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Temas - Masacroso

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Off-topic / [VIDEO] ¡Feliz natalidad!
« en: 25 Diciembre, 2021, 04:54 am »
Aprovechando la ocasión de estas fiestas, y habiendo visto un vídeo sobre filosofía que trata el significado de muchas fiestas que se celebran por estas fechas he pensado que, quizá, a alguien de este foro pudiese interesarle. Aviso, esto no tiene nada que ver con las matemáticas por lo cual es verdaderamente off-topic, aún así espero que a alguien le resulte interesante:


Por cierto, que se me olvidaba... ¡Feliz navidad!

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Foro general / Belleza fractal
« en: 14 Diciembre, 2021, 09:43 am »
Aún a riesgo de ser calificado como pesao tengo que dejar otro vídeo sobre fractales, porque es el vídeo del fractal de Mandelbrot más bonito que he visto hasta la fecha. Es un vídeo de dos horas, pero creo que sería perfectamente capaz de ver las dos horas de una tacada (éste no da sensación de vértigo, al contrario, es sumamente relajante).

Espero que os guste tanto como a mí:


Lo que tiene mérito del vídeo es el algoritmo de coloreado que ha utilizado el autor, que permite ver toda una serie de estructuras que en muchos otros vídeos parecidos no aparecen.

Añado: si tenéis vídeos de este tipo, sobre fractales, y queréis compartirlos podemos meterlos todos en este hilo y así tenerlo todo más ordenado. No sabría si dejar este hilo aquí, en foro general, en off-topic o en el área de fractales, si otro moderador/administrador lo ve conveniente que lo mueva a otro lugar.

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Foro general / Vértigo fractal
« en: 07 Diciembre, 2021, 02:40 am »
Han publicado un vídeo que hace zoom sobre el fractal de Mandelbrot muy rápidamente y a una escala final tremenda. da algo de "vértigo" ver el vídeo, de ahí el título.

AVISO: EL SIGUIENTE VÍDEO CONTIENE MUCHOS COLORES Y SE MUEVE BASTANTE RÁPIDO POR LO QUE PODRÍA CAUSAR UN ATAQUE DE EPILEPSIA A QUIENES PADECEN ESTA ENFERMEDAD.


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Enlaces sugeridos / Canal de Michael Penn
« en: 24 Octubre, 2021, 09:14 pm »
De casualidad he tropezado en youtube (bueno, más que tropezar me ha aparecido entre los vídeos sugeridos) con el canal de un profesor de matemáticas estadounidense llamado Michael Penn, y de lo poco que he visto me ha parecido muy interesante. El material es casi todo cálculo, especialmente resolución de integrales, y algo de teoría de números y de álgebra:

https://www.youtube.com/channel/UC6jM0RFkr4eSkzT5Gx0HOAw

Aunque el canal es en inglés se pueden poner subtítulos en castellano si hiciese falta.

5
He encontrado por ahí esta integral que tiene un resultado muy curioso:

\( \displaystyle{
\int_0^\infty \frac1{(1+x^\phi)^\phi}dx
} \)

donde \( \phi  \) es el número áureo. Lo dejo por aquí por si a alguien le pica la curiosidad e intenta resolverla. Conocer algunas funciones especiales ayuda.

Pista
La solución que conozco, además de las propiedades algebraicas de \( \phi  \), utiliza la funciones especiales gamma y beta.
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Segunda pista
primero hacemos el cambio de variable \( u=x^{\phi } \). Entonces, utilizando la identidad \( \phi ^{-1}=\phi -1 \), obtenemos una integral beta pero no en la forma usual sino en esta otra forma \( \mathrm{B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt \).
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Solución

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty }\frac1{(1+x^{\phi })^{\phi }}dx&=\int_{0}^\infty \frac{u^{\frac1\phi -1}}{(1+u)^{\phi }\phi }du,\quad x=u^{\frac1\phi }\\
&=\int_{0}^\infty \frac{u^{\phi -2}}{(1+u)^{\phi }\phi }du,\quad \phi ^{-1}=\phi -1\\
&=\mathrm{B}(\phi -1,1)\frac1{\phi }\\
&=\frac{\Gamma (\phi-1 )\Gamma (1)}{\Gamma (\phi )\phi }\\
&=\frac{(\phi -1)\Gamma (\phi-1 )}{(\phi -1)\phi \Gamma (\phi )}\\
&=\frac1{\phi (\phi -1)}\\
&=1
\end{align*}
} \)

En los pasos finales he utilizado la identidad funcional de la función \( \Gamma  \) dada por \( x\Gamma (x)=\Gamma (x+1) \) y la identidad \( \phi (\phi -1)=1 \). La parte más difícil quizá sea observar que \( \mathrm{B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt \). La identidad se obtiene del cambio de variable \( s=\frac1{1+t} \) en la definición clásica de la función beta \( \mathrm{B}(x,y):=\int_{0}^1 s^{x-1}(1-s)^{y-1}ds \).

Por cierto, esta integral la encontré en youtube. Es el siguiente vídeo:
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6
He encontrado un vídeo que me ha parecido muy interesante, que explica, de manera visual, por qué los llamados fractales de Newton tienen la forma que tienen, es decir, de dónde viene su complejidad. Básicamente parece ser que, para un polinomio de grado tres o más (supongo que con todas sus raíces diferentes), el fractal de Newton que genera tiene esa extraña forma debido a la imposibilidad de que todo punto de frontera de un subconjunto conexo en el plano complejo sea también frontera de otros \( n \) conjuntos conexos del plano (siendo aquí \( n \) el grado del polinomio).

Aquí está el vídeo:


Añado: aquí os dejo el enlace a la página del autor, que es el youtuber 3Blue1Brown (ampliamente conocido por sus vídeos visuales sobre geometría y otros fenómenos matemáticos), donde además del vídeo tenéis un gráfico interactivo para ver cómo se va formando el fractal dependiendo de las iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson:

https://www.3blue1brown.com/lessons/newtons-fractal

7
El otro día, mientras leía un libro de geometría riemanniana, tuve una idea para definir funciones trigonométricas generalizadas a todo tipo de cónicas. Lo expongo por si a alguien le resulta interesante.

La idea es utilizar el espacio de Minkowski \( \mathbb{R}^{2,1} \) con métrica \( \mathfrak{m}=(dx)^2+(dy)^2-(dz)^2 \) (para el sistema de coordenadas cartesiano) y una rotación como base para la construcción de tales funciones trigonométricas.

El espacio de Minkowski \( \mathbb{R}^{2,1} \) no es más que \( \mathbb{R}^3 \) pero con un producto interior diferente, que se denomina producto escalar en este caso porque no cumple los axiomas que se le exigen a un producto interior, que se define como \( \langle z,w \rangle:=z_1w_1+z_2w_2-z_3w_3  \) para vectores cualesquiera \( z=(z_1,z_2,z_3),\, w=(w_1,w_2,w_3) \) (en coordenadas cartesianas) del fibrado tangente de \( \mathbb{R}^3 \).

Vamos al lío. Definimos

\( \displaystyle{
P:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z=1\},\quad C:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2=z^2\,\land\, z\geqslant 0\}\\
\operatorname{rot}_\alpha :\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,\quad  (x,y,z)\mapsto (x\cos \alpha-z\operatorname{sen}\alpha ,y,x\operatorname{sen}\alpha +z\cos  \alpha)\\
g_\alpha :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3,\quad  (x,y)\mapsto \operatorname{rot}_\alpha (x,y,1)\\
C_\alpha :=g^{-1}_{\alpha }(C\cap \operatorname{rot}_\alpha (P))
} \)

La idea es la siguiente: \( P \) es un plano y \( C \) un cono. La función \( \operatorname{rot}_\alpha  \) es una rotación sobre el eje \( Y \), la cual se puede representar matricialmente (respecto a la base estándar en \( \mathbb{R}^3 \)) como

\( \displaystyle{
[\operatorname{rot}_\alpha ]=\begin{bmatrix}
\cos \alpha &0&-\operatorname{sen}\alpha \\0&1&0\\ \operatorname{sen}\alpha &0&\cos \alpha
\end{bmatrix}
} \)

Luego \( C_\alpha  \) son figuras cónicas representadas sobre \( \mathbb{R}^2 \), son justamente las curvas generadas de la intersección de \( C \) con una rotación del plano \( P \), que a través de \( g^{-1}_\alpha  \) las representamos como curvas en \( \mathbb{R}^2 \).

La idea de las funciones trigonométricas es la siguiente: el producto escalar varía dependiendo de la rotación, es decir, a cada plano sobre la que aparece cada cónica se le asocia el producto escalar inducido por \( \mathfrak{m} \). En coordenadas locales, es decir, sobre \( \mathbb{R}^2 \) el producto escalar toma la forma

\( \displaystyle{
g_{\alpha }^* \mathfrak{m}=(dy)^2+(\cos ^2 \alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )(dx)^2
} \)

lo que significa que

\( \displaystyle{
\langle (a,b),(c,d) \rangle =cd+ (\cos ^2 \alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )ab
} \)

para cualesquiera vectores \( (a,b),\, (c,d) \) del fibrado tangente de \( C_{\alpha } \).

Usando ese producto escalar y un punto de referencia de la curva que esté sobre el eje \( X \), al que denominaremos \( O_\alpha  \), entonces si asociamos a cada punto de la cónica \( p\in C_\alpha  \) la longitud de arco necesaria para llegar a él desde el punto de referencia \( O_\alpha  \) (longitud de arco a la que podemos dotar de signo dependiendo de la dirección en la que recorremos la cónica desde \( O_\alpha  \) y que denominaremos \( \ell _p \)) entonces tenemos una función \( \mathbb{R}\ni \ell_p \mapsto  p=(p_1,p_2)\in \mathbb{R}^2 \) y podemos definir

\( \displaystyle{
\operatorname{trig}_{1,\alpha }(\ell _p):=p_1,\quad \operatorname{trig}_{2,\alpha }(\ell _p):=p_2
} \)

En el caso de \( \alpha =0 \) tenemos que \( \operatorname{trig}_{1,0}(\ell _p)=\cos (\ell _p) \) y \( \operatorname{trig}_{2,0}(\ell _p)=\operatorname{sen} (\ell _p) \), con \( O_0=(0,1) \), ya que la parametrización \( t\mapsto (\cos t,\operatorname{sen}t) \) es por longitud de arco en su producto escalar correspondiente. Algo parecido ocurre con la rama de hipérbola \( C_{\pi/2} \) con \( O_{\pi/2}=(0,1) \), en este caso tenemos que \( \operatorname{trig}_{1,\pi/2}(\ell _p)=\cosh (\ell _p) \) y \( \operatorname{trig}_{2,\pi/2}(\ell _p)=\operatorname{senh} (\ell _p) \) ya que la parametrización \( t\mapsto (\cosh t,\operatorname{senh} t) \) es por longitud de arco (en el producto escalar correspondiente).

Así este modelo nos permite definir unas funciones trigonométricas en la parábola \( C_{\pi/4} \), con \( O_{\pi/4}=(0,0) \), ya que en este caso tenemos que \( t\mapsto (t^2/2,t) \) es una parametrización por longitud de arco, dejando entonces el coseno y seno parabólico como \( \operatorname{cosp} t:=t^2/2 \) y \( \operatorname{senp} t:=t \).

Por último decir que estas funciones trigonométricas generalizadas son solución a la ecuación diferencial dada por

\( \displaystyle{
(\operatorname{trig}_{2,\alpha }')^2+(\cos ^2\alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )(\operatorname{trig}_{1,\alpha }')^2=1
} \)

No sé si servirá para algo, pero me he entretenido un rato con esta tontuna  :laugh:

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Enlaces sugeridos / Breve serie sobre redes neuronales
« en: 25 Agosto, 2021, 12:28 am »
He encontrado una breve serie de cuatro vídeos en el canal de matemáticas de 3Blue1Brown en youtube sobre redes neuronales. Me ha parecido muy didáctico e interesante. Dejo el enlace a la serie para quien esté interesado en una breve exposición al tema:

https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDNU6R1_67000Dx_ZCJB-3pi

Son cuatro vídeos de entre media hora y diez minutos cada uno. El audio está en inglés pero se pueden poner subtítulos en castellano.


9
Leyendo un libro sobre álgebra exterior y otros tipos de álgebras "similares" vi unos pasajes que me dieron algunas ideas, y es que si tenemos un espacio vectorial \( V \) de dimensión \( n \) entonces si \( \omega \in \bigwedge^k V^* \) entonces esta forma multilineal antisimétrica induce un funcional lineal en \( \bigwedge^k V \), es decir que \( \omega(x_1,\ldots ,x_k) \) puede entenderse como un funcional lineal \( \omega(x_1\wedge x_2\wedge \ldots \wedge x_k) \).

Entonces si tenemos una carta \( (\varphi ,U) \) en una variedad diferencial \( M \) de dimensión \( n \), una forma de entender la integral de una forma diferencial es como una "función de densidad" que a cada vector-volumen \( x\in \bigwedge^n TM \) le asigna un valor escalar. Entonces al ser \( \frac{\partial}{\partial \varphi ^1},\ldots ,\frac{\partial}{\partial \varphi ^n}  \) un frame local en \( TM \) la integral \( \int_U \omega=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega   \) puede entenderse como la "suma" de los valores \( \omega(\frac{\partial}{\partial \varphi ^1}\wedge \frac{\partial}{\partial \varphi ^2}\wedge  \ldots \wedge \frac{\partial}{\partial \varphi ^n}) \), lo cual es muy intuitivo siempre que entendamos \( \frac{\partial}{\partial \varphi ^1}\wedge \frac{\partial}{\partial \varphi ^2}\wedge  \ldots \wedge \frac{\partial}{\partial \varphi ^n} \) como una noción de vector-volumen en \( \bigwedge^n TM \).

¿Os parece esta forma de entender la integración de formas diferenciales suficientemente correcta? Lo pregunto porque no lo he visto en ninguna parte.

Corrección: la notación \( \partial \varphi _k \) no es correcta, lo que quería en verdad decir es \( \frac{\partial}{\partial \varphi ^k} \), es decir, el frame en \( TM \) inducido por el sistema de coordenadas \( \varphi =(\varphi _1,\ldots ,\varphi _n) \).

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Los últimos vídeos del canal del divulgador Javier Santaolalla me han gustado mucho por lo que me siento impelido a compartir los enlaces por si a alguien le interesa el tema. Bueno, en verdad el protagonista de los vídeos es un profesor de física, también divulgador, llamado José Edelstein, cuya especialidad es la teoría de cuerdas. En estos vídeos expone brevemente la historia de tal teoría, desde sus orígenes en la década de los 70 del siglo pasado hasta los avances actuales que "culminan" con la conjetura de Maldacena formulada en 1997.

Bien, aunque no se especifica mucho pareciera que la conjetura de Maldacena es la supuesta identidad entre dos modelos simplificados de la teoría de cuerdas, uno con una dimensión más y gravedad, y el otro con una dimensión menor y sin gravedad. En el siguiente enlace pueden ver los vídeos por si les interesa:

https://youtube.com/playlist?list=PL4i0d8i6gL3JJAQOhx1f1lqZsjV9QXo6s

Esta noche, a las 21:21, entrevistan al propio Maldacena en el mismo canal de youtube.

P.D.: no sabía si poner el tema en el subforo de física o en el general, al final me he decidido por este último al ser un tema más bien de divulgación más que de problemas de física. Pero si creen que mejor en el de física pueden moverlo allí.

11
He encontrado este curioso ejercicio en un libro de análisis complejo, y dice así: supongamos que tenemos el siguiente subconjunto del plano complejo



Si extendemos analíticamente la función logaritmo en tal subconjunto, empezando desde \( \log 1=0 \), ¿cuál es el valor de \( \log(3i) \)?

En spoiler lo que entiendo es la solución:

Spoiler
La analiticidad depende de la función argumento, y como ésta debe ser continua entonces el valor del argumento se incrementa a través del subconjunto conforme vamos girando, así que supongo que \( \log(3i)=\log 3+ i(4\pi+\pi/2) \), es decir, damos dos vueltas y cuarto, de ahí el valor del argumento.
[cerrar]

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Off-topic / Wolfram, epistemología y Javier Santaolalla
« en: 05 Diciembre, 2020, 04:08 am »
Buenas, el penúltimo vídeo de Javier Santaolalla me ha parecido más interesante de lo normal. En él expone una de las ideas de Wolfram y, lo que es más interesante, abre un debate histórico y epistemológico sobre el desarrollo de la ciencia. Dejo el vídeo en cuestión:


Vosotros que pensáis, ¿está la física en un callejón sin salida? ¿Y las matemáticas? Me refiero a que no parece que haya mucho avance en física, y en matemáticas desde luego no hay el mismo avance que hubo en los dos siglos anteriores. ¿Hay estancamiento? A mí me parece que sí, que bastante, en comparación a los dos últimos siglos. Claro que, se podría pensar, que los dos últimos siglos fueron excepcionales, en parte debido a la revolución industrial. Abro debate.

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Probabilidad / ¿El tiempo estimado de llegada es el demonio?
« en: 22 Noviembre, 2020, 09:02 am »
Hay un problema de probabilidad, que se me ocurrió hace unos días, que me trae de cabeza, no llega a producirme pesadillas pero casi  ::). Sea \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) una sucesión de variables aleatorias, idénticamente distribuidas e independientes, con distribución uniforme en \( [-1,1] \), si definimos \( S_n:=\sum_{k=1}^n X_k \) entonces la sucesión \( \{S_n\}_{n\in \mathbb N} \) define un camino aleatorio, discreto en el tiempo pero continuo en el espacio. Dado un \( s>0 \) definimos el tiempo de llegada \( T:=\min\{n: S_n>s\} \).

Ahora, lo que me trae de cabeza es que no veo forma sencilla de hallar, aunque sea de manera asintótica, con una serie o una sucesión, el tiempo medio de llegada, es decir \( \operatorname{E}[T] \). He leído en algunos libros que si los \( X_k \) tuviesen distribución de Rademacher en vez de uniforme (es decir, de Bernoulli con misma probabilidad de alcanzar uno o menos uno) entonces el tiempo estimado de llegada es infinito para \( s=1 \), sin embargo en el caso que quiero tratar las simulaciones por ordenador parecen mostrar que es finito y distinto de cero cuando \( s=1 \), y es aproximadamente \( 5,3 \). A todo lo que he llegado, de momento, es a hacer el siguiente planteamiento teórico

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[T]=\sum_{k\geqslant 0}\Pr [T>k]=\sum_{k\geqslant 0}\Pr \left[\bigcap_{j=1}^kS_{j}\leqslant s\right]=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k \Pr [S_{j}\leqslant s|S_{j-1}\leqslant s]\\
=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k\int_{(-\infty ,s]} \Pr [S_j\leqslant s|S_{j-1}=x]\mathop{}\!d F_{S_{j-1}}(x)=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k\int_{(-\infty ,s]} \Pr [X_j\leqslant s-x]\mathop{}\!d F_{S_{j-1}}(x)
} \)

donde debe entenderse que \( \int_{(-\infty ,s]}\Pr [X_1\leqslant s-x] \mathop{}\!dF_{S_0}(x)=\Pr [X_1\leqslant s]  \). La distribución de cada \( S_n \) es una convolución y adopta una forma bastante fea su densidad, es una variación de la densidad de las distribuciones de Irvin-Hall.

Dejo esto por si a alguien más le atrae el problema, quiere aportar algo o meterle mano.



Añado: se me acaba de ocurrir otra idea, y es ver computacionalmente qué forma adopta la distribución de \( T \), y ver si se ajusta mucho a una distribución conocida, lo cual me puede dar pistas para ver si hay alguna manera de calcular analíticamente el tiempo medio de llegada.



Corrección: hay un error en la aproximación computacional que había realizado, ésta era para el tiempo de llegada dado por \( T:=\min\{n:|S_n|>1\} \). Luego miro a ver si con \( T:=\min\{n:S_n>1\} \) la aproximación computacional converge a algo o, si por el contrario, diverge a infinito.

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He visto un ejercicio chorra de probabilidad en MSE que me ha parecido interesante, lo comparto por si alguien quiere intentarlo, es aplicación del teorema de Bayes y "algo más" :). Dice así:

Supongamos que tenemos un generador de bits aleatorios con probabilidad \( p\in(0,1) \) conocida de que salga uno (y probabilidad \( 1-p \) de que salga cero). Se considera que el generador está roto si sólo produce unos. Ahora la pregunta del millón: dado un \( \epsilon >0 \) arbitrario, ¿cuál es la cantidad mínima de unos seguidos que deben producirse para considerar que la probabilidad de que el generador no esté roto sea menor a \( \epsilon  \)?

15
Traigo una pregunta que vi esta mañana en MSE y me ha dejado "en shock", al plantear algo imposible pero que, al menos a mí, me resulta difícil dilucidar sus causas. Dice así:

Sea \( \{X_n\} \) una sucesión de variables aleatorias con varianza finita e idénticamente distribuidas bajo la medida de probabilidad \( P \). Entonces una de las versiones de la ley fuerte de los grandes números nos dice que "la media muestral" \( \bar X_n:=\tfrac1n\sum_{k=1}^nX_k \) converge hacia la "media teórica" \( \mathrm{E}_P[X_1] \) casi seguro.

Ahora viene el intríngulis: si tenemos otra medida de probabilidad \( Q \) que es equivalente a \( P \) como medida, es decir que un conjunto medible es nulo solo si lo es para ambas medidas a la vez, y que \( f:=\frac{\mathop{}\!d Q}{\mathop{}\!d P}\in L^2(P) \), entonces tenemos que \( \bar X_n \) también converge casi seguro a la media \( \mathrm{E}_Q[X_1] \), definida por la medida \( Q \).

Hay un error oculto (o no tanto para miradas audaces ;)) en el planteamiento de arriba, la posible solución (aunque sin demostración) esgrimida en MSE abajo en spoiler:

Spoiler
Notar que \( \mathrm{E}_P[X_1]=\mathrm{E}_Q[X_1] \) no es cierto en general, como puede comprobarse fácilmente tomando por ejemplo la medida de Lebesgue en \( [0,1] \) y la medida equivalente \( 2x\mathop{}\!d x  \) y una variable aleatoria como \( X(t):=t \) en ese espacio de probabilidad. El error parece estar en asumir que, bajo otra medida equivalente \( Q \), la sucesión \( \{X_n\} \) sigue siendo independiente e idénticamente distribuida.
[cerrar]

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Probabilidad / Límite de una sucesión de probabilidades
« en: 20 Septiembre, 2020, 10:37 am »
Me he encontrado un problema que no sé si tiene fácil solución o si es resoluble. Dice así: supongamos que tiramos un dado un número infinito de veces y llamamos \( p_n \) a la probabilidad de que \( n \) aparezca en la sucesión de sumas parciales de haber tirado los dados. ¿Es posible hallar el valor de \( \lim_{n\to\infty}p_n \)?

Ojo que no sé si esto es resoluble más allá de una aproximación numérica. Lo dejo aquí por si alguien sabe cómo resolverlo o al menos decir si la solución es finita y desconocida.

Sé como calcular los valores de \( p_n \) pero es bastante aparatoso y no aclara nada, es decir, no es fácil de ver si la sucesión de \( p_n \) converge a algo.

17
Foro general / El teorema de las disecciones de Dudney
« en: 14 Septiembre, 2020, 10:52 pm »
Os dejo este vídeo que han subido hoy a uno de mis canales de youtube favoritos de matemáticas, seguro os gustará:


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Dudas y sugerencias del foro / El operador \sen no funciona del todo bien
« en: 03 Septiembre, 2020, 02:50 am »
Pues eso: he observado que si escribimos \sen x se representa como \( \sen x \), es decir, no hay espacio entre la n y la x porque quizá haya sido definida como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\rm sen}
o

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\text{sen}}
o alguna otra cosa semejante. La forma más sencilla y adecuada de definir la función seno sería con algo como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}
Con ese comando los espacios entre el nombre de la función y otros elementos es el adecuado. La definición actual debe estar en el archivo de configuración de mathjax de la página web, si no me equivoco.

19
Off-topic / Una forma "paradójica" de concretizar lo abstracto
« en: 12 Agosto, 2020, 03:19 pm »
He descubierto una cosa muy curiosa que desconocía por completo sobre las abstracciones, y es que éstas, en cierta manera, siempre son relativas. Vamos a los detalles, que aquí lo son todo: resulta que me he puesto a estudiar (de nuevo) álgebra abstracta (todo esto a raíz de que me molestaba bastante el no tener un entendimiento suficientemente "intuitivo" del álgebra exterior, es decir, en particular de las razones por las que la noción de volumen está relacionada con un mapa multilineal antisimétrico, las intuiciones y explicaciones habituales sobre este tema me son insuficientes), pero ya había estudiado álgebra abstracta hace años, lo que pasa es que siempre he tendido a olvidarla a pesar de hacer muchas demostraciones y ejercicios, y la razón de esta tendencia es que es demasiado poco intuitiva, demasiado formal y poco visual. En definitiva: demasiado abstracta (como su propio nombre indica).

Pero esta vez para su estudio decidí escoger un camino menos tradicional y me he puesto con el libro de Paolo Aluffi que enseña esta disciplina desde un punto de vista esencialmente categorial. Mi sorpresa es que, si bien al principio tuve que esforzarme hasta que entendí bien el tema de las categorías (al menos en lo básico), después de eso el álgebra abstracta dejó de ser tan abstracta por lo que mi capacidad de entendimiento aumentó notablemente.

Y aquí viene la cuestión del tema: dejó de ser abstracta (o perdió gran parte de su abstracción) precisamente por estudiarla desde un contexto mucho más abstracto aún como es la teoría de las categorías. Y he aquí mi descubrimiento: la abstracción de algo es una percepción relativa a un contexto, como no podía ser de otro modo, que aunque parezca una perogrullada no es algo evidente en inicio, o al menos no para mí. Por tanto hay varias maneras de concretizar un tema: uno es dando ejemplos concretos, para tener una idea de a qué se refiere aquél objeto abstracto del que se habla (dar casos particulares), y la otra manera es dotar a una materia abstracta de un contexto mucho más abstracto aún, de tal forma que las abstracciones primeras aparezcan como concreciones o casos particulares de las segundas.

En definitiva vuelvo a descubrir (como ya comenté en otros hilos anteriormente) que para mí el entender algo se reduce a tener un buen contexto sobre el objeto de estudio: de poco me sirve estudiar algo poco contextualizado, o me rinde muchísimo menos, lo que no sabía es que se puede concretizar lo abstracto mirando desde más arriba, como es el caso que relato en este hilo.

Bueno, eso es lo que quería compartir, espero que a alguien le resulte útil o interesante. Cualquier queja sobre el asunto que hablen antes con mi abogado  :P

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Tengo una idea para mejorar la velocidad de carga de la web, lo cual sería interesante para aquellos que suelen postear desde el móvil. La idea es bastante simple, y es dar la opción en las preferencias del foro de utilizar KaTeX como renderizador de las fórmulas de LaTeX en vez de MathJaX:

https://katex.org/

El renderizado en KaTeX es muchísimo más rápido que en MathJaX (como poco cuatro veces más rápido).

Dicho esto habría algunos inconvenientes ya que KaTeX no soporta todas las construcciones de MathJaX pero sí la inmensa mayoría de ellas. Aparte de eso habría que parchear manualmente el plugin de KaTeX para que adapte algunas (muy pocas en verdad) de los comandos que utiliza y hacer las expresiones de LaTeX ya escritas compatibles con KaTeX, me explico, en KaTeX se utiliza "aligned" en vez de "align*" para construir ecuaciones alineadas, que yo sepa aligned no existe en MathJaX ni align* en KaTeX pero hacen básicamente lo mismo.

Para el uso común que se hace de MathJaX en este foro apenas se notaría la diferencia.



EDICIÓN: añado un enlace donde se puede ver una comparativa en velocidad de renderizado entre KaTeX, MathJaX 2.7 y MathJaX 3.0:

https://www.intmath.com/cg5/katex-mathjax-comparison.php

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