{F(x)}\mathbb{R}^3 \) tal que

\( \displaystyle{
(dF_x V)h=(V(h\circ F))(x)
} \)

donde \( h \) es cualquier función suave en \( \mathbb{R}^3 \) que tome valores reales, y \( V \) un elemento cualquiera de \( T_{x}\mathbb{R}^3 \) (que actúa como una derivación sobre \( h\circ F \)).

Quizá la forma más sencilla de calcular el diferencial de una función sea utilizando curvas, es decir, para una variedad diferencial suave \( M \) sin borde y un \( V\in T_xM \) cualquiera se puede demostrar que existe una curva suave \( \varphi :(-1,1)\to M \) tal que \( \varphi (0)=x \) y \( \varphi '(0)=V \), y entonces se tiene la igualdad

\( \displaystyle{
d_xF\, V=\frac{d}{d t}\bigg |_0 (F\circ \varphi )(t)
} \)

En tu caso tienes entonces que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
d_xF\, V&=\frac{d}{d t}\bigg|_0 (F\circ \varphi )(t)\\
&=\left(\frac{d}{d t}\bigg|_0 (f\circ \varphi)(t), \frac{d}{d t}\bigg|_0 L\varphi(t)\right)\\
&=\left( d(f\circ \varphi)_0\left(\frac{d}{d t}\right), d(L\varphi)_0\left(\frac{d}{d t}\right)\right)\\
&=\left( df_{\varphi (0)}d\varphi_0\left(\frac{d}{d t}\right), dL_{\varphi (0)}d \varphi_0\left(\frac{d}{d t}\right)\right)\\
&=(df_{\varphi (0)}\varphi '(0), dL_{\varphi (0)}\varphi '(0))\\
&=(df_xV,dL_xV)\in T_{f(x)}\mathbb{R}^2\times T_{Lx}\mathbb{R}\cong T_{F(x)}\mathbb{R}^3
\end{align*}
} \)

Dado un \( x\in \mathbb{R}^n \) cualquiera usando los isomorfismos \( T_x\mathbb{R}^n\cong \mathbb{R}^n \), entonces tenemos que \( df_x\cong \partial f(x) \) y \( dL_x\cong \partial L(x)=L \), donde \( \partial  \) es la derivada de Fréchet. Finalmente utilizando el teorema de representación de Riesz tenemos que \( \partial f(x)V=\nabla f(x)\cdot V \), para cualquier \( V\in \mathbb{R}^3 \), quedando finalmente que

\( \displaystyle{
dF_x\, V\cong (\nabla f(x)\cdot V, LV)
} \)

No sé si esto te ayuda a aclarar algo o lo empeora aún más.

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Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

Puedes usar el principio de Cavalieri, que dice que si \( G\subset \mathbb{R}^2 \) es un conjunto Lebesgue medible entonces

\( \displaystyle{
\lambda _2(G)=\int_{\mathbb{R}}\lambda _1(G_{[x ]})\,d x
} \)

donde \( G_{[ x]}:=\{y\in \mathbb{R}:(x,y)\in G\} \) es lo que se denomina la sección de \( G \) en \( x \). Arriba \( \lambda _2 \) es la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^2 \) y \( \lambda _1 \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R} \).

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Matemática Aplicada / Re: Valor esperado de normal multivariante
« en: 06 Enero, 2022, 10:22 am »
Hola a todos

Estoy realizando una actividad sobre procesos estocásticos, en la que debo mostrar que \( \displaystyle E[W(t_2) | W(t_1)=x_1,W(t_3)=x_3] = x_1 + \left( \frac{x_3 - x_1}{t_3-t_1}\right)(t_2 - t_1) \), donde \(  W(t)  \) es un proceso estocástico de Wiener, y por tanto gaussiano, es decir que la distribución de un vector de este proceso es normal multivariante. Dicho esto, sé que para la normal bivariante se tiene la siguiente igualdad

\(
\displaystyle
E[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2) \)

Sin embargo, no sé cómo extender este resultado al caso de otra variable (i.e., ¿cómo determino la expresión para \( E[X_1|X_2=x_2,X_3=x_3]  \)) para poderlo usar en mi ejercicio.

Les agradezco cualquier orientación que me puedan dar  :D

Saludos,

Asumiendo que \( t_1\leqslant t_2,t_3 \) entonces si definimos \( Z_{t_2-t_1}:=W_{t_2}-W_{t_1} \) tenemos que \( Z_{t_2-t_1} \) es independiente de \( W_{t_1} \), por tanto te queda la expresión

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[W_{t_2}|W_{t_1}=x_1,W_{t_3}=x_3]=\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|W_{t_1}=x_1,W_{t_3}=x_3]+x_1=\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|Z_{t_3-t_1}=x_3-x_1]+x_1
} \)

Ahora bien, \( Z_t \), condicionado a \( W_{t_1}=x_1 \), es un movimiento browniano estándar, es decir, con \( Z_0\equiv 0 \). Si \( t_3>t_2 \) entonces para calcular lo que te queda puedes invertir \( Z \), es decir, defines \( V_t:=tZ_{1/t} \) para \( t>0 \) y \( V_0:= 0 \), eso define otro movimiento browniano estándar aunque con el tiempo invertido, quedándote entonces

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|Z_{t_3-t_1}=x_3-x_1]+x_1=(t_2-t_1)\mathrm{E}\left[V_{1/(t_2-t_1)}\Big|V_{1/(t_3-t_2)}=\frac{x_3-x_1}{t_3-t_1}\right]+x_1
} \)

de donde la solución es inmediata.

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Matemática de Escuelas / Re: Parte real y parte imaginaria.
« en: 06 Enero, 2022, 01:26 am »
Buenas amigos, estoy tratando de resolver este ejercicio, mas no puedo resolverlo. es como sigue: Sea

\( E=\sqrt{ \sqrt{2i}+\sqrt[5]{i}-1  } \)

Calcula \( \mathbb{Re}(Z)+\mathbb{Im}(Z) \)
No logro llegar a la respuesta.

Las raíces no son únicas, tienes que elegir algún criterio para que estén bien definidas. En verdad tienes que definir el rango de valores de la función argumento, eso si quieres hallar un valor concreto, por ejemplo tomar \( \arg(z)\in (-\pi,\pi] \), a lo cual se denomina argumento principal. Otra posibilidad es hallar todos los valores posibles al considerar todos los valores posibles de los argumentos.

En principio puedes convertir \( \sqrt{2i} \) y \( \sqrt[5]{i} \) en complejos en forma cartesiana o polar, y luego la suma de éstos intentar transformarla también. Inténtalo a ver qué te sale.

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Números complejos / Re: Números complejos
« en: 05 Enero, 2022, 06:21 pm »
En general, si \( z,w\in \mathbb{C} \) y \( w\neq 0 \) entonces \( \frac{z}{w}=\frac{z\cdot \bar w}{|z|^2} \) donde, si por ejemplo \( w=a+bi \) entonces \( |w|^2=w\cdot \bar w=a^2+b^2 \) con \( \bar w=a-bi \) el conjugado de \( w \). Como \( |w|^2 \) es siempre un número real no negativo entonces para que \( \frac{z}{w} \) tenga alguna de las propiedades del ejercicio es suficiente con que esas propiedades las tenga \( z\cdot \bar w \). Utilizando un complejo genérico \( w=a+bi \) puedes ver cuáles son los valores que debería tomar \( a \) y \( b \) para que \( z\cdot \bar w \) tenga la propiedad que deseas, siendo en este caso \( z=3\pi \).

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Hola buenas, es la primera vez que uso el foro, no sé si he escrito bien la expresión matemática. El tema es que no sé como hacer la derivada de \( F(x)=\left(\displaystyle\int_{x}^{0}(1/1+(\sin(t))^2)dt\right)^3 \), sobre todo no sé que hacer con el elevado a 3.

Te he corregido un poco el \( \LaTeX \), en vez de "sin" hay que poner "\sin" o "\sen", y he agregado las etiquetas "\left" y "\right" a los lados de los paréntesis más grandes (los que encierran la integral), eso hace que el tamaño de los paréntesis sea acorde a lo que encierran. Creo además que querías escribir \( \frac1{1+(\sin(t))^2} \) en vez de \( 1/1+(\sin(t))^2 \), pero lo he dejado tal cual.

Sobre el ejercicio te dejo una pista: si defines \( g(x):=\int_{0}^x \frac1{1+(\sen t)^2}\,d t \) entonces te piden calcular la derivada de \( (-g(x))^3 \).

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Foro general / Re: Mejorar en resolución de problemas.
« en: 01 Enero, 2022, 12:54 pm »
¿Se han estancado con un problema?

A veces no he podido resolver un ejercicio de algún libro, ni pensando sobre él una semana. Simplemente he pasado a otra cosa y ya está. Y a veces he vuelto a ejercicios de hace varios años atrás que no pude resolver en su momento y conseguí resolverlos.

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¿Cómo lidian con la frustración que esto les genera?

En mi caso ningún ejercicio me genera frustración, ya que en definitiva soy yo quien decide intentar resolver un ejercicio. Para mí un ejercicio es como hacer un sudoku o una sopa de letras, es decir, un pasatiempo, y aunque no lo termine resolviendo ya el hecho de plantearlo he intentar resolverlo (planteando a veces diferentes estrategias) me resulta estimulante y divertido.

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¿Cómo mejorar en la resolución de problemas?

Ni idea, pero al leer libros vas aprendiendo diferentes estrategias para plantear demostraciones y con el hábito profundizas en los conceptos, eso seguramente ayude en la capacidad para resolver problemas.

No sé si algo de lo que he dicho te ayuda para algo o es aplicable a tu situación.

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Off-topic / Re: ¡¡Feliz 2022!!
« en: 01 Enero, 2022, 12:38 pm »
¡Feliz año nuevo a todos! Y que este año sea mejor que el anterior.

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Cálculo 1 variable / Re: Convergencia serie
« en: 31 Diciembre, 2021, 05:12 pm »
Hola:
Alguna idea de cómo se podría probar que la serie \( \displaystyle\sum \frac{1}{n} (1-\frac{\pi}{1})(1-\frac{\pi}{2})\cdots (1-\frac{\pi}{n}) \) converge o diverge?  :(

Pista: tu serie se puede escribir como

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}\frac1{n}\prod_{k=1}^n \left(1-\frac{\pi}{k}\right)
} \)

Entonces puedes intentar comparar el productorio con cosas que sepas que hagan que la serie converja o diverja, por ejemplo ver si para algún \( m\in \mathbb{N} \) y \( C>0 \)

\( \displaystyle{
0\leqslant \prod_{k=m}^n\left(1-\frac{\pi}{k}\right)\leqslant \frac C{n}
} \)

para \( n \) suficientemente grande.

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Hay que partir de la base que \( f \) es integrable, claro, si no es cierto que no necesariamente \( \mu(f^{-1}(n,n+1])<\infty  \). Además hay que afinar mejor, tomando conjuntos de la forma \( (2^{k},2^{k+1}] \), para \( k\in \mathbb{Z} \), en vez de intervalos \( (n,n+1] \) para \( n\in \mathbb N\cup\{0\} \) (esto último es para evitar el intervalo \( (0,1] \) que puede traer problemas).

Pero, por ser \( f \) integrable sabemos que \( \{x \in X: f(x) >0\} \) es \( \sigma \)-finito para \( \mu \), pero eso no quiere decir que los conjuntos \( f^{-1}(n,n+1] \) tengan medida finita. ¿O me estoy perdiendo algo?

Un saludo y gracias de nuevo.

Si \( f\geqslant 0 \) es integrable entonces

\( \displaystyle{
\infty >\|f\|_1\geqslant \int_{f^{-1}(n,n+1]}f\,d\mu\geqslant n\cdot \mu(f^{-1}((n,n+1]))\implies \mu(f^{-1}((n,n+1]))<\infty
} \)

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Las funciones \( f_n \) que describes no tienen porque cumplir una de las condiciones para el resultado anterior, pues

\( \{x \in X: f_n(x) >0\} = f^{-1}(n,n+1] \)

y nada garantiza que dicho conjunto tenga medida finita, ¿no?

Un saludo y gracias.

Hay que partir de la base que \( f \) es integrable, claro, si no es cierto que no necesariamente \( \mu(f^{-1}(n,n+1])<\infty  \). Además hay que afinar mejor, tomando conjuntos de la forma \( (2^{k},2^{k+1}] \), para \( k\in \mathbb{Z} \), en vez de intervalos \( (n,n+1] \) para \( n\in \mathbb N\cup\{0\} \) (esto último es para evitar el intervalo \( (0,1] \) que puede traer problemas).


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Hola de nuevo, aún no entiendo del todo la respuesta a la pregunta original, pero respecto a la otra, creo que no hace falta cambiar nada sobre que la relación de orden sea en casi todo punto.

Siguiendo lo que propones, basta definir también \( E=f^{-1}((\left\|{f}\right\|_\infty, \infty]) \) que tendrá medida nula, y modificar tus definiciones por:

\( g= \left(\left\|{f}\right\|_\infty \chi_A - f \right) \chi_{E^c} \)

y

\( f_n= \left(\left\|{f}\right\|_\infty \chi_A - g_n \right) \chi_{E^c} + \infty \chi_E \)

Entonces, las \( f_n \) forman una sucesión decreciente, tales que son mayores todas que \( f \), simples e integrables, por lo que pertenecen al conjunto sobre el que tomamos el ínfimo; y como además convergen en casi todo punto a \( f \), igualmente por el teorema de convergencia dominada llegamos a la igualdad buscada.



Claro, lo que pasa es que en la mayoría de libros que he visto una función simple y no negativa se define como aquella que toma valores en \( [0,\infty ) \), si incluimos la posibilidad de que tome el valor infinito entonces podemos prescindir del "casi en todas partes". El problema de añadir el infinito en las funciones simples es que entonces tenemos que tomar la convención de que \( 0\cdot \infty =0 \) al integrar sobre conjuntos de medida nula, si se excluye el infinito de las funciones simples entonces no es necesario tomar ninguna convención, es decir, la identidad \( \int_{N}\infty \,d\mu=0 \), cuando \( \mu(N)=0 \), se sigue de la definición de la integral, es decir de

\( \displaystyle{
\int_{N}\infty\, d\mu:=\lim_{n\to \infty }\int_{N}n\,d\mu=\lim_{n\to \infty }n\cdot \mu(N)=\lim_{n\to \infty }n\cdot 0=\lim_{n\to \infty }0=0
} \)

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Hola Masacroso, muchas gracias por la respuesta.


La segunda identidad no es cierta en general. Un contrajemplo es la función \( f:\mathbb{R}\to [0,\infty ],\, x\mapsto \frac1{2 \sqrt{x}}\mathbf{1}_{(0,1]}(x) \).

Totalmente cierto, como en un principio estaba trabajando con espacios finitos y funciones acotadas y como para el supremo si funciona, se me olvidó poner que en el ínfimo las funciones no son simples, si no numerable-simples. Es decir, su imagen es un conjunto a lo sumo numerable, luego son de la forma

\( \phi= \sum_{i=1}^\infty a_i \chi_{E_i} \)

con \( E_i=\phi^{-1}(\{a_i\}) \), y su integral se define como

\( \int_X \phi \hspace{1mm}d \mu= \sum_{i=1}^\infty a_i \mu(E_i) \)

Vale, ahí lo que puedes hacer es lo siguiente: defines \( f_n:=f \mathbf{1}_{f^{-1}(n,n+1]} \) para \( n\in \mathbb N\cup\{0\} \), entonces para cada \( f_n \) se cumple la proposición de mi respuesta anterior y por tanto existe una sucesión de funciones simples \( \{f_{k,n}\}_{k\in\mathbb{N}} \) tales que \( f_{k,n}\downarrow f_n \) en \( L_1 \). Finalmente existe una subsucesión \( \{k_j\}_{j\in\mathbb{N}} \) tal que \( \tilde f_j:=\sum_{n\geqslant 0}f_{k_j,n} \) es integrable y \( \tilde f_j \) es de la forma que propones, una función "simple" pero con un número infinito contable de sumandos, a partir de ahí puedes construir una sucesión \( \{\tilde f_j\}_{j\in\mathbb{N}} \) estrictamente decreciente de funciones integrables tales que \( \tilde f_j \downarrow f \) en \( L_1 \). Faltan añadir algunos detalles pero ésa es la idea.

Citar
Añado ejercicio complementario: para \( f:X\to [0,\infty ] \) integrable demostrar que

\( \displaystyle{
\int_X f  \hspace{1mm}d \mu =\inf\left\{\int_X \phi \hspace{1mm}d \mu: \phi \text{ es medible, simple y } f \leq \phi \right\}
} \)

si y solo si \( \mu(\{x\in X:f(x)>0\})<\infty  \) y \( \|f\|_{\infty }<\infty  \) (con \( \|f\|_\infty :=\inf\{a\in[0,\infty ]: \mu(f^{-1}((a,\infty ])=0\} \), que se llama el supremo esencial de \( f \), donde asumimos la convención de que \( \inf \emptyset =\infty  \)).

Muy interesante de todas formas, pero no consigo ver la implicación recíproca, es decir, que si se dan las condiciones que dices entonces es cierta la igualdad.

Gracias por todo y a ver si ahora está todo más claro y se consigue solucionar  ;D

Defines \( A:=\{x\in X: f(x)>0\} \) y defines a su vez \( g:=\|f\|_{\infty }\mathbf{1}_{A}-f \), entonces \( g\geqslant 0 \) casi en todas partes y es claramente integrable por lo que existe una sucesión de funciones simples \( g_n\uparrow g \) en \( L_1 \), por tanto las funciones definidas como \( f_n:=\|f\|_{\infty }\mathbf{1}_{A}-g_n \) son también simples y \( f_n\downarrow f \) en \( L_1 \).

Añadido: se me pasó un detalle importante en la propuesta de mi respuesta anterior: hay que entender en la definición del ínfimo que la desigualdad \( f\leqslant \phi \) debe ser en casi todas partes, o más concretamente, que \( f \mathbf{1}_{S}\leqslant \phi \mathbf{1}_{S} \) para \( S:=\{x\in X: f(x)\leqslant \|f\|_{\infty }\} \). He añadido una corrección en rojo en mi respuesta anterior para especificar a qué me refiero. Lo mismo debe entenderse para el caso donde \( f \) no cumple que \( \|f\|_{\infty }<\infty  \) o que \( \mu(\{x: f(x)>0\})<\infty  \) y utilizamos funciones "simples" con infinitos sumandos para aproximarla, es decir, que \( \tilde f_j\geqslant f \) casi en todas partes.

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Hola a todos, estoy intentando demostrar lo siguiente:

Sea \( (X, M,  \mu) \) un espacio medible y \( f: X \longrightarrow [0,+\infty] \) una función medible. Entonces, si \( f \) es integrable se cumple que

\( \int_X f  \hspace{1mm}d \mu =  \sup\left\{\int_X \phi \hspace{1mm}d \mu: \phi \text{ es medible, simple y } 0 \leq \phi \leq f\right\} = \inf\left\{\int_X \phi \hspace{1mm}d \mu: \phi \text{ es medible, simple y } f \leq \phi \right\} \)

La primera igualdad no es más que la definición de integrabilidad para una función no negativa. Y, respecto a la segunda igualdad, es claro que por la monotonía de la integral y las definiciones de supremo e ínfimo, se tiene que el supremo dado es menor o igual que el ínfimo.

Lo que no consigo demostrar es que realmente se da la igualdad. ¿Alguna ayuda con ello?

Un saludo y muchas gracias.

La segunda identidad no es cierta en general. Un contrajemplo es la función \( f:\mathbb{R}\to [0,\infty ],\, x\mapsto \frac1{2 \sqrt{x}}\mathbf{1}_{(0,1]}(x) \).

Añado ejercicio complementario: para \( f:X\to [0,\infty ] \) integrable demostrar que

\( \displaystyle{
\int_X f  \hspace{1mm}d \mu =\inf\left\{\int_X \phi \hspace{1mm}d \mu: \phi \text{ es medible, simple y } f \leq \phi \color{red}{\text{ casi en todas partes }}\right\}
} \)

si y solo si \( \mu(\{x\in X:f(x)>0\})<\infty  \) y \( \|f\|_{\infty }<\infty  \) (con \( \|f\|_\infty :=\inf\{a\in[0,\infty ]: \mu(f^{-1}((a,\infty ])=0\} \), que se llama el supremo esencial de \( f \), donde asumimos la convención de que \( \inf \emptyset =\infty  \)).

Corregido.

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Estructuras algebraicas / Re: Monomorfismo vs isomorfismo
« en: 29 Diciembre, 2021, 03:14 am »
Hola; queria.preguntar cuál es la diferencia entre un monomorfismo (homomorfismo inyectivo) y un isomorfismo (homomorfismo/correspondencia biyectiva?); gracias, saludos.

Un monomorfismo no es un homomorfismo inyectivo, eso depende de la categoría, por ejemplo en la categoría de los grupos coinciden con los homomorfismos inyectivos, pero en general no tiene por qué ser así. Mira, en la wikipedia lo explican bastante bien:

https://es.wikipedia.org/wiki/Morfismo

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