Buenas a todos,
El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( X \) el subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) que consiste del segmento horizontal \( [0,1]\times \{0\} \) junto con los segmentos verticales \( \{r\}\times [0,1-r] \) para cada numero racional en \( [0,1] \). Sea ahora \( Y \) el subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) que es la unión de un numero infinito de copias de \( X \), como se muestra en la figura abajo:
Probar que \( Y \) es contractible pero no retrae por deformación a ningún punto.
Primero que todo les dejo algunos resultados que probé anteriormente:
(1) Si \( X \) retrae por deformación a \( x_0\in X \) entonces para todo entorno \( U \) de \( x_0 \) existe un entorno \( V\subset U \) de \( x_0 \) tal que la inclusión \( i:V\to U \) es homotopicamente trivial
Y como corolario tenemos:
(2) Si \( X \) retrae por deformación a \( x_0 \in X \), entonces para todo \( U \) entorno de \( x_0 \), la componente arcoconexa de \( U \) que contiene a \( x_0 \) contiene un entorno de \( x_0 \).
Los anoto porque
(2) me sirvió anteriormente para probar que un espacio no retraía por deformación a uno de sus puntos.
Lo que pensé para probar que \( X \) no retrae por deformación a ningún punto \( x_0 \), es que sin importar si \( x_0 \) esta en la raya central o alguno de los "palitos" se ve en cualquier caso que tomando entornos \( U \) suficientemente pequeños cualquier entorno \( V \subset U \) resulta no arcoconexo por lo cual no se puede satisfacer
(2), luego no retrae por deformación.
Lo que me cuesta imaginarme es como probar (o acercarme a la idea) que \( X \) es contractible. Me gustaría si me pueden ayudar con eso.
Me "imagino" que podríamos desdoblar la raya central y luego ir empujando hacia el centro los "pelitos" y mover todo hacia la derecha por ejemplo, pero no veo como esto se podría hacer en tiempo finito...
Saludos,
Franco.
