Hola a todos, teniendo el siguiente conjunto: \( U=\{ {a_n} \in{l^2(\mathbb{R})}: a_{2i-1}=-a_2i\} \) debo buscar un subconjunto cerrado, acotado y con infinitos puntos aislados. Quería saber si lo que tengo hasta ahora está bien, y me faltaría probar que es cerrado.
Propongo este \( V = \{ (1, -1, 0, 0, 0,\ldots), (0,0, 1, -1, 0, 0,\ldots), \ldots \} \)
Por un lado, es trivial que \( V\subseteq{U} \)
Por otro, también es acotado ya que la norma de cada elemento es \( \sqrt[ ]{1+(-1)^2} = \sqrt[ ]{2} \leq{2} \)
Para verificar que tiene infinitos puntos aislados tomo \( x\in{V} \) y considero \( B_r (x) \) una bola de centro x y radio r. Quiero algún radio tal que la intersección de la bola con el conjunto V sea únicamente el punto x. O sea, propongo un radio menor a la distancia entre dos elementos cualesquiera del conjunto.
\( d(x,y) = \sqrt[ ]{\sum_{i=0}^{\infty}\left |{x_i-y_i}\right |^2} = \sqrt[ ]{(1+(-1)^2+1+(-1)^2} = \sqrt[ ]{4} = 2 \)
Es decir que si \( r=2 \Rightarrow{} B_r (x) \cap{V} =\emptyset \Rightarrow{} \) V tiene infinitos puntos aislados. Está bien el razonamiento??
Ahora me faltaría ver que es cerrado. Para eso pensé en probar que el complemento de V es abierto. Pero no logro conseguirlo. O sea, tomar un punto aleatorio en el exterior del conjunto y ver que toda bola está totalmente contenida en él... Agradezco respuesta!
