Autor Tema: ¿El vacío es disjunto consigo mismo?

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15 Abril, 2021, 05:01 pm
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mg

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Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \). En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Un saludo.

15 Abril, 2021, 05:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \).

Supongo que te falta en las hipótesis decir que los conjuntos son disjuntos dos a dos; en otro caso el resultado es falso.

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En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Si. Es cierto que el vacío es disjunto con cualquier otro conjunto (también consigo mismo). Por definición dos conjuntos \( A,B \) son disjuntos si \( A\cap B=\emptyset. \) Pero \( \emptyset\cap B=\emptyset \) para cualquier conjunto \( B \), luego el vacío es disjunto con cualquier \( B \).

Saludos.

15 Abril, 2021, 06:43 pm
Respuesta #2

mg

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Hola

Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \).

Supongo que te falta en las hipótesis decir que los conjuntos son disjuntos dos a dos; en otro caso el resultado es falso.

Citar
En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Si. Es cierto que el vacío es disjunto con cualquier otro conjunto (también consigo mismo). Por definición dos conjuntos \( A,B \) son disjuntos si \( A\cap B=\emptyset. \) Pero \( \emptyset\cap B=\emptyset \) para cualquier conjunto \( B \), luego el vacío es disjunto con cualquier \( B \).

Saludos.

Si, conjuntos disjuntos. Gracias por la respuesta.