Autor Tema: Integral definida \(\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\cos(\theta)}}\)

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13 Julio, 2018, 10:12 am
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jlopez

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En primer lugar un saludo a todos, pues este es mi primer post. Una pena no pueda poner latex en el enunciado.

En un simulador que he hecho, he de calcular le media de 1/r desde un anillo a un punto del espacio, siendo r la distancia de cada punto al circulo. Despues de numerosas operaciones he calculado que esa media tiene la siguiente fórmula:

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{d \theta }{\sqrt{1-k^{2}\cos( \theta )}} \)

La solución no viene en tablas de integrales definidas, pero creo que es una integral elíptica.
Desafortunadamente no sé como ponerla como elíptica para emplear una libreria que contenga dichas integrales
También me valdría una solución aproximada.
Otra opción es meter una tabla en una matriz y sacarlo de ahí.
Estas opciones me ayudarían enormemente a reducir enormemente el número de puntos en la simulación, que actualmente es de 25mil lo que me obliga ha hacer inversas de matrices de 25milx25mil. He logrado hacerlo en multitarea para reducir el tiempo de simulación a 3 horas, rozando el límite de RAM del ordenador de 16GB



13 Julio, 2018, 11:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En primer lugar un saludo a todos, pues este es mi primer post. Una pena no pueda poner latex en el enunciado.

Bienvenido al foro. Se puede poner LaTeX en el título si rodeas las fórmula por \( … \)

Citar
En un simulador que he hecho, he de calcular le media de 1/r desde un anillo a un punto del espacio, siendo r la distancia de cada punto al circulo. Despues de numerosas operaciones he calculado que esa media tiene la siguiente fórmula:

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{d \theta }{\sqrt{1-k^{2}\cos( \theta )}} \)

La solución no viene en tablas de integrales definidas, pero creo que es una integral elíptica.
Desafortunadamente no sé como ponerla como elíptica para emplear una libreria que contenga dichas integrales
También me valdría una solución aproximada.
Otra opción es meter una tabla en una matriz y sacarlo de ahí.
Estas opciones me ayudarían enormemente a reducir enormemente el número de puntos en la simulación, que actualmente es de 25mil lo que me obliga ha hacer inversas de matrices de 25milx25mil. He logrado hacerlo en multitarea para reducir el tiempo de simulación a 3 horas, rozando el límite de RAM del ordenador de 16GB

Por la periodicidad del coseno tienes que:

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{d \theta }{\sqrt{1-k^{2}\cos( \theta )}}=2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{d \theta }{\sqrt{1-k^{2}\cos( \theta )}} \)

Si haces el cambio \( \theta=2t \) te queda:

\( 4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt }{\sqrt{1-k^{2}\cos(2t)}}=4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt }{\sqrt{1-k^{2}(1-2sin^2(t))}}=4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt }{\sqrt{(1-k^{2})+2k^2sin^2(t)}}=\\
=\dfrac{4}{\sqrt{1-k^2}}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt }{\sqrt{1-\frac{2k^2}{k^2-1}sin^2(t)}} \)

Y eso es una integral elípitca completa de pimer tipo.

Saludos.

13 Julio, 2018, 11:12 am
Respuesta #2

jlopez

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Pues muchisimas gracias, la aplicaré en mi algoritmo, empleando librería boost para c++ que contiene integrales elípticas

 :aplauso:

13 Julio, 2018, 11:24 am
Respuesta #3

jlopez

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Otra cuestión al respecto es que sospecho que en la integral de la pregunta al hacerla de 0 a 2pi se podría sustituir el coseno por un seno, si ello fuera así ¿simplificaría un poco el cálculo?

13 Julio, 2018, 11:32 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Otra cuestión al respecto es que sospecho que en la integral de la pregunta al hacerla de 0 a 2pi se podría sustituir el coseno por un seno, si ello fuera así ¿simplificaría un poco el cálculo?

Teniendo en cuenta que \( cos(\theta)=sin(\theta+\pi/2) \) y que integramos en \( [0,2\pi] \) la integral es la misma que:

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{d \theta }{\sqrt{1-k^{2}\sin( \theta )}} \)

Pero no veo que eso simplifique el cálculo.

Saludos.