¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla?
Eso es relativo o no objetivo; en realidad se puede expresar con un solo "decimal".
Una forma de verlo es dividir en una base adecuada, en este casó qua sea múltiplo de 7.
Cuando divides a mano y el dividendo es menor que el divisor, añades un cero y, al hacerlo, estás partiendo cada unidad en 10 trozos más pequeños: así, al dividir eso, haces 50 para que sea mayor que 49; y pones un cero y una coma en el cociente.
Pero hacer diez partes la unidad no es más que una elección, lo habitual; cuando tú partes una barra de pan para 3 personas no la divides en diez trozos, haces directamente 3 trozos iguales, usas base 3.
En este caso, si hacemos 7 trozos de las cinco unidades, tendríamos 35 trozos, que sigue siendo menor que 49, pero nada impide tomar el propio 49 como base, al iguala que con la barra de pan; entonces tendrás, cuando añades el cero al dividir, que 50 quiere decir \( 5\cdot49=254
\) partes en vez de cincuenta. Y ya está, cero al cociente con la coma y te queda \( (0,5)_{49}
\), o sea 0,5 en base 49, que es equivalente a ese número tan largo y periódico que queda en base diez.
En realidad, la periocidad inacabable la produce el hecho de dividir siempre en una base fija, sin adaptarnos a la divisibilidad; así, se puede decir que los números racionales nunca tienen infinitos decimales realmente; el que aparezcan infinitos periodos es una cuestión más operativa que otra cosa.
Luego es racional, porque un número irracional no tiene una cantidad finita de cifras en ninguna base.
Saludos.