Para cada \( n\in\mathbb{N} \), sea
\(
g_n(x)=
\begin{cases}
nx, &\text{si }& 0\leq x\leq\frac{1}{n}\\
\frac{1}{nx}, & \text{si }& \frac{1}{n}< x
\end{cases}
\)
a)Demostrar que \( g_n \) converge puntualmente a \( 0 \) en \( [0,\infty) \).
b)Demostrar que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \) pero no lo hace en \( [0,\infty) \).
Tengo la parte a) y la primera parte de b) así:
a) Si \( x=0 \), entonces \( g_n(x)=0 \) para cada \( n\in \mathbb{N} \) y consecuentemente \( g_n(x)\rightarrow 0 \).
Sea \( x>0 \) y \( \epsilon>0 \). Por la Propiedad arquimediana, existe un \( N_1\in \mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{N}<x \). Además, sabemos que \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), así que existe \( N_2\in \mathbb{N} \) tal que si \( n\geq N_2 \), entonces \( \frac{1}{n}<x\epsilon \). Si tomamos \( N=max\{N_1,N_2\} \) y \( n\geq N \), tenemos que \( \frac{1}{n}<x \) y consecuentemente:
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}<\frac{1}{x}x\epsilon=\epsilon
\)
Así, hemos mostrado que para cada \( x\geq 0 \), \( g_n(x)\rightarrow 0 \) y así se muestra la convergencia puntual.
b)Sea \( c>0 \) y \( \epsilon>0 \). Luego, existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{n_0}<c \). Tambien, como \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), existe \( n_1\in\mathbb{N} \) tal que si \( n>n_1 \) entonces \( \frac{1}{n}<c\epsilon \). Entonces, tomando \( N=max\{n_0,n_1\} \), tenemos que para cada \( n>N \) y cada \( x\geq c \):
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}\leq \frac{1}{nc}<\epsilon
\)
Así, se tiene que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \).
Quisiera saber si lo hecho anteriormente es correcto y también como pruebo que \( g_n \) NO converge uniformemente en \( [0,\infty) \).
