[Francolino]

Hola, tengo el siguiente problema:

El área limitada por la mitad de un arco de la cicloide \( \alpha(t) = (R(t − \sin(t)), R(1 - \cos(t))) \), donde \( R > 0 \) y \( 0 \leq t \leq \pi \), y el eje x corresponde a:

He intentado aplicar el teorema de Green.

Para esto he considero el campo \( F=(0,x) \)

\[ \int_0^\pi \left \langle F(\alpha(t)),\alpha'(t) \right \rangle dt = \int_0^\pi \left \langle (0,R(t-sin t)),(R(1-\cos t), R\sin t) \right \rangle dt = \int_0^\pi R(t-\sin t)) R\sin t \; dt = R^2\pi/2 \]

Y la última integral la he verificado con Wolfram.

Sin embargo, no llego al resultado correcto. Esto me hace replantearme si estoy comprendiendo bien el tema. Agradecería si me pudieran indicar el error.

Saludos.

[Gustavo]

Hola. Lo que pasa es que no has parametrizado toda la frontera de la región, sólo el segmento de la cicloide.

[Francolino]

Hola. Lo que pasa es que no has parametrizado toda la frontera de la región, sólo el segmento de la cicloide.

Hola Gustavo y gracias por responder.

Es cierto que se me había olvidado parametrizar el segmento del eje Ox, sin embargo, ahora intenté calcularla y me da 0. Lo que hice fue lo siguiente.

El segmento del eje Ox que recorre la cicloide es la proyección sobre dicho eje de la curva \( \alpha \), por lo que el intervalo recorrido debería ser: \( I=[0,R\pi] \). La parametrización que elijo es la siguiente: \( \beta(t)=(Rt,0), \; t[0,\pi] \).

Pero luego, al considerar el mismo campo \( F=(0,x) \):

\[ \int_0^\pi \left \langle F(\beta(t)),\beta'(t)  \right \rangle dt = \int_0^\pi \left \langle (0,Rt),(R,0) \right \rangle dt = 0 \]

¿En qué estoy errando?

Saludos.

[Gustavo]

Ahora tienes dos de tres segmentos. Te falta el que conecta los puntos \( \alpha(\pi) \) y \( (R\pi,0) \). También ten en cuenta el signo si recorres la frontera en el sentido de las manecillas del reloj.

[Francolino]

Hola Gustavo y gracias por responder.

Ahora tienes dos de tres segmentos.

Tienes razón. 

Subo un archivo con el diagrama de las parametrizaciones de la curva.

 [attachment id=0 msg=456545]

En este caso debo parametrizar \( \gamma(t)=(0,2Rt), \; t\in[0,1] \).

\[ \int_0^\pi \left \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int_0^{\pi} \left \langle (0,0), \gamma'(t) \right \rangle dt = 0 \]

Pero me vuelve a dar 0. ¿Me falta integrar sobre otra parametrización?

PD: El \( \alpha \) está siendo recorrido en sentido opuesto por lo que el valor de la integral lo debo multiplicar por \( -1 \).

Saludos.

[Gustavo]

Hola. Tienes un error en la primera coordenada de \( \gamma \) y en los límites de la integral. Sería \( \gamma(t)=(R\pi,2Rt)   \) para \( t\in [0,1] \), así que

\[
\displaystyle \int_0^1 \left\langle F(\gamma(t) ) ,\gamma'(t) \right\rangle dt = \int_0^1 \left\langle (0,R\pi),(0,2R)   \right\rangle dt = 2R^2\pi.
\]

[Francolino]

Toda la razón Gustavo, muchas gracias por estar atento. 

Al ser mis primeros pasos con Green estaba sugestionado a que el error viniera por otro lado pero nunca me había percatado de verificar la hipótesis de curva cerrada, a su vez, tampoco sabía cómo era gráficamente la cicloide. Pero con tu ayuda he podido llegar a la respuesta correcta. Muchas gracias.

Saludos.