[franma]

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( \mu \) una medida de Borel en un espacio metrico \( (X, d) \) que cumple que para toda bola de radio finito \( B \) se cumple que \( \mu(B) < \infty \). Mostrar que entonces, para todo Boreliano \( E \subset X \) y \( \epsilon > 0 \) se cumple que existe \( F \subset E \) cerrado y \( E\subset O \) abierto tal que \( \mu(O \setminus F) < \epsilon \).
Sugerencia: Mostrar que los conjuntos que verifican la propiedad son una \( \sigma \)-algebra

Si llamo \( \mathcal{A} \) a la familia de conjuntos que verifican la propiedad, es fácil ver que si \( E\in \mathcal{A} \) entonces \( E^c\in\mathcal{A} \).
Estoy teniendo problemas con probar que la unión numerable de elementos de \( \mathcal{A} \) es un elemento de \( \mathcal{A} \) y también tengo problemas para probar que \( \mathcal{A} \) contiene a los abiertos. ¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.

[lindeloff]

Hola, y si al momento de la unión, intentas fijar un \( \epsilon>0 \) como objetivo para probar con la propiedad de la unión y luego usas para cada \( E_{n} \) un \( \dfrac{\epsilon}{2^n} \)  y ahí no tendrás problema con la sumatoria.

Si te da problema la unión intenta dividir primero en el caso que sea una unión de conjuntos encajados del estilo \( E_{n}\subset E_{n+1} \) y luego ver como hacer el caso general

Cierto, la unión infinita de cerrados no necesariamente es cerrada pero puedes usar la adherencia de la unión.

[franma]

Hola lindeloff ,

A ver, sean \( \{E_n\}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{A} \), para cada \( n \) sean \( F_n\subset E_n\subset O_n \) de forma tal que \( \mu(F_n \setminus O_n)< \epsilon/2^n \) donde \( F_n \) cerrado y \( O_n \) abierto para todo \( n \).

Ahora, tenemos que \( \cup_{n=1}^\infty F_n \subset \cup_{n=1}^\infty E_n \subset \cup_{n=1}^\infty O_n \), como \( \cup_{n=1}^\infty O_n \) ya es abierto, entonces no hay que preocuparnos por eso. El problema con tomar clausura es que me quedaría \( \overline{\cup_{n=1}^\infty F_n} \subset \overline{\cup_{n=1}^\infty E_n } \)  Y eso no supe como solucionarlo.

Saludos,
Franco.

[lindeloff]

Cierto esta más complicado de lo que parece
Lo voy a pensar.

[franma]

Hola a todos,

Todavía no he podido progresar. Pero estuve pensando y no hay problema (en el sentido de que también me sirve) si agregamos la hipótesis adicional de que el espacio métrico sea localmente compacto o incluso localmente compacto y \( \sigma \)-compacto.

Intentare ver si logro probarlo con estas 2 hipótesis adicionales.

Un saludo,
Franco.

[lindeloff]

ah bueno yo vengo pensando en las sombras digamos estos días en cómo resolverlo, hay que usar de alguna forma que estas en un espacio métrico, antes la sugerencia que te di era más topológica y estaba dejando fuera la métrica....
de momento otra alternativa q se me ocurre es otra forma de tomar abiertos y cerrados para \( \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n} \)

dados \( \theta>0 \) y \( \lambda>0 \) podes tomar los conjuntos

\( O_{\theta}=\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)<\theta\right\rbrace  \)

\( F_{\lambda}=\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;\left({\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}}\right)^{c}\right)<\theta\right\rbrace =\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}^{c}\right)\geq \lambda\right\rbrace  \)

si no me equivoco planteado así \( O_{\theta} \) es abierto y \( F_{\lambda} \) es cerrado

por otro lado dado \( k \) y \( s \) enteros positivos

\( O_{\theta}=\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)<\theta\right\rbrace \subset \left\lbrace x\in X \mid d\left(x;E_{k}\right)<\theta\right\rbrace  \)

\( \left\lbrace x\in X \mid d\left(x;{E_{s}}^{c}\right)\geq \lambda\right\rbrace \subset \left\lbrace x\in X \mid d\left(x;\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)^{c}\geq \lambda\right\rbrace = F_{\lambda} \)


luego

\( m(O_{\theta}\setminus F_{\lambda} )= m(O_{\theta}\cap {F_{\lambda}}^{c} ) \leq m\left(  \left\lbrace x\in X \mid d\left(x;E_{k}\right)<\theta\right\rbrace \cap {\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;{E_{s}}^{c}\right)\geq \lambda\right\rbrace}^{c}   \right)=m\left(  \left\lbrace x\in X \mid d\left(x;E_{k}\right)<\theta\right\rbrace \setminus {\left\lbrace x\in X \mid d\left(x;{E_{s}}^{c}\right)\geq \lambda\right\rbrace}  \right)  \)


pero servirá de algo esto, quizá alumbre un poco el camino