El tema ha sido movido a Cálculo de Varias Variables.

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Hola

 ¡Felíz día de Pi!.

 Como curiosidad en la calculadora de google que se activa si se pone en el buscador cualquier cuenta, hoy aparece una pestañita con el símbolo de Pi, que abre un minijuego para memorizar cifras del famoso número.

Saludos.

El tema ha sido movido a Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales).

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Hola

 A raíz de este hilo, donde varios opositores quieren saber la probabilidad de que en una oposición pregunten los temas que uno ha estudiado, he elaborado este gráfico interactivo que facilita el cálculo.

 - Total (t): son los temas totales que entran en la oposición.
 - Sacan (s) : es el número de temas que proponen en el examen.
 - Elijo (e): es el número de temas que tenemos que elegir entre los propuestos.
 - Estudio (n): es el número de temas que preparamos.


La probabilidad de que puedas elegir los temas que has estudiado es:

\( p=\displaystyle\sum_{k=e}^s{}\dfrac{\displaystyle\binom{n}{k}\binom{t-n}{s-k}}{\displaystyle\binom{t}{s}} \)

Saludos.

El tema ha sido movido a Geometría y Topología.

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El tema ha sido movido a Estructuras algebraicas.

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El tema ha sido movido a Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes).

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El tema ha sido movido a Temas de Física.

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Este problema se planteó en una clase de Bachillerato.

Se trata de estudiar la probabilidad de que dos hermanos sean varones, en dos circunstancias:

1) Sabemos que uno de ellos se llama Pedro y es varón. Probabilidad de que sean los dos varones.

2) Sabemos además que Pedro es el mayor. Probabilidad de que sean los dos varones.

Solución del profesor:

\( A=\{\text{los dos hermanos son varones}\},\qquad P(A)=1/4 \) porque ser varón tiene probabilidad \( 1/2 \) y el sexo de cada hermano es independiente del otro.

\( B=\{\text{uno de ellos es varón}\} \), \( P(B)=3/4 \) (porque las opciones son \( vv,vm,mv \) cada una con probabilidad \( 1/4 \), siendo v=varón, m=mujer)

\( C=\{\text{el mayor es varón}\} \), \( P(C)=2/4=1/2 \) (porque las opciones son \( vv,vm \) cada una con probabilidad \( 1/4 \), siendo v=varón, m=mujer y escritos por orden de nacimiento)

1) Nos piden \( P(A|B) \):

\( P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)}{P(B)}=\dfrac{1/4}{3/4}=\dfrac{1}{3} \)

2) Nos piden \( P(A|C) \):

\( P(A|C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{P(A)}{P(C)}=\dfrac{1/4}{1/2}=\dfrac{1}{2} \)

Pero unos alumnos se preguntaron que estaba mal en lo siguiente.

Bajo el supuesto de que sabemos que al menos uno es varón y se llama Pedro:

- Según hemos visto en (2):

 \( P(\text{los dos son varones}|\text{Pedro es el mayor})=\dfrac{1}{2} \)

 análogamente tendrá que ser:

 \( P(\text{los dos son varones}|\text{Pedro es el menor})=\dfrac{1}{2} \)

 Ahora Pedro tiene la misma probabilidad de ser el mayor que el menor y o es una cosa o es la otra. Por tanto:

\( P(\text{Pedro es el mayor})=P(\text{Pedro es el menor})=1/2 \)

 Entonces por el Teorema de las Probabilidad Totales (o haciendo un diagrama en árbol, que es como lo expusieron los alumnos):

\( P(\text{los dos son varones})=P(\text{los dos son varones}|\text{Pedro es el mayor})\cdot P(\text{Pedro es el mayor})+ \)
\( \qquad \qquad \qquad \qquad+P(\text{los dos son varones}|\text{Pedro es el menor})P(\text{Pedro es el menor})= \)
\( \qquad \qquad \qquad \qquad=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/2 \)

¡Lo cuál choca con lo obtenido en el primer apartado!.

¿Dónde está el fallo?.

Saludos.

P.D. Me plantearon a mi esta cuestión y yo hice mi análisis; pero antes de exponerlo aquí me gustaría conocer otras opiniones.

El tema ha sido movido a Teorema de Fermat.

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