Hola, queria saber si esta prueba está bien.
Sea \( x\geq 0 \). Entonces para todo \( n\in \mathbb{N} \) existe un número decimal finito \( r_n=a_0, a_1a_2\cdots a_n \) tal que \( r_n\leq x<r_n+ \cfrac{1}{10^n} \)
En efecto:
Definimos el conjunto \( S=\{q\in \mathbb{Z} : 0\leq q\leq x\}. \) Se tiene que \( S\neq \emptyset \) pues \( 0\in S \), además \( S \) es acotado superiormente, por tanto existe \( a_0=\sup S \), luego \( 0\leq a_0\leq x \). En efecto; si fuese \( a_0>x \), para \( \epsilon=a_0-x>0 \) entonces debe existir \( q\in S \) tal que \( a_0-\epsilon>q \). Si tomamos \( x=a_0-\epsilon \) se obtendría que \( x<q\leq x \) pues \( q\in S \) y se llega a un absurdo. Como \( 0\leq a_0\leq x \) resulta que \( a_0\in S \) y \( a_0\in \mathbb{Z} \) pues \( a_0 \) es máximo de un conjunto finito de enteros. Escribimos \( a_0=[x] \), máximo entero de \( x \).Tenemos \( a_0\leq x\leq a_0+1 \). Sea \( a_1=[10x-10a_0] \), entero de \( 10x-10a_0 \) resulta \( 0\leq 10x-10a_0=10(x-a_0)<10 \), entonces \( 0\leq a_1\leq 9. \)
De otro lado,
\( a_1\leq 10x-10a_0<a_1+1 \)
\( \cfrac{a_1}{10}\leq x-a_0<\cfrac{a_1+1}{10} \)
\( a_0+\cfrac{a_1}{10}\leq x<\cfrac{a_1+1}{10}+a_0. \)
Es decir \( a_1 \) es el mayor entero que satisface la desigualdad inmediata anterior.
Tomemos
\( a_2=[10^2(x-a_0-\cfrac{a_1}{10})] \)
entonces
\( \cfrac{a_2}{10^2}\leq x-a_0-\cfrac{a_1}{10}<\cfrac{a_2+1}{10^2}. \)
En general, habiendo elegido \( a_1, a_2,\cdots a_{n-1} \), con \( 0\leq a_j\leq 9 \).
Sea \( a_n \) el mayor entero que satisface
\( a_0+\cfrac{a_1}{10}+\cdots +\cfrac{a_n}{10^n}\leq x<a_0+\cfrac{a_1}{10}+\cdots +\cfrac{a_n+1}{10^n} \)
así \( r_n\leq x<r_n+\cfrac{1}{10} \)
donde \( r_n=a_0,a_1a_2\cdots a_n. \).
