Autor Tema: Duda de derivadas parciales (Potencial Eléctrico)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Agosto, 2018, 03:48 pm
Leído 5709 veces

jlopez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 34
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Para calcular el potencial eléctrico V de un segmento de cable (editado) muy fino metálico en el eje x debido a una carga Q situada en el punto P nos dá la siguiente integral:
\( V=K\int \frac{Qdr}{r^2} \)
Derivando:
\( \frac{dV}{dr}=\frac{KQ}{r^2} \)

Queremos calcular dV/dr, sabemos que dV/dx debe ser 0 pues V es constante en la placa metálica

Si hacemos:
\( \frac{dV}{dr}=\frac{dV}{dx}*\frac{dx}{dr} \)
Que sería 0 pues dV/dx es 0 por ser V constante en la placa, pero claramente dV/dr no es 0, ¿que es lo que he hecho mal?







13 Agosto, 2018, 08:22 pm
Respuesta #1

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,511
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.


Para calcular el potencial eléctrico V de una placa metálica en el eje x debido a una carga Q situada en el punto P nos dá la siguiente integral:
\( V=K\int \frac{Qdr}{r^2} \)

El enunciado no me acaba de convencer, la verdad. Para empezar, si te hablan de una placa, te deberían decir en qué plano está situada, no en qué eje. Después, no creo que la fórmula te sirva, porque por un lado no sólo tienes la carga puntual que te crea potencial, por otro, en la integral que propones debería haber algún producto escalar, ya que debería ser una integral de circulación y el ángulo va cambiando.

¿Es posible que te digan que la placa es indefinida?

Saludos

13 Agosto, 2018, 08:45 pm
Respuesta #2

jlopez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 34
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Perdona, era un segmento de cable muy fino pero no infinito, lo he reeditado.

13 Agosto, 2018, 11:59 pm
Respuesta #3

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,811
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, independientemente de que sea un cable fino, la expresión que has puesto para el potencial no es correcta, la que has puesto es el potencial para una carga puntual, no para una distribución lineal de carga como tienes.

Para tu caso debes integrar también para \( dq=\rho(x) dx \)

De todas formas, aunque fuera correcta no es cierto que \( \dfrac {dV}{dx} \) sea cero, el potencial es sólo constante  en el conductor \( y=0 \) y \( 0\leq{}x\leq{}x_1 \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

14 Agosto, 2018, 01:10 pm
Respuesta #4

jlopez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 34
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Es cierto, no esta bien descrito. La carga inicial está en el punto P. V es constante en el conductor, pero no veo que se pueda ser constante SALVO que haya una carga no constante en el conductor debido a la carga en P. Para que la derivada de V sea 0 debe hacerse respecto de x y solo es válido entre x1 y x2. Lo curioso es que planteo el problema haciendo la derivada en vez de la integral, que es como se suele intentar resolver pero nadie lo hace hacer 1/x cuando x=0 :) )

En fin en vez de enrollarme más pongo el problema ya arreglado. A fin de simplificar he puesto el origen de coordenadas justo debajo de la carga Q1:



Y pongo el chorro de ecuaciones a ver si os parece bien :):
Nota: He tenido en cuenta que dV/dx=0 dentro del conductor.

\(  V(x)=V1 (cte)=K\int(\frac{Q_1*dr}{r^2}  +  \frac{Q_2(x)}{x^2}dx) \\\\
Derivando:\\\\
\frac{dV(x)}{dx}=0=\frac{Q_1}{r^2}*\frac{dr}{dx}+\frac{Q_2(x)}{x^2} \\\\
Como:\\\\
r=\sqrt{x^2+y_0^2}  \Rightarrow dr=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+y_0^2}}\\\\
Q_2(x)=-Q_1*\frac{x^3}{(x^2+y_0^2)^{3/2}}  \)

Lo gracioso del tema es que como el contenido dentro de la integral se hace 0 dentro del conductor, no sirve absolutamente de nada hacer la integral para resolver el problema, es por eso que no he encontrado nadie que lo haya logrado  :)


14 Agosto, 2018, 02:55 pm
Respuesta #5

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,511
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Es cierto, no esta bien descrito. La carga inicial está en el punto P. V es constante en el conductor, pero no veo que se pueda ser constante SALVO que haya una carga no constante en el conductor debido a la carga en P. Para que la derivada de V sea 0 debe hacerse respecto de x y solo es válido entre x1 y x2. Lo curioso es que planteo el problema haciendo la derivada en vez de la integral, que es como se suele intentar resolver pero nadie lo hace hacer 1/x cuando x=0 :) )

En fin en vez de enrollarme más pongo el problema ya arreglado. A fin de simplificar he puesto el origen de coordenadas justo debajo de la carga Q1:



Y pongo el chorro de ecuaciones a ver si os parece bien :):

\( V(x)=V1 (cte)=K\int_(\frac{Q_1*dr}{r^2}  + \frac{Q_2(x)}{x^2}dx)\\\\
derivando:\\\\
\frac{dV(x)}{dx}=0=\frac{Q_1}{r^2}*\frac{dr}{dx}+\frac{Q_2(x)}{x^2}\\\\
Como:  r=\sqrt{x^2+y_0^2}  \Rightarrow dr=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+y_0^2}}\\\\
Q_2(x)=-Q_1*\frac{x^3}{(x^2+y_0^2)^{3/2}}
 \)

Lo gracioso del tema es que como el contenido dentro de la integral se hace 0, no sirve absolutamente de nada hacer la integral para resolver el problema, es por eso que no he encontrado nadie que lo haya logrado  :)

Sí, ahora el enunciado tiene más sentido. Pero no estoy muy de acuerdo con tu planteamiento. No entiendo cómo has definido \( Q_2(x) \) ¿Es la densidad lineal de carga en el alambre, o la carga total entre un extremo y el punto \( x \)?

Lo que yo alcanzo a ver es lo siguiente, aunque no sé si servirá de algo, pero creo que es lo que querías hacer tú:

Si llamamos \( q(x) \) a la densidad lineal de carga en el punto x del alambre, la expresión para el potencial en un punto \( x \) del alambre diría que es:

Estas fórmula y su derivada están mal. Se habla de ello más adelante:

\( V=\displaystyle\frac{KQ_1}{r}+ K\displaystyle\int_{x_0}^{x_1} \displaystyle\frac{q(x)}{r}\, dx \)

He utilizado directamente lo del potencial que crea una carga puntual. Se puede deducir a partir de la integral de circulación del campo sobre una curva, pero no creo que sea necesario. Por si te apetece derivar esto, te adelanto que a mí me queda así:

\( \frac{dV}{dx}=-\displaystyle\frac{KQ_1}{r^2}\frac{dr}{dx}+K\displaystyle\int_{x_0}^{x_1} \displaystyle\frac{r\cdot{}q'(x)-q(x)\cdot{}\frac{dr}{dx}}{r^2}\, dx \)

Saludos.


14 Agosto, 2018, 09:45 pm
Respuesta #6

jlopez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 34
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Citar
porque por un lado no sólo tienes la carga puntual que te crea potencial, por otro, en la integral que propones debería haber algún producto escalar, ya que debería ser una integral de circulación y el ángulo va cambiando

Imagino que lo bueno del potencial es que es un escalar


Citar
Q2(x) ¿Es la densidad lineal de carga en el alambre, o la carga total entre un extremo y el punto x?

Pues la verdad no lo tengo muy claro qué es eso, imagino que dividiendo la integral por la longitud de segmento se convierte en densidad de carga. Para mí que es "eso que se pone dentro de la integral para hacerla 0" :)

En estos casos la ayuda de un teórico vendría fenomenal

15 Agosto, 2018, 12:15 am
Respuesta #7

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,811
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,
Citar
porque por un lado no sólo tienes la carga puntual que te crea potencial, por otro, en la integral que propones debería haber algún producto escalar, ya que debería ser una integral de circulación y el ángulo va cambiando

Imagino que lo bueno del potencial es que es un escalar


Citar
Q2(x) ¿Es la densidad lineal de carga en el alambre, o la carga total entre un extremo y el punto x?

Pues la verdad no lo tengo muy claro qué es eso, imagino que dividiendo la integral por la longitud de segmento se convierte en densidad de carga. Para mí que es "eso que se pone dentro de la integral para hacerla 0" :)

En estos casos la ayuda de un teórico vendría fenomenal
Me da la impresión de que no tienes muy claro lo que quieres hacer, al menos yo no lo tengo nada claro.

¿Se trata de un problema que has ideado tu, o lo has copiado de algún sitio?

Ya que no tengo claro si lo que quieres hallar es la fuerza que ejerce el alamnbre cargado sobre la carga en P, o el potencial que genera en un punto el conjunto carga y alambre, y si es asi en ¿ que punto lo quieres calcular?

Primero define bien el problema y entonces te podremos ayudar.

Pero te repito que para tu distribución de carga\( \frac{{\partial V(x,y)}}{{\partial x}}\neq{}0 \) , solo tienes que ver que para valores muy grandes de x con y fija el potencial es muy pequeño, es decir el potencial va disminuyendo cuando nos alejamos tanto horizontalmente o verticalmente de la distribución.

Solo el potencial creado por un hilo conductor infinito paralelo al eje de abcisas (eje "x" ) es independiente de la coordenada "x" y depende solo de la distancia al hilo (se ve facilmente por simetría).

En tu caso tienes un hilo conductor finito y aunque fuera infinito, la carga en el punto P rompería la simetría traslacional en dirección x.

Por tanto, plantea de forma correcta tu problema , al menos yo no se lo que pretendes.



Lo que yo alcanzo a ver es lo siguiente, aunque no sé si servirá de algo, pero creo que es lo que querías hacer tú:

Si llamamos \( q(x) \) a la densidad lineal de carga en el punto x del alambre, la expresión para el potencial en un punto \( x \) del alambre diría que es:

\( V=\displaystyle\frac{KQ_1}{r}+ K\displaystyle\int_{x_0}^{x_1} \displaystyle\frac{q(x)}{r}\, dx \)

He utilizado directamente lo del potencial que crea una carga puntual. Se puede deducir a partir de la integral de circulación del campo sobre una curva, pero no creo que sea necesario.

No, esa no es la expresión para el potencial den un punto del alambre, en un punto del alambre , si el alambre no tiene grosor el potencial en este no esta definido, tendríamos una singularidad ( ya que la distancia de la carga(hilo conductor) al punto donde queremos calcular el potencial es cero.
Para un hilo finito cargado en el eje x, la expresión del diferencial potencial para un punto P exterior a una distancia \( r \) del origen será:

\( dV=K\displaystyle\frac{ \lambda (x)dx}{r'} \) , con \( r' \) la distancia del diferencial de carga al punto donde queremos calcular el potencial \( \lambda(x) \) la dennsidad lineal de carga.



Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Agosto, 2018, 01:48 pm
Respuesta #8

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,511
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

No, esa no es la expresión para el potencial den un punto del alambre, en un punto del alambre , si el alambre no tiene grosor el potencial en este no esta definido, tendríamos una singularidad ( ya que la distancia de la carga(hilo conductor) al punto donde queremos calcular el potencial es cero.

Tienes razón, la fórmula que propuse está mal, no sé en qué estaría pensando... Pero, aún así, creo que se podría llegar a una expresión para el potencial en un punto del hilo si excluimos el punto en el que estamos del intérvalo en el que integramos el potencial e integramos lo que es debido.

Imagínate por ejemplo que en el ejercicio el hilo estuviese conectado a tierra. Entonces el potencial en todos sus puntos valdría cero (estaría definido) y el hilo debería quedar también cargado (por que sin carga en el hilo no valdría 0 el potencial). También hay problemas relativamente frecuentes, que se suelen resolver por el método de las imágenes, en los que se enfrentan diferentes distribuciones de cargas a conductores conectados a un cierto potencial. Y otros en los que aparecen conductores cargados y nos piden el potencial en cualquier punto del espacio. Según mi opinión, el que un conductor esté cargado, no quiere decir que no pueda existir el potencial en uno de sus puntos debido a que a en él la fórmula del potencial produce una singularidad. Más bien habrá que excluir ese punto a la hora de sumar, o integrar, los potenciales producidos por todos los demás puntos, ¿no crees?...

Yo diría que la consecuencia de que el hilo no tenga grosor es que no vamos a poder definir el campo en ninguno de sus puntos, ya que para eso necesitaríamos la densidad superficial de carga en el hilo (que si su grosor es despreciable no estará definida) y el vector normal a la superficie del hilo (que tampoco).

Mirad a ver qué os parece esta expresión para el potencial en un punto \( x \) del hilo, donde \( \lambda(z) \) es la densidad lineal de carga en un punto del hilo situado a una distancia \( z \) del origen:

\( V=\displaystyle\frac{KQ_1}{r}+ K\displaystyle\int_{x_0}^{x^-} \displaystyle\frac{\lambda(z)}{x-z}\, dz+ K\displaystyle\int_{x^+}^{x_1} \displaystyle\frac{\lambda(z)}{z-x}\, dz \)

Para mí la densidad de carga debe ser tal que la derivada de esta expresión respecto a \( x \) debe ser 0, otra cosa es que se pueda sacar de aquí... Ten en cuenta, jlopez, que al derivar no te van a desaparecer las integrales.

Saludos.

15 Agosto, 2018, 08:43 pm
Respuesta #9

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,811
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Entiendo que lo que se pretende es calcular el potencial en un punto dado del hilo conductor.
Hola.

No, esa no es la expresión para el potencial den un punto del alambre, en un punto del alambre , si el alambre no tiene grosor el potencial en este no esta definido, tendríamos una singularidad ( ya que la distancia de la carga(hilo conductor) al punto donde queremos calcular el potencial es cero.

Tienes razón, la fórmula que propuse está mal, no sé en qué estaría pensando... Pero, aún así, creo que se podría llegar a una expresión para el potencial en un punto del hilo si excluimos el punto en el que estamos del intérvalo en el que integramos el potencial e integramos lo que es debido.

Podría valer, pero entonces es fundametal imponer ciertas condiciones a la densidad de carga para que la integral no sea divergente.

Lo digo por lo siguiente, si suponemos el hilo uniformemente cargado , es decir con densidad de carga constamte, si consideramos un punto muy proximo al conductor (pero no por los extremos), desde ese punto infinitamete próximo se ve el conductor como si fuera infinito, es decir que la distancia al conductor es despreciable frente a este, la expresión del potencial en este punto es practicamente la que que generaría un hilo infinito, y esta es:

\( V_{hilo\, \infty}=2K \lambda \ln \left({\displaystyle\frac{r_o}{r}}\right) \), con \( r_o \) el origen de potencial \( V(r_o)=0 \)


Y el potencial diverge para \( r=0 \).

Citar
Imagínate por ejemplo que en el ejercicio el hilo estuviese conectado a tierra. Entonces el potencial en todos sus puntos valdría cero (estaría definido) y el hilo debería quedar también cargado (por que sin carga en el hilo no valdría 0 el potencial). También hay problemas relativamente frecuentes, que se suelen resolver por el método de las imágenes, en los que se enfrentan diferentes distribuciones de cargas a conductores conectados a un cierto potencial. Y otros en los que aparecen conductores cargados y nos piden el potencial en cualquier punto del espacio.
Según mi opinión, el que un conductor esté cargado, no quiere decir que no pueda existir el potencial en uno de sus puntos debido a que a en él la fórmula del potencial produce una singularidad. Más bien habrá que excluir ese punto a la hora de sumar, o integrar, los potenciales producidos por todos los demás puntos, ¿no crees?...
Habria que asegurarse también que la integral no diverga ajustando la densidad lineal de carga ( ya no uniforme).
Citar

Yo diría que la consecuencia de que el hilo no tenga grosor es que no vamos a poder definir el campo en ninguno de sus puntos, ya que para eso necesitaríamos la densidad superficial de carga en el hilo (que si su grosor es despreciable no estará definida) y el vector normal a la superficie del hilo (que tampoco).

Mirad a ver qué os parece esta expresión para el potencial en un punto \( x \) del hilo, donde \( \lambda(z) \) es la densidad lineal de carga en un punto del hilo situado a una distancia \( z \) del origen:

\( V=\displaystyle\frac{KQ_1}{r}+ K\displaystyle\int_{x_0}^{x^-} \displaystyle\frac{\lambda(z)}{x-z}\, dz+ K\displaystyle\int_{x^+}^{x_1} \displaystyle\frac{\lambda(z)}{z-x}\, dz \)

Ahora si es correcta
Citar

Para mí la densidad de carga debe ser tal que la derivada de esta expresión respecto a \( x \) debe ser 0, otra cosa es que se pueda sacar de aquí... Ten en cuenta, jlopez, que al derivar no te van a desaparecer las integrales.

Saludos.
Estoy de acuerdo.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.