Si tengo la matriz
\( A= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \) y deseo calcular \( A^2 = A . A =\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2& 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix} \)
Luego \( A^3 = A^2 . A = \begin{pmatrix} a^2& 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \) = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & b^3 \end{pmatrix}
Si deseo calcular \( A^{100} = \begin{pmatrix} a^{100} & 0 \\ 0 & b^{100} \end{pmatrix} \) entonces cada termino de la diagonal se eleva a la potencia dada,
creo que entendí, si estoy equivocada les agradezco me corrijan. Como puedo expresar la formula pedida? Allí es donde no se como colocar la fórmula. Por favor ayudenme a resolverlo.
Ya te hemos dado una indicación de un camino de como demostrarlo, que es por inducción.
Para encontrarla puedes ir haciendo las potencias con una matriz basica.
Sea A una matriz \( 2\times2 \), con tu notación A=[ab]
\( A^2=\begin{pmatrix}{a}&{0}\\{0}&{b}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{a}&{0}\\{0}&{b}\end{pmatrix}\\A^3=A^2\begin{pmatrix}{a}&{0}\\{0}&{b}\end{pmatrix} \)
Se me adelantó feriva
Siguendo las sugerencias de sugata y feriva, una vez que tengas claro cual es la expresión de la potencia enésima, puedes demostrarla por inducción.
Saludos.
P.D.: Pero yo atacaría directamente en la demostración por inducción con matrices de orden n
Creo que por inducción es una forma muy sencilla de demostrarlo.
Luis te lo detallo para tu expresión anterior.
Por otra parte tu de ahí de unos casos particulares, intuyes que si \( A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \) entonces la expresión general para la potencia enésima debería de ser:
\( A^n = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ a^{n+1} & 0\end{pmatrix} \)
Para hacer la prueba rigurosa de este hecho por inducción debes de:
1) Comprobar que para \( n=1 \) se cumple la fórmula (es obvio).
2) Comprobar que si la fórmula es cierta para \( n \), entonces lo es también para \( n+1 \). Efectivamente:
\( A^{n+1}=A^n\cdot A= \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ a^{n+1} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& 0 \\ a^{2} & 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a^{n+1} & 0 \\ a^{n+2} & 0\end{pmatrix} \)
Estoy insegura porque en el ejercicio dice que debo encontrar la formula para calcular la potencia i-esima, a que se refiere? Necesito la ayuda.
La potencia \( i \)-ésima quiere decir la potencia para cualquier exponente \( i \). Pero da igual que al exponente le llames \( i \), \( n \), \( m \) o como quieras: ya has obtenido la fórmula.
Saludos.
