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Mensajes - Carlos Ivorra

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Se utiliza que todo cuerpo arquimediano es isomorfo a un subcuerpo de \( \mathbb R \), pero el teorema 1.43 de análisis prueba que lo es como cuerpo métrico, no como cuerpo ordenado. (El 7.68 también utiilizaba)

Sí, eso no está bien. No lo he rectificado porque habría que reordenar algunas cosas, y precisamente ahora estoy trabajando en una nueva versión de mis libros de Álgebra, Geometría y Análisis que tengan en cuenta los cuatro libros más elementales que publiqué hace un tiempo de Introducción a la teoría algebraica de números, Introducción a la teoría analítica de números, introducción a la geometría euclídea e Introducción al cálculo diferencial (eliminando material que ya aparece en esos libros y añadiendo nuevos ejemplos y aplicaciones). Te adjunto el capítulo I de la nueva versión del libro de análisis. La prueba de que todo cuerpo ordenado arquimediano es isomorfo a un subcuerpo de cualquier cuerpo ordenado arquimediano completo la tienes en el teorema 1.12

2
Para entrar en contexto. Entiendo que cuando se estudia teoría de números y se presentan los axiomas de Peano, puede hacerse la presentación más «amigable», si en vez de que la única operación primitiva sea la de sucesor y la única constante \( 0 \), se incluyen la constante \( 1 \) y la adición y el producto como operaciones primitivas, y algunos axiomas más que sacrifican la independencia por claridad.

No es una cuestión de ser amigable, ni de claridad. La constante \( 1 \) no aporta nada, ciertamente, pero estás mezclando dos cosas: cuando formalizas la aritmética de Peano en la teoría de conjuntos te basta el \( 0 \) y la operación sucesor, pero si quieres formalizar la aritmética de Peano como una teoría independiente de la teoría de conjuntos, entonces necesitas incluir la suma y el producto para no necesitar conceptos conjuntistas. Hay otras alternativas, pero son más complicadas y, en cualquier caso, algo hay que hacer, porque el 0 y la operación sucesor NO bastan para formalizar la aritmética de Peano al margen de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, hablando en el contexto del lenguaje de primer orden, es estándar presentar los axiomas de Zermelo con la menor cantidad de conceptos primitivos y escribir todos los axiomas sin necesidad de alguna constante, ni operación primitiva, solo el predicado de pertenecia, lo cual tecnicamente se escribe «la signatura del lenguaje de primer orden ZF consta de apenas un relator» o «la signatura del lenguaje de primer orden ZF es \( \left\{ \in \right\} \)». Entiendo que este estándar, la economía de conceptos primitivos y la lista fija de axiomas, tiene el propósito de facilitar los estudios metalógicos y poder probar cosas acerca de la teoría.

Yo más bien diría que no es economía, sino evitar derroches que no aportan nada.

¿Qué tal si el objetivo es probar cosas dentro de la teoría? Porque si el propósito es este último, y se observa los libros de texto de matemáticas, pareciera que de hecho cada definición de un nuevo predicado/operación/conjunto parece agregar un relator/funtor/constante a la signatura y un nuevo axioma en forma de bicondicional para con este axioma «definir» el nuevo relator/funtor/constante usando solo los conceptos primitivos previos y sin preocuparse por probar que las «extensiones conservativas son en efecto estrictamente conservativas» o demás requerimientos similares para la teoría.

Son extensiones conservativas porque cada concepto nuevo se introduce precedido de una demostración de existencia y unicidad. Por ejemplo, no defines \( x\cup y \) hasta que no has demostrado que existe la unión de dos conjuntos cualesquiera o, alternativamente, siempre puedes adoptar el convenio de que todo lo que no esté bien definido sea, por definición, el conjunto vacío, por ejemplo, aunque en la práctica los matemáticos nunca usan conceptos mal definidos.

Mi pregunta es, entonces, ¿qué precauciones tener? si se decide usar una alternativa a Z o ZF que no es NBG, ni Morse-Kelley, sino cómo algo como: [...]

No estoy seguro de entender qué estás preguntando con "¿qué precauciones tener?". Los axiomas que das determinan una extensión conservativa de ZFC (al menos si no contamos el punto 8, que no está lo suficientemente detallado como para decir algo de él, y de hecho no entiendo a qué te refieres con "aritmtetización del análisis", en este contexto). Lo que me confunde es que digas:

Entiendo que antes de agregar un funtor o constante nueva a la signatura es necesario hacer una prueba de unicidad. Pero ¿qué pasa con '\( \varnothing \)', '\( S \)', '\( \bigcup \)' cuando ya están en los axiomas? Por supuesto, no sé sí las formulas están bien escritas y no tengo algún referente por la mencionada usanza en la literatura de lógica matemática de solo tomar la pertenecia como concepto primitivo.

Pero eso es lo que se hace habitualmente, por eso no veo que, en lo tocante a 8 (y supongo que a 9), estés proponiendo nada distinto a lo usual. En cuanto a los demás axiomas, tampoco sé exactamente qué preguntas. Si te refieres a si tienes que hacer algo si te propones usar esos axiomas, no tienes que hacer nada. Son una axiomática como otra cualquiera. Si lo que preguntas es qué tienes que hacer para convencerte de que determinan una extensión conservativa de ZF, pues es algo que se puede demostrar. Una prueba semántica consiste en razonar que todo modelo de ZF se extiende a un modelo de tu axiomática interpretando adecuadamente los signos definidos. También es posible dar pruebas puramente sintácticas, pero suelen ser más técnicas. Para estas cosas suele ser más cómodo usar la formulación de la lógica en términos del cálculo secuencial, pero no sé. Habría que ponerse a ello para ver qué es lo más cómodo (o lo menos horripilante, porque este tipo de pruebas suelen ser feas con avaricia).

El propósito que tengo en mente es utilizar el lenguaje de primer orden para escribir las pruebas y deducciones dentro de esta teoría (que, según la practica cotidiana, además de percibir personalmente qué está puesto en práctica lo que pregunto acerca de axiomas y conceptos primitivos, se incluyen también muchas reglas de inferencia). En este sentido, creo que se puede implementar el formalismo desde temprano, con la promesa de un curso tradicional de lógica de últimos años de pregrado dónde de todas maneras se justificaba todos los metateoremas, extensiones conservativas, validez de reglas de inferencia, etc. que uno pudo necesitar en los primeros años.

Pues sigo sin captar la idea, porque parece que digas que tu propósito es introducir todas las definiciones necesarias como se hace usualmente (probando primero que están bien definidas) excepto en seis casos (contando como uno lo que en realidad serían infinitos casos, en el punto 7), y la pregunta entonces es: ¿qué ganas ahorrándote seis definiciones si vas a tener que dar otras 600? ¿Por qué consideras más didáctico dar 600 definiciones que dar 606?

Pero insisto que, probablemente, lo que pasa es que no me hago una idea clara de lo que planeas exactamente.

Otra cosa que no tengo clara es cuando hablas de ser "más didáctico" ¿para explicar qué? Porque una cosa es querer explicar tecnicismos lógicos sobre la fundamentación de la matemática, donde sí tendría sentido plantearse cuál es la forma más didáctica de hacerlo, y otra —que no sé si es lo que te propones— es enseñar matemáticas, en cuyo caso yo te diría que lo más didáctico es no usar lógica formal para nada, que es lo que verás en cualquier libro sensato que busques por ahí, tanto libros de "álgebra, análisis, geometría, etc." como libros de teoría de conjuntos. Ningún experto en teoría de conjuntos te va a presentar en un libro la teoría de conjuntos con deducciones formales a partir de los axiomas. Eso es comprensible que lo hicieran Whitehead y Russell porque en esa época no estaba claro cómo habría que hacer tal cosa (y su propósito no era didáctico en absoluto), pero hoy en día los matemáticos han aprendido que la lógica formal es como las bombas atómicas: que está bien tenerlas por seguridad, a condición de tener bien claro que jamás hay que usarlas salvo que sea absolutamente imprescindible hacerlo, e "imprescindible" significa "absolutamente e incuestionablemente imprescindible", no "imprescindible a juicio de Putin", que es otra cosa.

La impresión que tengo —a falta de entender adecuadamente tu propósito— es que eres un Putin de la lógica formal, que amenazas con usarla en un contexto en el que nadie que sabe lo que ello conlleva la usaría nunca. Es muy potente, sin duda, pero es letal con cualquier didáctica viviente.

¿Tal vez conocen alguna referencia dónde el autor no sea timido en usar más conceptos primitivos para expresar los axiomas de la teoría de conjuntos? Por supuesto en esta última pregunta me refiero al lenguaje de primer orden, pues ya sé que los axiomas de esta teoría se escriben con mucha frecuencia en el lenguaje natural.

¿Pero has visto algún autor que exprese formalmente los axiomas de la teoría de conjuntos y los use para demostrar algo que no sean demostraciones de juguete? Quiero decir: ¿podrías poner un ejemplo de esos autores tímidos que pareces conocer? Lo digo por tratar de entenderte, porque yo no conozco ninguno (sin contar a filósofos como autores serios, al menos) y tal vez si tuviera una idea clara de lo que quieres mejorar entendería en qué consisten las mejoras que planeas.

3
No entiendo el último párrafo de 13.20. Cuando dice \( \beta\in{K_s} \), ¿eso no es lo que se quiere probar? Creo que una errata, porque igual se puede probar que hay otra raíz \( \beta'\in{K} \) ,

Sí, es una errata. Debe decir \( \beta \in L_s \). Ahora no puedo corregirla. Esta noche lo haré.

pero aún así no veo cómo llegar a \( L=k(\beta ') \)

Tienes que \( \beta'\in L_s = k(\beta) \), luego \( k\subset k(\beta')\subset k(\beta)=L_s \), pero \( \beta \) y \( \beta' \) tienen el mismo polinomio mínimo sobre \( k \), luego \( |k(\beta): k|=|k(\beta'):k| \), luego \( |k(\beta):k(\beta')|=1 \), luego \( k(\beta')=k(\beta)=L_s \).

4
Quizás no entendí algo sobre el teorema 4.26, pero me pareció que en realidad era una consecuencia inmediata de la construcción de 4.24.

Sí, puedes deducir 4.26 de la definición de límite inductivo o de la construcción concreta dada en 4.24.

5
¿Puedes detallar un poco en la definición del cuerpo K? En casos así se define como la unión de los \( K_n \), pero puesto así no funciona porque no es verdad que \( K_n\subseteq{K_{n+1}} \).

Se me ocurre que los elementos de K sean la unión de las clases de equivalencia de los \( K_n \), es decir, para cada p(x) tomo la unión de las clases de p(x) en los \( K_n \). ¿Estoy complicado todo?

Tenemos una sucesión de cuerpos \( \{K_n\}_{n=0}^\infty \) y monomorfismos \( i_{n,n+1}:K_n\longrightarrow K_{n+1} \). Más en general, si \( m< n \), podemos definir \( i_{m,n}: K_m\longrightarrow K_n \) como la composición de los monomorfismos \( i_{m,m+1},\ldots i_{n-1,n} \) y si llamamos \( i_{n,n}:K_n\longrightarrow K_n \) a la identidad, tenemos definidos \( i_{m,n}:K_m\longrightarrow K_n \) para todo \( m\leq n \), de modo que \( i_{n_1, n_2} \)  seguido de \( i_{n_2, n_3} \) es lo mismo que \( i_{n_1, n_3} \).

Ahora mira la sección 4.4 de mi libro de Topología algebraica. (Sólo necesitas el principio, desde la definición 4.23 hasta el teorema 4.26, que no dependen de nada de lo anterior.)

Lo que tenemos es un ejemplo de sistema inductivo de módulos en el sentido de 4.23 tomando como conjunto dirigido el de los números naturales con el orden usual (considerando los cuerpos como \( K_0 \)-módulos,  es decir, como \( k \)-espacios vectoriales).

El teorema 4.24 te dice cómo construir (sin el axioma de elección) un límite inductivo \( K \) que, en principio, es un \( k \)-espacio vectorial en el que tenemos definidos monomorfismos \( i_n: K_n\longrightarrow K \) de modo que, por el teorema 4.26, \( K \) es la unión de las imágenes \( i_n[K_n] \).

El hecho de que los \( i_{m,n} \) sean realmente monomorfismos de cuerpos (no sólo de \( k \)-espacios vectoriales), permite dotar a cada \( i_n[K_n] \) de estructura de cuerpo de modo que cada \( i_n \) sea un isomorfismo de cuerpos y cada \( i_n[K_n] \) es un subcuerpo del siguiente, y entonces \( K \) es también un cuerpo, y es la clausura algebraica que buscamos.

Si algo no está claro pregunta.

6
En la página 292 del libro álgebra de Ivorra hay una nota que dice que no es necesario usar el lema de Zorn para probar que un cuerpo ordenado tiene clausura real (teorema 7.69) si es que el cuerpo es numerable. Pero en la prueba usamos que el cuerpo tiene una clausura algebraica (teorema 7.55), y eso requiere elección.

Mi pregunta es si la existencia de la clausura algebraica se puede probar sin necesidad del axioma de elección para cuerpos numerables

Si \( k \) es un cuerpo numerable, también es numerable el anillo de polinomios \( k[x] \) (y esto se prueba sin el axioma de elección). Por lo tanto, existe una enumeración \( \{p_n(x)\}_{n=0}^\infty \) de todos los polinomios mónicos irreducibles de \( k[x] \).

Define una sucesión \( K_0=k \), \( K_{n+1}=K_n[x]/(p_n(x)) \). Así cada \( K_n \) es un cuerpo en el que \( p_n(x) \) tiene una raíz, y tenemos monomorfismos naturales \( i_n: K_n\longrightarrow K_{n+1} \).

Nada de esto requiere el axioma de elección, como tampoco lo requiere la construcción del límite directo \( K \) de esta sucesión, que es un cuerpo tal que existen monomorfismos \( j_n: K_n\longrightarrow K \) y \( K \) es la unión de sus imágenes. En particular, podemos ver a \( K \) como una extensión algebraica de \( k \) en la que todo polinomio de \( k[x] \) tiene una raíz. Entonces \( K \) es una clausura algebraica de \( k \), por el teorema 13.20 de mi libro de álgebra.

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Construcciones / Re: Poliedro regular de x caras de n lados
« en: 30 Octubre, 2022, 11:42 pm »
Por otro lado estuve leyendo la página de Carlos Ivorra , aún no hallé en particular tu recomendación sobre el tema.

Luis se refiere al documento "Poliedros", que está justo antes del apartado "Artículos breves".

8
Off-topic / Re: Series o conjuntos que empiecen por 0
« en: 26 Octubre, 2022, 10:34 pm »
En OEIS:

https://oeis.org/search?q=0&language=spanish&go=Buscar

Tienen registradas 294224 sucesiones interesantes de números naturales que contienen al 0. No todas ellas empiezan por 0, pero entre ellas encontrarás muchas que lo hagan.

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Teoría de Conjuntos / Re: Árboles de distintos tipos
« en: 13 Octubre, 2022, 10:33 pm »
Pero si alguna anticadena es no numerable, ¿eso no contradice (*)? Porque entonces, ¿no es un \( \aleph_1 \)-árbol de altura \( \aleph_1 \) en que no todos los niveles tienen cardinal menor que \( \aleph_1 \)?

No contradice (*) porque no es lo mismo "nivel" que "anticadena". Los niveles son anticadenas, pero una anticadena no tiene por qué ser un nivel. Por ejemplo, imagina un \( \aleph_1 \)-árbol con una cadena no numerable, si cada nodo \( x_\alpha \)  de la cadena tiene encima otro nodo \( y_\alpha \) que no está en la anticadena, entonces el conjunto \( \{y_\alpha\} \) es una anticadena con elementos de altura arbitrariamente grande, con lo que no es, ni mucho menos, un nivel, en el que todos los elementos tendrían la misma altura.

- Un árbol de Kurepa es un \( \aleph_1 \)-árbol de altura \( \aleph_1 \) con al menos \( \aleph_1^+ \) caminos. De nuevo, si tiene al menos \( \aleph_1^+ \) caminos, ¿eso no contradice (*)? Porque si hay al menos \( \aleph_1^+ \) caminos, ¿ello no significa que al menos el último nivel no es una anticadena de cardinal \( \aleph_1^+ \)?

Es que no hay un último nivel. Para cada \( \alpha<\omega_1 \), el nivel \( \alpha \) es numerable, y los \( \aleph_1^+ \) restringidos a esa altura \( \alpha \) son numerables. Hay muchos con la misma restricción, que se separan en alturas posteriores.

La situación es parecida a la del ejemplo que pones a continuación:

Por último, planteo el siguiente ejemplo que creo que puede ser un árbol y tengo la duda de saber qué tipo de árbol sería, si es que es de algún tipo especial:

Tomamos el conjunto de Cantor, que consiste en tomar el intervalo [0,1] e irle sustrayendo el tercio central en cada paso. El nivel 0 sería el intervalo [0,1], el nivel 1 serían los intervalos [0,1/3] y [2/3,1], el nivel 2 serían los intervalos [0,1/9], [2/9,1/3], [2/3,7/9] y [8/9,1], y así sucesivamente (es la construcción del conjunto de Cantor). Consideramos la relación de orden por la inclusión inversa, de forma que si A y B son dos intervalos y \( A\subset{B} \), entonces \( A>B \) y pertenecen a la misma cadena, y evidentemente los intervalos del mismo nivel forman una anticadena porque son incompatibles entre sí, ningún intervalo está contenido en otro del mismo nivel, dado que son disjuntos.

Como árbol, el árbol que acabas de describir es isomorfo a \( 2^{<\omega} \), es decir, es un árbol de altura \( \omega \) en el que por encima de cada nodo hay exactamente dos nodos.

Ahí tienes un ejemplo de árbol con niveles finitos que tiene \( 2^{\aleph_0} \) caminos, y no es ni más ni menos contradictorio que la existencia de un árbol de Kurepa. Si cortas todos los números reales (digamos entre 0 y 1) por su n-sima cifra decimal, obtienes una cantidad finita de decimales. No hay contradicción en que los números decimales entre 0 y 1 de una longitud dada sean un número finito y que los decimales infinitos sean un conjunto no numerable.

En este conjunto todas las ramas son caminos, que todos son cadenas numerables, y cada camino tiene cardinal \( \aleph_0 \), pero el nivel más alto, el nivel \( \omega \), forma una anticadena de cardinal \( 2^{\aleph_0} \), dado que el conjunto de Cantor, al final del proceso es un conjunto no numerable, como es sabido.

Pero no hay un nivel más alto. El nivel \( \omega \) es vacío. Todo elemento de ese árbol tiene altura finita, y por eso es un árbol de altura \( \omega \). Si el nivel \( \omega \) no fuera vacío el árbol tendría altura \( \omega+1 \). Creo que esa tendencia a pensar en un "último nivel" inexistente te confunde bastante y te confundía ya en algún hilo anterior.

Otra cosa es que si quisieras añadir un nivel \( \omega \) al árbol, podrías hacerlo no numerable si quisieras, situando cada nuevo nodo sobre uno cualquiera de los \( 2^{\aleph_0} \) caminos posibles.

¿Esta estructura sería algún tipo de árbol? Entiendo que sería un árbol de cardinal \( \aleph_1 \), de altura \( \aleph_0 \), unión numerable de anticadenas, con al menos una anticadena de cardinal \( \aleph_1 \), pero creo que no es ninguno de los tres árboles mencionados antes, ¿no?

No, no hay ninguna anticadena de cardinal \( \aleph_1 \). El árbol es numerable, y todos sus subconjuntos son numerables (tanto las cadenas, como las anticadenas como cualquier otro), sin perjuicio de que admita una cantidad no numerable de caminos.

Todos los árboles que has citado antes son de altura \( \aleph_1 \), así que éste no es de ninguno de esos tipos. Pero este árbol es simplemente el árbol binario completo \( 2^{<\omega} \).

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Sobre esto tendría que hacer muchas matizaciones, pero en esencia lo que dices se parece a esto:

https://www.uv.es/ivorra/Filosofia/TC/15.htm

Aunque para entender lo que digo ahí, tal vez sea imprescindible empezar por aquí:

https://www.uv.es/ivorra/Filosofia/TC/1.htm

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Al final, que consideres que "existe un conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de un conjunto dado" es falso sí que es un acto de fe. Es un acto de fe o una creencia respecto a que es falso.

Estás diciendo que el ateísmo es un acto de fe. Un poco retorcido me parece. De todos modos, matizo mi afirmación: cuando digo que lo considero falso, quiero decir en realidad que no soy capaz de encontrarle un sentido al axioma que pudiera hacerlo verdadero, y eso no es una creencia, ni mucho menos un acto de fe. Es una realidad objetiva. Afirmo que no soy capaz de encontrarle un posible significado a la expresión "la totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado", y eso no es una creencia. Si te digo que no sé cómo se dice "niño" en sueco, no es que crea no saberlo, ni que sea un acto de fe por mi parte que no sé cómo se dice "niño" en sueco, sino que es incuestionable que no lo sé. Igualmente te digo que no sé en qué sentido se puede hablar de la totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado, eso no es ningún acto de fe, sino que es una verdad incuestionable. Otra cosa es que pudiera existir algún sentido desconocido para mí que pudiera hacer verdadero tal axioma, pero a ese respecto sólo puedo decir que, si existe tal cosa, yo no la conozco.

Por lo tanto, creo que, ahorrando matices, puedo decir con bastante precisión que el axioma del conjunto partes me parece falso, en el sentido, no de que crea que es falso (en lo cual podría estar equivocado), sino de que no concibo en qué sentido podría ser verdadero (lo cual es un hecho incuestionable sobre mí mismo).

Por otro lado, por ejemplo, que las sucesiones de Goodstein, que solo implican naturales, solo puedan demostrarse en una aritmética de segundo orden, que precisamente permite formalizar los reales, a mí me hace pensar intuitivamente que ir a teorías que parecen estar más allá de lo que nos parece “realista” no es tan descabellado y seguramente puede ayudar a explicar más la realidad de lo que parece.

El "sólo" no es muy exacto. También puedes demostrar que las sucesiones de Goodstein terminan en ZFC, que es una teoría de primer orden. Una aritmética (razonable) de segundo orden no es una extensión de ZFC, sino una restricción mucho más débil que ZFC. Por supuesto que las sucesiones de Goodstein son "reales" y es cierto que terminan, pero la aritmética de segundo orden no es sino una forma de estrechar ZFC para quitarle buena parte de sus elementos "ficticios", aunque tal vez no todos.

Ya les pasó a los pitagóricos, que creían que todo el universo podía explicarse solo con los naturales, hasta que descubrieron al irracional \( \sqrt[ ]{2} \) como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midan la unidad.

Es que creer que todo el universo puede explicarse sólo con los números naturales sí que es una afirmación dogmática (supongo que con ello me refiero a algo parecido a lo que quieres expresar tú con "acto de fe", aunque insisto en que esa expresión me parece equívoca en la mayoría de los casos). Por otra parte, no necesitas más que los axiomas de Peano para definir y probar la existencia de la raíz cuadrada de 2, que, al fin y al cabo, es poco más que una sucesión recursiva de dígitos.

Ciertamente, la teoría de cardinales transfinitos puede parecernos ciencia ficción, pero no me parece más ciencia ficción que el entrelazamiento cuántico o el horizonte de sucesos de un agujero negro o muchos aspectos de la misma teoría de la relatividad.

Yo no he dicho que la teoría de cardinales transfinitos sea (o parezca) ciencia-ficción, sino que es ficción (sin ciencia) si tomamos como "realidad" aquello de lo que tenemos un conocimiento material (no puramente formal), por el contrario, pareces usar "ciencia ficción" en un sentido extraño, algo así, como "fantasioso", porque los ejemplos que citas no pueden ser (ni parecer) ciencia ficción, ya que son ciencia.

Por ejemplo, hay modelos que muestran que las supertareas (una cantidad infinita numerable de tareas en tiempo finito) no contradicen la relatividad. Pero es que incluso hay algún “paper” reciente que demuestra la posibilidad de las hipertareas (una cantidad infinita no numerable de tareas en tiempo finito) si se modeliza la estructura del tiempo con los números surreales (la clase propia que incluye también los transfinitos, además de los reales).

No sé nada de eso, pero dudo mucho que encuentres un fenómeno físico que permita verificar o refutar cualquier afirmación sobre teoría de conjuntos abstracta.

12
En tu último mensaje hay mucha filosofía de la matemática, y ahí hay tantas opiniones como colores, sin que ninguna pueda presentarse como mejor o peor fundada que otras. Te comento algunas cosas, pero insistiendo en que lo que digo son mis opiniones personales, que serán compartidas por algunos matemáticos y discutidas por otros.

Sabemos que la formalización es simplemente una aproximación que no capturará la totalidad de lo que son las matemáticas. Y como tal aproximación es arbitraria. No es tan solo que aceptar o no como axioma la hipótesis del continuo sea arbitrario o un acto de fe. Todo axioma es un acto de fe, incluso el más básico o simple.

Discrepo rotundamente. No creo que ningún axioma sea un acto de fe. Por una parte, tienes axiomas tontos como "existe el conjunto vacío" o "hay un conjunto que contiene a todo par de conjuntos". El primero es esencialmente una definición. No es nada que uno tenga que creerse, sino meramente el convenio de admitir al conjunto vacío en la definición de "conjunto". El segundo es una obviedad. Si tengo dos conjuntos, nada me impide considerar otro conjunto que los tenga por elementos, y plasmo eso en un axioma para indicar que usaré esa obviedad siempre que lo considere oportuno en mis razonamientos. ¿En qué sentido se podría decir que es falso el axioma del par? Nada te impide no adoptarlo y no hablar de pares de conjuntos si no quieres, pero que no quieras hablar de ellos no quiere decir que los pares no estén ahí para que digas lo que quieras sobre ellos.

Por otra parte, hay axiomas como "existe un conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de un conjunto dado" que tampoco pueden considerarse aceptados por "un acto de fe", ya que mi opinión es que ese axioma es falso, y es difícil decir que alguien tiene fe en algo que considera falso.

Que sea falso, no es razón para no tomarlo como axioma, porque es mucho más simple que cualquier alternativa que tratara de especificar qué subconjuntos de un conjunto dado sería razonable considerar que existen realmente y, por otra parte, es una ficción interesante, que da lugar a toda una novela de ficción, como es la teoría de los cardinales transfinitos. Una teoría de cardinales que "se ciñera a la realidad" sería mucho más pobre y complicada. Debería considerar únicamente conjuntos finitos, numerables y pseudoconjuntos que no se pueden contar porque no acaban de estar bien definidos.

Decía Lewis Carroll, el autor de “Alicia en el país de las maravillas”, que en realidad nada es demostrable, porque para demostrar cualquier cosa necesitamos partir de unas premisas que damos como válidas sin demostración alguna. Por ejemplo, si queremos demostrar q a partir de una hipótesis p, primero hemos de aceptar que p implica q (\( p\rightarrow{q} \)). Pero para ello hemos de aceptar que si se da p y se da \( p\rightarrow{q} \), entonces se da q:
\( A\equiv{(p\wedge{(p\rightarrow{q})})\rightarrow{q}} \)

Pero esta última afirmación es toda ella igualmente una premisa, con lo cual, deberíamos incluirla también como hipótesis, de forma que:
\( B\equiv{(p\wedge{(p\rightarrow{q})}\wedge{A})\rightarrow{q}} \)

Y podríamos seguir así yendo hacia atrás ad infinitum.

Eso es otra historia. Su moraleja es que no hay que confundir las reglas de inferencia con los axiomas.

Pero aceptamos unos axiomas en un acto de fe porque encajan mejor con nuestra intuición y/o porque forman parte de una lógica que encaja con la lógica que creemos que funciona en la realidad o nos ha funcionado en el pasado.

Discrepo. Los axiomas de ZFC no se "aceptan", sino que están elegidos para que a partir de ellos se pueda demostrar todo lo que un matemático aceptará sin discusión como evidente y algunas cosas más que, sin el apoyo de una teoría axiomática, el matemático no sabría si aceptar o no, y a menudo metería la pata llegando a contradicciones, pero que no importa si se pueden considerar afirmaciones verdaderas o falsas en algún sentido, porque lo relevante es que simplifican el razonamiento matemático, permitiendo muchas afirmaciones que podrían considerarse dudosas y excluyendo las que dan lugar a contradicciones. Dicho más fácilmente lo que hace ZFC es aceptar cualquier cosa, sea verdadera o falsa, con tal de que no sea contradictoria.

En realidad, no se puede demostrar que ZFC sea consistente, pero también es verdad que cualquiera que lo haya manejado un poco a fondo y conozca todo el rodaje que se le ha dado aceptaría una pensión vitalicia de 100.000 euros al mes a cambio de dejarse cortar la cabeza en el momento en que se descubriera una contradicción en ZFC, pero no creo que a esa confianza se la pueda llamar fe. No es lo mismo la confianza que la fe.

Alfred Jules Ayer decía, por ejemplo, que la experiencia nos había dado una muy buena razón para suponer que una “verdad” (axioma) matemática o lógica era una verdad universal, pero no tenemos ninguna garantía de ello. O el constructivismo, por ejemplo,
considera falso el axioma lógico del tercero excluido (\( p\vee{\lnot{p}} \)), que la mayoría consideramos aceptable y además imprescindible para construir una matemática manejable.

No voy a discutir postulados positivistas. La vida es breve y hay que aprovecharla.

Por tanto, siempre aceptamos unos axiomas como un acto de fe y a partir de ahí desarrollamos y vemos dónde nos lleva y vemos si nos lleva a una aproximación “razonable” de las matemáticas (con todo lo subjetivo de la palabra razonable).

No me parece que "aproximación" sea la palabra más adecuada para esto. Más bien diría que la teoría axiomática de conjuntos supone una "acotación" que deja dentro prácticamente todo lo interesante y, si algo queda fuera, se queda dentro con una copia que hace perfectamente de sucedáneo.

Otra cosa son las aproximaciones de realidades físicas a partir de modelos matemáticos, pero eso es radicalmente otra historia. ZFC le viene grande a cualquier teoría física, en el sentido de que si ZFC resultara ser contradictoria, habría que cambiarla por otra teoría, pero seguro que en la nueva se podrían formalizar las mismas teorías físicas (matemáticas) que "aproximan" más o menos la realidad física, de tal suerte que los físicos no notarían el cambio, ni les importaría lo más mínimo.

Y pueden haber aproximaciones distintas. Por ejemplo, la biología, la física, la química, la medicina, la geología, etc. son aproximaciones distintas de una misma realidad física, visiones desde distintos puntos de vista.

Más bien diría que son parcelaciones de esa realidad, conveniente, aunque más o menos artificiales, en el sentido de que las fronteras entre unas y otras no tienen por qué ser precisas.

Del mismo modo, creemos que hay una realidad matemática que subyace en la realidad física (en la observable y en la no observable). Lo creemos, como dije antes, porque la experiencia nos demuestra que la matemática nos sirve para explicar la realidad observable.

Me sigue chirriando la palabra "creer". Es un hecho que las matemáticas describen bien la realidad física, y por ello es un signo de racionalidad (no una creencia o un acto de fe) usar las matemáticas para describir el mundo y hacer predicciones, siempre y cuando se abandone una teoría cada vez que demuestra que no funciona.

Que hay una realidad matemática que subyace a la realidad física, más que una creencia, yo diría que es un modelo metafísico (o parte de él) que puede resultar especialmente satisfactorio y elegante. Pero un modelo metafísico no es una creencia, es un modelo metafísico. Un "todo podría ser así de simple".

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Respecto a la última parte, podemos decir, por tanto, que ahora mismo hay una multiplicidad de teorías, todas consistentes, que comparten unos axiomas básicos y luego podemos suponer otros. Por ejemplo, si asumimos la hipótesis del continuo más la de Suslin más el axioma de Martin, pasa tal cosa; si asumimos la hipótesis del continuo pero no la de Suslin más el axioma de Martin pasa esto otro, etc.

Así es. Bueno, luego puedes considerar otras teorías que se apartan más o menos de los axiomas básicos de ZFC, o que son más débiles, etc., pero creo que en este contexto podemos prescindir de esas sutilezas.

Podríamos aceptar que una entre estas teorías, de las que los matemáticos se aseguran que sean matemáticamente consistentes, es la “verdad” si viéramos que encaja a la perfección con la realidad (física, observable, comprobable, etc.) pero dado que hay discusión sobre ello, entiendo que ninguna de ellas puede considerarse como la “verdad” sino como posibles verdades.

Dudo mucho que ninguna diferencia entre extensiones distintas de ZFC se plasme jamás en ninguna consecuencia que pueda ser confirmada o refutada por la realidad física. Las discusiones entre los matemáticos sobre si tal o cual teoría es "la buena" no tienen absolutamente nada que ver con la realidad física, sino con criterios que —al menos a mi juicio— en el fondo son puramente estéticos y arbitrarios.

Sobre si tiene sentido hablar de "verdad" en este contexto, tienes opiniones para todos los gustos. La mía es que no, que no tiene absolutamente ningún sentido plantearse si la hipótesis del continuo es verdadera o falsa. Es como si te planteas si los grupos son de verdad abelianos o no abelianos. Hay grupos abelianos y no abelianos, igual que hay modelos de la teoría de conjuntos (es decir, objetos a los que podemos llamar conjuntos porque cumplen los axiomas de la teoría de conjuntos igual que los grupos cumplen la definición de grupo) en los que se cumple la hipótesis del continuo y otros en los que no se cumple, igual que tienes geometrías en las que se cumple el axioma de las paralelas y geometrías en las que no se cumple, aunque en este caso podrías relacionar la geometría con la realidad física, pero en el caso de la HC, como decía antes, lo dudo más que mucho.

Si no me equivoco, hay muchos conceptos de los cardinales transfinitos, principios combinatorios y otros aspectos, que sirven con éxito o abren caminos para otros aspectos o áreas de las matemáticas, más vinculadas con su aplicación en la realidad física.

No sé en qué estás pensando concretamente, pero sigo manifestando mi mayor escepticismo en que la teoría de conjuntos abstracta tenga algo que aportar a la matemática aplicada.

La pregunta es si hay teorías que asumen axiomas distintos que “parecen” ser a la vez verdaderas. Si por ejemplo asumimos la HC como cierta y ello nos lleva a algún concepto que luego és útil para análisis matemático o geometría o cálculo, etc., que se aplica con éxito a la matemática aplicada a la realidad física. Pero si al mismo tiempo asumimos que la HC es falsa, ello nos lleva a otro concepto que luego también es útil para análisis matemático o geometría o cálculo y se aplica igualmente con éxito a la matemática aplicada a la realidad física.

Ello significaría que la realidad física en la que nos adentramos con la matemática aplicada nos “estaría insinuando” que pueden convivir varias teorías axiomáticas a la vez.

Insisto en mis dudas de que alguna vez encuentres alguna conexión, por débil que sea, entre los axiomas matemáticos más allá de ZFC y cualquier aspecto de la realidad física.

¿O es que de momento únicamente se están construyendo universos matemáticos en abstracción pura sin ninguna relación conocida con la matemática aplicada? (Tenía entendido que, en buena medida, no era así y que muchos conceptos de esta matemática más abstracta sirven para la más aplicada).

Pues yo te diría sin duda alguna que es así. No creo que ningún experto en teoría de conjuntos haya tenido jamás en consideración ninguna conexión con la matemática aplicada como guía de su trabajo.

14
Según leo, existen las siguientes dos implicaciones relativas a la hipótesis de Suslin (HS), una con el axioma de Martin (AM) y otra con el diamante de Jensen (\( \Diamond \)):

1. \( AM(\aleph_1)\longrightarrow{HS} \)

Dado que el axioma de Martin implica que \( \wedge{k}<\mathfrak{c}\;AM(k) \), si se da \( AM(\aleph_1) \), entonces significa que \( \aleph_1<\mathfrak{c} \) con lo que entonces \( \aleph_1\neq{2^{\aleph_0}} \) y no se cumple la hipótesis del continuo (HC).

En efecto, si supones AM\( (\aleph_1) \) (lo cual es consistente), entonces se cumple la hipótesis de Suslin (no existen árboles o rectas de Suslin, etc.) y no se cumple la hipótesis del continuo.

Por tanto, ¿cuál es la relación entre la hipótesis del continuo y que se cumpla la hipótesis de Suslin? Obviamente, para que se cumpla HS no puede cumplirse HC, ¿pero hay que añadir alguna condición más?

No, eso no es cierto. Se puede probar la consistencia de AM\( (\aleph_1) \), lo cual, por la implicación que citas, nos da la consistencia de HS + \( \lnot \)HC, pero eso no significa que no se pueda probar también la consistencia de HS + HC. En realidad sí que se puede probar (aunque es más complicado). Está probado en el capítulo XII de mi libro de Pruebas de Consistencia (puedes leer la primera página, donde hago un repaso de la situación y cuento un poco la historia).

Teniendo en cuenta que el incumplimiento de la hipótesis del continuo significa que puede haber uno o más cardinales entre \( \aleph_0 \) y \( 2^{\aleph_0} \), que \( AM(\aleph_1) \) implica que hay una serie de cardinales característicos del continuo entre \( \aleph_1 \) y \( \mathfrak{c} \) y que la hipótesis de Suslin afirma, entre otras cosas, que todo continuo sin extremos con la condición de cadena numerable es semejante a \( \mathbb{R} \), ¿hay alguna relación entre HS y esos cardinales característicos del continuo?

Hay muchos teoremas sobre los cardinales característicos, pero no recuerdo haber visto ninguno que los relacione con la hipótesis de Suslin. Por supuesto, eso no significa que no los haya.

2. \( \Diamond\longrightarrow{\lnot{HS}} \)

Mi libro de Teoría de Conjuntos no entra en cuestiones de consistencia más allá de implicaciones como las que citas, que reducen la consistencia de afirmaciones más complejas a la de otras más simples, por eso no verás en él referencias a la forma más natural de probar la consistencia de \( \Diamond \), que es el axioma de constructibilidad de Gödel. Gödel definió un concepto de "conjunto constructible" de modo que podemos considerar la clase \( L \) de todos los conjuntos constructibles. La idea básica es definir el conjunto \( \mathcal DX \) de las partes constructibles de un conjunto \( X \) dado como el conjunto de todos los subconjuntos de \( X \) que pueden definirse mediante una fórmula explícita que no haga referencia más que a elementos de \( X \) con parámetros en \( X \).

Por ejemplo, el conjunto de los números pares, o el conjunto de los números primos, o el conjunto de los números mayores que 10 son ejemplos de subconjuntos constructibles de \( \omega \).

Los conjuntos constructibles son los conjuntos que aparecen en la sucesión transfinita:

\( L=\emptyset,\qquad  L_{\alpha+1}=\mathcal DL_\alpha, \qquad L_\lambda =\bigcup\limits_{\delta<\lambda} L_\delta \),

es decir:

\( L=\bigcup\limits_{\alpha\in \Omega}L_\alpha \).

En suma, si comparas con la jerarquía \( V_\alpha \) tal y como aparece en la página 135 de mi libro de teoría de conjuntos, la única diferencia con la jerarquía constructible \( L_\alpha \) es que el paso de \( L_\alpha \) a \( L_{\alpha+1} \) no se hace con \( \mathcal P \) sino con \( \mathcal D \).

Pues bien: resulta que no es posible demostrar que todo conjunto es constructible, ni tampoco refutarlo, pero Gödel probó que si suponemos \( V=L \) (el axioma de constructibilidad, es decir, que todo conjunto es constructible) entonces se cumple la hipótesis generalizada del continuo y también \( \Diamond \) (luego también la existencia de rectas y árboles de Suslin, es decir, \( \lnot \)HS). En resumen:

\( V=L\rightarrow \Diamond \rightarrow \lnot \)HS.

Ésta es la forma más natural de concluir que es consistente la existencia de rectas de Suslin, es decir, demostrando la consistencia del axioma de constructibilidad.

Según el teorema de Shelah, si \( k \) es un cardinal tal que \( 2^k=k^+ \), entonces se cumple \( \Diamond_E \) para todo conjunto estacionario en \( k^+ \) tal que \( E\subset{\{\delta<k^+|cf\,\delta}\neq{cf\,k\}} \). En particular, para todo cardinal \( k>\omega \) se cumple \( \Diamond_{k^+}\Longleftrightarrow{2^k=k^+} \)

Y aquí vuelve a aparecer la hipótesis del continuo, si tomamos \( k=\aleph_0 \), o la hipótesis del continuo generalizada si tomamos \( k \) igual a cualquier cardinal infinito.

¡Ojo! No se si te das cuenta de la sutileza. Aquí no aparece ni \( \Diamond \) ni la hipótesis del continuo. Tenemos que \( \Diamond \) es \( \Diamond_{\omega_1}=\Diamond_{\omega^+} \), pero el teorema de Shelah sólo vale para cardinales \( \kappa >\omega \). En particular, el teorema de Shelah no dice nada sobre \( \Diamond \).

Por tanto, si se cumple la hipótesis del continuo (y alguna condición más?), entonces no se cumple la hipótesis de Suslin. ¿Correcto?

Si se cumple \( \Diamond \) no se cumple la hipótesis de Suslin, y \( \Diamond \) es un poco más que la hipótesis del continuo, en efecto.

Pero ello entonces significa que no todo continuo sin extremos con la condición de cadena numerable es semejante a \( \mathbb{R} \), pero sí que lo es todo conjunto totalmente ordenado sin extremos y separable. Es decir, ¿que con la hipótesis del continuo la separabilidad y la condición de cadena numerable no son lo mismo?

En general, sin ningún axioma adicional, la separabilidad y la condición de cadena numerable no son lo mismo. La separabilidad implica la condición de cadena numerable, pero al revés no es cierto, y hay ejemplos sin axiomas extra, pero en el caso de conjuntos ordenados ya no está claro: la hipótesis de Suslin afirma que en un conjunto totalmente ordenado ambas propiedades son equivalentes, y \( \lnot \)HS afirma que no lo son.

La hipótesis del continuo no dice nada al respecto, porque si supones \( \Diamond \) tienes que se cumple HC+\( \lnot \)HS, pero, como he señalado más arriba, también es consistente HC + HS.

Por otro lado, como ya hemos señalado, AM(\( \aleph_1) \) nos da la consistencia de \( \lnot \)HC + HS y también es consistente \( \lnot \)HC + \( \lnot \)HS (teorema 5.48 de mi libro de Pruebas de Consistencia).

3. Por último, respecto a la hipótesis del continuo, parece que Gödel por un lado y Cohen por otro demostraron respectivamente que la hipótesis del continuo no puede ser refutada ni probada en la teoría de conjuntos ZFC (supongo que en otras teorías tampoco).

En efecto. En cuanto a lo de "otras teorías" depende. Por ejemplo, si consideras como "otra teoría" ZFC + V=L en esa teoría puedes demostrar HC, pero tomando ZFC + AM(\( \aleph_1) \) en esa teoría puedes demostrar \( \lnot \)HC, pero esto en el fondo es trivial: si supones un axioma que implique la hipótesis del continuo o su negación, en esa teoría puedes demostrar la hipótesis del continuo o su negación, pero lo estás demostrando a partir de un principio que no es más "convincente" que la propia hipótesis del continuo.

Supongamos que descubriésemos un conjunto \( X \) tal que hubiese una función inyectiva pero no suprayectiva f tal que \( f:N\longrightarrow{X} \) siendo \( |N|=\aleph_0 \) y otra función inyectiva pero no suprayectiva g tal que \( g:X\longrightarrow{R} \) siendo \( |R|=2^{\aleph_0} \).

Supongo que quieres decir "que hubiera funciones inyectivas pero que no hubiera funciones suprayectivas", que no es exactamente lo mismo que lo que dices. Tal y como lo dices serviría \( X=N \).

Entonces tendríamos un conjunto \( X \) tal que \( \aleph_0<|X|<2^{\aleph_0} \). Pero entiendo que entonces habríamos demostrado que la hipótesis del continuo es falsa dentro de la teoría de conjuntos. Por tanto, el hecho que no podamos probar ni refutar la hipótesis del continuo dentro de la teoría de conjuntos, ¿significa que no podemos encontrar esas funciones f y g?

Claro, lo que planteas es una afirmación equivalente a \( \lnot \)HC, y el hecho de que la hipótesis del continuo no sea demostrable ni refutable en ZFC significa que no puedes demostrar ni refutar ninguna afirmación equivalente a HC o a su negación, en particular la que planteas.

¿Cuál sería la vía para probar o refutar la hipótesis del continuo? Entiendo que mediante otra teoría axiomática, ¿no? A grandes rasgos, ¿es posible intuir cómo debería ser esa teoría axiomática?

Sin entrar en sutilezas, esencialmente podemos decir que, simplemente, no es posible demostrar o refutar la hipótesis del continuo. Es posible demostrar, por ejemplo, que toda función derivable es continua, lo cual significa que puedes dar un argumento tal que cualquier matemático te aceptará sin discusión todos los pasos hasta llegar a la conclusión y, si fuera un matemático escéptico y puñetero, siempre podrías detallarle la prueba a partir de los axiomas de ZF y decirle: mi prueba se basa en esto, si tienes algo que objetar ante cualquiera de estos axiomas, dime cuál no te convence.

Sin embargo, no es posible hacer nada parecido con la hipótesis del continuo. Cualquier argumento que la demuestre o la refute deberá suponer un axioma que no está en ZFC, y cualquier matemático dirá que no tiene más motivos para creerse dicho axioma que para creerse HC o su negación, con lo que en realidad no estás demostrando nada.

Otra cosa es demostrar la \( consistencia \) de HC y \( \lnot \)HC, es decir, puedes dar argumentos que convenzan a cualquier matemático que no tenga nada que objetar a los axiomas de ZF de que, si alguien pudiera demostrar HC o \( \lnot \)HC a partir de los axiomas de ZFC, entonces sería posible demostrar que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de ZF (sin necesidad de la C). Y la prueba es completamente constructiva. En teoría, se puede programar a un ordenador para que si alguien le metiera una demostración de HC o una demostración de \( \lnot \)HC a partir de los axiomas de ZFC, el ordenador nos construiría mecánicamente una demostración de \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de ZF.

En otras palabras, se puede probar que si fuera posible demostrar HC o su negación, entonces ZF sería una teoría contradictoria, en la que podríamos demostrar tanto \( 2+2=5 \) como \( 2+2\neq 5 \) y, a partir de ahí, cualquier cosa.

Otro asunto distinto es que hay matemáticos expertos en teoría de conjuntos que discuten sobre si "en verdad" la hipótesis del continuo es verdadera o falsa, y el caso es que hay dos corrientes que afirman con la misma energía que es verdadera y que es falsa. En el fondo se basan en teorías de conjuntos muy fuertes que consideran "naturales" o "la teoría buena de verdad de la buena" que implican la hipótesis del continuo en un caso y su negación en el otro, y cada cual considera que la teoría "de verdad de la buena" es la suya y no la contraria. Por supuesto, también están los que consideran que ninguno de los dos tiene razón.

Entre los que afirman que la hipótesis del continuo es falsa está a la cabeza está Hugh Woodin, o estaba, porque ahora mismo estaba buscando referencias para lo que te iba a contar y me acabo de encontrar con esto:

https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-014-0142-8

Dice ahí que Woodin cambió de idea en 2010 y ahora afirma que la hipótesis del continuo es verdadera. El principal oponente a las teorías de Woodin ha sido Matthew Foreman, que ha argumentado que igual que Woodin argumenta en contra de HC, también se pueden dar argumentos de no menos peso a favor, pero en todo caso, lo esencial es que no son "demostraciones matemáticas", sino más bien discusiones filosóficas sobre si una teoría es más natural o menos que otras. Yo no conozco los detalles sobre los argumentos, porque se apoyan en resultados "de primera línea de investigación", muy técnicos todos ellos, pero entiendo más o menos las ideas que tratan y mi opinión es que Foreman tiene razón en sus análisis que vienen a decir que, al final, decantarse por una opción u otra no puede tener una base objetiva.


15
Pues no te acabo de seguir. Al principio yo entendía que lo que planteabas era que modificando el argumento se podría probar que en \( X \) hay una sucesión no numerable de abiertos disjuntos dos a dos, y lo que te decía es que eso no puede ser porque estamos suponiendo que \( X \) tiene la c.c.n.

Lo que me desconcierta es de que me hablas de las sucesiones \( a_\alpha, b_\alpha, c_\alpha \) que se construyen precisamente bajo esas hipótesis. Si no supones que \( X \) cumple la c.c.n. no tienes esas sucesiones.

Solamente me planteaba si con las sucesiones \( \{a_\alpha\}_{\alpha<\omega_1},\{b_\alpha\}_{\alpha<\omega_1},\{c_\alpha\}_{\alpha<\omega_1} \) y sus propiedades planteadas podría existir una sucesión como la que planteo en el espacio producto \( X\times{X} \), que implica que \( X \) ya no cumple la c.c.n.

En realidad las sucesiones que consideras no están en el producto, son tres sucesiones en \( X \), y no sé bien qué decirte. Sin duda puedes plantear que si existe una sucesión que cumple tal o cual, entonces \( X \) no cumple la c.c.n., pero no veo la relación con este teorema ni con su demostración.

Vamos, que la verdad es que no sé qué decirte porque no acabo de entender qué planteas exactamente.

16
Me refiero a que si repetimos el mismo proceso, ¿no acabamos con una sucesión de intervalos disjuntos?

Por ejemplo, si luego \( b_\gamma<a_\beta \) entonces tendríamos \( ]a_\gamma,b_\gamma[\cap{]a_\beta,b_\beta[}\cap{]a_\alpha,b_\alpha[}=\emptyset \). ¿Y no tendríamos así una sucesión de abiertos disjuntos?

La hipótesis de partida del teorema es que \( X \) es un espacio ordenado con la condición de cadena numerable no separable. Es imposible construir ahí una familia de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, porque con ello estarías demostrando que el espacio no cumple la condición de cadena numerable, con lo que la hipótesis sería contradictoria y habrías demostrado que no existen rectas de Suslin.

Si crees que puedes construir tal familia, detalla a qué familia en concreto te refieres y trata de demostrarlo, y te podré encontrar en qué punto falla tu prueba. Más no te puedo decir, porque lo que intentas demostrar no se puede demostrar, pero no puedo decirte en qué falla tu argumento salvo que lo explicites.

17
Si \( a_\alpha<b_\beta \), entonces por la propiedad 3, tenemos que \( c_\alpha\leq{b_\beta} \), luego \( ]b_\beta,c_\beta[\cap{]b_\alpha,c_\alpha[}=\emptyset \) y también son disjuntos. Es lo se expone al explicar que \( X\times{X} \) no cumple la c.c.n.

Pero con eso no estás probando que la familia de intervalos \( \left]a_\alpha, b_\alpha\right[ \) son disjuntos dos a dos. En esos intervalos intervienen los \( c_\alpha \). Lo que estás diciendo es que, o bien son disjuntos \( \left]a_\alpha, b_\alpha\right[ \) y \( \left]a_\beta, b_\beta\right[ \) (en un caso), o bien (en el otro) son disjuntos \( \left]b_\alpha, c_\alpha\right[ \) y \( \left]b_\beta,c_\beta\right[ \), que es precisamente lo que justifica que los productos de intervalos son disjuntos dos a dos, pero, si no formas productos, ¿cuál es la familia no numerable de intervalos abiertos no vacíos que afirmas que existe en \( X \)? No es ni la formada por los  \( \left]a_\alpha, b_\alpha\right[ \)  ni la formada por los \( \left]b_\alpha, c_\alpha\right[ \).

18
Pero en X, teniendo en cuenta la propiedad 3 que dice que \( ]a_\alpha,c_\alpha[\cap{\{b_\beta|\beta<\alpha\}}=\emptyset \), y suponiendo que \( b_\beta<a_\alpha \) (el otro caso sería similar) significa que \( ]a_\beta,b_\beta[\cap{]a_\alpha,b_\alpha[}=\emptyset \) y sí que serían disjuntos, no?

Si \( b_\beta<a_\alpha \) tienes que \( ]a_\beta,b_\beta[\cap{]a_\alpha,b_\alpha[}=\emptyset \), ciertamente, por la propiedad 1 y sin necesidad de la 3, pero ¿por qué dices que el otro caso sería similar? Si \( a_\alpha\leq b_\beta \) ya no puedes concluir nada.

En la segunda parte de la demostración se dice que \( D=A\cup{\{a_\alpha|\alpha<\beta}\}\cup{\{b_\alpha|\alpha<\beta}\}\cup{\{c_\alpha|\alpha<\beta}\} \) es un conjunto numerable, luego \( X\setminus{\overline{D}}\neq\emptyset \), que como es un abierto no vacío contendrá un intervalo abierto no vacío \( ]a_\alpha,c_\alpha[ \) que contiene un \( b_\alpha \) que lo divide en dos intervalos no vacíos, pero \( b_\alpha \) pertenece a D, ¿no?

Es que están mal los índices. Queremos definir \( a_\beta, b_\beta, c_\beta \). Lo que debe decir es que el abierto contendrá un intervalo \( \left]a_\beta, c_\beta\right[ \) no vacío, que a su vez contendrá un \( b_\beta \). Ahora lo arreglo.

19
En la página 357, en el teorema 9.13 se dice que si X es un espacio ordenado con la c.c.n. pero no separable, entonces \( X\times{X} \) no cumple la c.c.n.

En la demostración se define una sucesión de intervalos abiertos \( U_\alpha=]a_\alpha, b_\alpha[\times{]b_\alpha, c_\alpha[} \) que son abiertos disjuntos dos a dos.

Entonces se dice que \( X\times{X} \) no cumple la c.c.n. ¿Por qué?

Porque forman una familia no numerable de abiertos disjuntos dos a dos. Eso es justamente lo que significa no cumplir la condición de cadena numerable, ¿no?

Si es porque es una familia no numerable, ¿ello no aplicaría también entonces a los intervalos \( ]a_\alpha, b_\alpha[ \) de X y harían que X tampoco cumpliera la c.c.n.?

No, porque esos intervalos no son disjuntos dos a dos.

20
Bueno, parece que le vas cogiendo el truco. Aun así, no te confíes, que los árboles tienen muchas sutilezas.

Por concretar la clase de situaciones que describes: imagina un árbol que tiene una rama infinita de altura \( \omega \), digamos con nodos \( x_0, x_1, x_2, \ldots \), pero de \( x_0 \) sale una rama de altura \( \omega_1 \) y de \( x_1 \) sale otra rama también de altura \( \omega_1 \), y otra de \( x_2 \), etc.

Se trata de un árbol bien podado. Si vas ascendiendo por la primera rama, en cualquier momento estás a tiempo de pasarte a otra que te permita subir todo lo que quieras, pero si recorres toda la rama \( x_0, x_1, x_2, \ldots \) te encuentras con que no se puede prolongar más y te has quedado atrapado en el nivel \( \omega \).

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