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Probabilidad / Cadenas de markov y martingala.
« en: 27 Mayo, 2021, 03:31 am »
Hola. Tengo el siguiente problema, hay una parte que no he podido resolver. Agradecería si me echaran una mano.
Sea \( X_n \) una cadena de Markov. Con espacio de estados \(  \mathbb{Z}  \) con \(  X_0=0 \), \(  p_{0,-1}=\frac{1}{2} \), \(  p_{0, 1}=\frac{1}{2} \), \(  p_{i+1, 1}=1 \) para todo \(  i\geq{1} \) y
 \(  p_{i, i-1}=1 \)  para todo \(  i\leq{-1} \)
a) Calcule distribución de probabilidades.
b) Calcular el valor esperado de la cadena al tiempo n.
c) compruebe que \(  E[X_n]=E[X_0]  \)
Ya hallé la distribución de probabilidades.
Pero no sé hacer b y c porque no vimos nunca valor esperado en cadenas de markov.
La distribución viene dada por:
\(  p_j (n)=1/2  \) si \( j=n  \) ó \( j=-n  \) 0 en los otros casos. Quedo atento. Un millón de gracias.

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Probabilidad / Cadenas de markov.
« en: 15 Abril, 2021, 01:22 am »
Hola, tengo el siguiente problema. Mi duda es que no estoy seguro de mi proceso y en internet veo que la respuesta difiere de la mía.
En un pequeño centro hospitalario se tiene la urgencia de instalar equipos nuevos. Estos equipos son muy costosos y se deben manejar con mucho cuidado por lo que se necesita que el establecimiento esté vacío al momento de la instalación. Actualmente hay M pacientes en el centro, y con el fin de poder proceder a la instalación no se recibirán más pacientes hasta que ésta se realice. Cada mañana un doctor evalúa la condición de los pacientes para ver si son dados de alta. Se ha determinado que cada paciente tiene una probabilidad \(  p  \) de estar rehabilitado y salir del centro y una probabilidad\(  1-p  \)  de seguir internado, independiente de lo que ocurra con los demás pacientes. Nadie puede ingresar al centro hasta después de instalados los equipos.
Hallar la matriz de transición. Sea \(  X_n  \) la cantidad de pacientes en el n-ésimo día.
Quiero hallar,
\(  p_{ij}  \) que es es la probabilidad de pasar el i al estado j, en el dia 0 al día 1.
Ahora, \(  p(X_0=i)=\dfrac{M!*(1-p)^{i}}{i!*(M-i)!}  \) ¿Esto está bien?
No sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

3
Probabilidad / Proceso de Poisson.
« en: 11 Abril, 2021, 06:53 pm »
Hola, tengo el siguiente problema. Solo quiero que me indiquen por favor si la forma en la que lo planteo está bien, si no agradecería que me dieran alguna sugerencia, o que estoy haciendo mal. Mil gracias.
Una central telefónica de emergencias recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson
con tasa de cinco llamadas por hora. Se define con N(a;b) el número de llamadas que se
han recibido entre a y b. El servicio ha comenzado a operar a las cinco de la mañana y se
sabe que \( N(5;7) = 7.  \)
a) Si el operador de la central no ha recibido ninguna llamada desde las 6:45 de la
mañana, determinar la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra antes de las
7:15 de la mañana.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el operador esté desocupado por más de veinte minutos,
comenzando a las 6:45 de la mañana?
Para responder a, a), debería calcular esta probabalidad \( P(N(6:45; 7:15)\geq{1}|N(6:45)=0)  \) Aquí debo tener en cuenta el hecho de que entre las 5 y las 7 se recibe una llamada, no, Tambien, puedo tener en cuenta que el problema es de incrementos independientes y estacionarios, no? Para reducir las cuentas.
Para responder a b), ¿Puedo calcular la probabilidad de que este desocupado por menos de 20 minutos y restarle a 1 esta probabilidad no? O sea, puedo calcular \( P(N(6:45; 7:05)\geq{1})  \) y esto sería lo mismo que calcular \( P(N(5:00; 5:20 )\geq{1})  \) ?
Quedo muy agradecido a quien pueda ayudarme.
Un millón de gracias.

4
Probabilidad / Problema de probabilidad.
« en: 07 Marzo, 2021, 01:34 am »
Hola, tengo el siguiente ejercicio. Agradecería si me dicen si es o no correcta mi solución, gracias.
 \(  g  \) es la función densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Si la función densidad
de probabilidad conjunta de las variables aleatorias  \( X  \),  \( Y  \) y  \( Z  \) es:  \( f(x, y, z)=g(x)g(y)g(z), \ x, y, z, \in \mathbb{R}   \)

Calcular:
 \( P(X<Y<Z)   \)

Por la forma de la función de densidad conjunta, es claro que  \( X, Y, Z   \) son independientes e identicamente distribuidas puesto que tienen la misma función de densidad $g$ Ahora, sabemos que:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=1   \)
Ahora, sabemos que:
 \( P(X<Y<Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz   \)

Por la simetría de f tenemos las siguientes igualdades:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dx=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dx\ dy=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dz\ dx=
   \)
 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dx\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dy\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dz\ dy   \)

Es fácil ver que  \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz   \) es la suma de las integrales anteriores. Luego tendríamos que:

 \( 1=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=6\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz=6P(X<Y<Z)   \)

Luego   \( P(X<Y<Z)=\frac{1}{6}   \)

5
Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...  \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \(  B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \(  \epsilon>0 \) pasa que \(  m(A_{k})\geq{\epsilon}  \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \(  A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \(  A_{k}  \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \(  m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} }  \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \(  I=\left \{ N, N+1, ... \right \}  \) un conjunto de indices.
Ahora, tenemos que:
\(  A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset  \) para algún i diferente de j, ambos en I.
Ahora, supongamos que no existe ningún \(  x  \) que pertenezca a infinitos \( A_{i}  \) con \(  i \in{I}  \)
Por \( ^{(*)} \) tenemos que, existe un número \(  d  \) tal que
\(  \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})}  \)
Pero:
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{\epsilon}\leq{} \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})}  \)
y
\(  \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{\epsilon}  \) no converge y \(  dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})  \) si.
Luego, existe x que pertenece a infinitos \(  A_{k}  \)



\( ^{(*)} \)
Suponga que
\( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...  \) es una secuencia de conjuntos medibles, y suponga que \( d  \)  es un número natural  tal que cada punto \(  x  \)de \( \mathbb{R^{n}}  \) no pertenece a más de \(  d  \) de los \( A^{´}_{k} s \)
Entonces
\(  \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})}  \)



Para ese problema, encontré otra prueba, pero quiero saber si la mía en particular, está bien.
Mil gracias.

6
Hola, de ante mano me place saludarlos.
Muchas gracias a los que brindan su ayuda.
Tengo un problema con este ejercicio, creo que no lo estoy atacando por dónde es, así que agradecería si me dan una pista.
Si \( m^* \) es la medida exterior, probar que en general \(  
m^{*}(A)+m^{*}(B)\geq m^{*}(A\cup B)+m^{*}(A\cap B) \)
No sé que está mal en mi código, que no sale escrito en látex..

7
Matemáticas Generales / Zoom en las imágenes.
« en: 04 Agosto, 2020, 06:56 pm »
Hola, traigo una pregunta rondando en la cabeza. Si yo tengo un rectángulo de vista de una imagen y le hago zoom al 150% ¿Qué fracción del rectángulo deja de verse? Se supone que si le hago zoom del 150%, me va a dar la impresión de que estoy 150% cerca. Digamos que el rectángulo tiene base 10 y altura 20, entonces se supone que si me acerco 150%  ¿la base que veo es 5 y la altura 10?
¿Conocen artículos dónde traten esto matemáticamente?
Depronto es algo básico pero no le he encontrado respuesta o no estoy muy seguro de mi respuesta.

8
Hola, cómo puedo probar lo siguiente.
Sea \(  T: \mathbb{R^{3}} \rightarrow{ \Bbb R^{3}}  \) probar que:

\(  R(T^{3}) \cap N(T^{3})=0 \)

No puedo escribir en Látex, no sé por qué.

Corregido por moderación. Recuerda encerrar el código LaTeX entre etiquetas [ tex ] [ /tex ] (sin espacios).

9
Cálculo 1 variable / Fórmula de reducción.
« en: 18 Junio, 2020, 09:13 am »
Hola, de ante mano mil gracias. Hemos resuelto una serie de ejercicios de fórmulas de reducción para integrales con una estudiante y ya hemos podido con todos menos uno.
Nos piden probar que:
\(  \int \frac{sin^{n}(x)dx}{cos^{m}(x)}=\frac{sen^{n}(x)}{mcos^{m}(x)}-\frac{n}{m}\int \frac{sin^{n-1}(x)dx}{cos^{m-1}(x)}   \)

10
Ecuaciones diferenciales / Flujo de dinero.
« en: 04 Abril, 2020, 03:50 am »
Hola, de ante mano saludos, espero que en el país en el que estén, vayan afrontado esta situación incómoda con fortaleza. Esperar que pase pronto.
Me he topado con el siguiente problema, que no he podido resolver porque hay variables que no puedo hacer intervenir. Agradezco de corazón la ayuda que me puedan brindar.
Cierto país pequeño tiene 10 000 millones de dólares en papel moneda en circulación, y cada día entran a los bancos del país 50 millones. El gobierno decide introducir una nueva moneda y pide a los bancos que reemplacen los billetes viejos por los nuevos, siempre que la moneda antigua llegue a los bancos. Sea \( x=x(t) \)denota la cantidad de la nueva moneda en circulación en el tiempo t, con \( x(0)=0 \)
(a) Formule un modelo matemático en la forma de un problema
de valor inicial que representa el “flujo” de la nueva moneda
en circulación.

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Cálculo 1 variable / Acotar integral.
« en: 02 Febrero, 2020, 01:47 am »
Hola, cómo van, tengo el siguiente problema que no puedo terminar, agradecería si me echarán una mano.
Suponga que \( f(1)=f'(1)=0 \) además \( f"(x) \) es continúa y \( |f"(x)|≤3 \) pruebe que \( |\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx|≤\displaystyle\frac{1}{2} \) Después de darle algunas vueltas se me ocurrió usar la serie de Taylor con centro en \( a=1 \). Y tengo que \( f(x)=T_2(x)+R_2(x) \) y de aquí obtengo que \( |\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx|≤\displaystyle\int_{0}^{1}|T_2(x)|dx+\displaystyle\int_{0}^{1}|R_2(x)|dx \)≤\( 1/2+\displaystyle\int_{0}^{1}|R_2(x)|dx \) pasa que no logro llegar a qué la integral del residuo es 0 ¿Me pueden decir que estoy haciendo mal por favor?

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Hola, me pueden echar una mano con este ejercicio, no puedo interpretarlo ¿Algún bosquejo que aporte alguna idea? Mil gracias.
Un cable tiene radio r y longitud L, y está enrollado en un cilindro de radio R sin que se traslapen ¿Cuál es la longitud más corta en el cilindro que queda cubierta con el cable?

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Topología (general) / Espacio de Fort.
« en: 05 Enero, 2020, 12:36 am »
Hola, necesito probar que el espacio de Fort no satisface el primer axioma de numerabilidad.
No lo he logrado, asumí que el punto p tenía una base local enumerable pero no llego a nada.
Quedo agradecido por su ayuda.

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Hola, tengo el siguiente ejercicio, encuentro un contraejemplo pero no me gusta porque lo veo muy forzado, además, por lo que sé una función que tiene discontinuidades en un número infinito de puntos no minerales no es integrable (esto lo he oído por ahí), no sé que tan cierto sea. Lo que quiero es que me indiquen un ejemplo más trivial.
Sea \( Hom([0,1],\mathbb{R}) \) el conjunto de todas las funciones no necesariamente continuas, probar que \( d_2(f,g)=\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))^{2} \) no define una métrica.
Yo tomé:
\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{x-2}} \) si 0≤x≤1/2 0 en otro caso y
\( g(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{5/2-x}} \) si 1/2≤x≤1 0 en otro caso.
Y contradice la primera propiedad de la métrica. Pero no sé. Mil gracias.

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Análisis Matemático / Representación decimal de un número.
« en: 21 Noviembre, 2019, 03:45 am »
Hola, tengo el siguiente ejercicio e intenté una demostración pero mi profesor dice que está mal y no dice porqué ¿Podrían ayudarme?
Sea \( x \) real mayor que 0 y \( k\geq{2} \) sea \( a_0 \) el mayor entero tal que \( a_0\leq{x} \) supuestos definidos \( a_1,...,a_{n-1} \) sea \( a_n \) el mayor entero tal que
\( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\leq{x} \) probar que
\( 0\leq{a_i}\leq{k-1} \) para \( i=1,2,3...,n \)
Mi intento de prueba:
Supongamos lo contrario.
Que \( a_i>k-1 \) entonces \( a_i\geq{k} \) tendríamos entonces que: \( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\geq{a_0+1+\displaystyle\frac{1}{k}+\displaystyle\frac{1}{k^{n-1}}}\geq{a_0+1}>x \) lo que es una contradicción.
¿Por qué estaría mal mi demostración?


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De oposición y olimpíadas / Ecuación funcional.
« en: 26 Junio, 2019, 09:18 pm »
Hola, tengo el siguiente ejercicio con el que no veo de donde. Mil gracias.
Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continúa, tal que \( f(x)f(f(x))=1 \) y \( f(2020)=2019 \) ¿Cuál es el valor de \( f(2018) \)?
No he podido deducir gran cosa, salvo que \( f(2019)=\displaystyle\frac{1}{2019} \) y también que \( f(\displaystyle\frac{1}{2019}=2019 \)
Tambien que no se anula en ningún punto. Agradezco sus sugerencias.

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Topología (general) / Abiertos en la topología uniforme.
« en: 17 Febrero, 2019, 10:18 pm »
Hola, esa es mi pregunta ¿Cómo son los abiertos en la topología uniforme? No logro visualizar como funciona esta topología y por lo tanto no puedo solucionar ni siquiera los problemas.

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Hola, si tengo un espacio métrico sé que las bolas abiertas de radio \( \varepsilon \) inducen una topología, mi pregunta es, ¿Inducen la misma topología? ¿Cómo muestro las convenciones?
Por ejemplo las bolas para \( \varepsilon=1 \) y \( \varepsilon=2 \) inducen la misma topología? Estoy tratando de probar que si \( d \) es una métrica \( d'(x,y)=\min\left\{{d(x,y),1}\right\} \) induce la misma topología .
Muchas gracias.

19
Topología (general) / Función biyectiva implica continuidad.
« en: 29 Enero, 2019, 04:49 pm »
Hola, tengo el siguiente problema y quería saber si era correcta mi demostración, muchas gracias.
Sean \( X, Y \)conjuntos linealmente ordenados, demostrar que toda \( f: X\rightarrow{Y} \) estrictamente creciente y sobreyectiva es continua.
Demostración: 
Sea \( V=(a,b) \) un abierto en \( Y \) se trata de probar que \( f^{-1}(V) \) es abierto, sea \( x \in{f^{-1}(V)} \) entonces \( f(x) \in{(a,b)} \) como \( f \) es sobreyectiva existen \( x_1,x_2 \in{X} \) tales que \( f(x_1)=a \) y \( f(x_2)=b \) sea \( u=\min\left\{{f(x)-f(x_1), f(x)-f(x_2)}\right\} \) entonces \( f^{-1}((f(x)-u,f(x)+u))\subseteq{f^{-1}(a,b)} \) luego \( f^{-1}(V) \) es abierto.
¿Es correcta? Gracias de nuevo.

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Topología (general) / Hausdorff en funciones inyectivas.
« en: 29 Enero, 2019, 04:21 am »
Hola amigos, tengo el siguiente problema el cual hay algo que me impide solucionarlo.
Sea \( f: X\rightarrow{Y} \) una funcion inyectiva y continua entre dos espacios topológicos. Probar que:
Si \( Y \) es hausdorff entonces \( X \) es Hausdorff.
pasa que  la condición de inyectividad me parece innecesaria. ¿Es esto cierto? Mil gracias.

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