Utilizando los cambios de variable \( \phi=\dfrac{f}{F} \), \( \eta=\dfrac{n}{N} \) y \( \delta=\dfrac{F}{N} \) llego a:

\( P(X=\phi)=\text{nth coef} * [\dfrac{\eta^{\eta}(1-\eta)^{(1-\eta)}}{\phi^{\phi\delta}(1-\phi)^{\delta(1-\phi)}}]^N \)

Y aquí, numéricamente, la única “dificultad” es calcular la potencia a la \( N=10^{7} \) de esa fracción. Progresamos!

Pero cómo conseguir el coeficiente \( n=10^6 \) del polinomio… es una cuestión que por ahora me sobrepasa.

El polinomio queda, con los cambios de variables:

\( [(A)^{\phi}(B)^{(1-\phi)}]^{\delta N} \)

Con \( A \) polinomio de grado \( m\sim{}5 \) y \( B \) polinomio de grado \( y-1\sim{}1 \). Y donde los coeficientes de A y B son extracciones yuxtapuestas de una misma serie.

Por aquí me quedo, a ver cómo logro simplificar el sacar el coeficiente enésimo de dicho polinomio. Toda pista es bienvenida

¡Precioso, el_manco! 

Precioso el argumento, y la relación con el problema de la lotería (ejem bingo) del otro hilo.

Admito que doy un pequeño salto de fe cuando mencionas "se puede razonar que las distintas formas de que en n extracciones se ha rellenado algún cupón, es el coeficiente de grado n del polinomio..." o "Entonces es fácil ver que el número de formas de hacer esa elección es el coeficiente de grado n del polinomio...", pero es porque nunca había visto las funciones generatrices, y wikipedia no me está ayudando. Este finde investigo. El resto del argumento lo sigo y lo entiendo, ¡gracias!

Me pongo a hacer los deberes que me has dejado

1) Pendiente el finde de aprender qué son las funciones generatrices.

2) Funciona para un caso concreto muy simple, pero me da probabilidades imposibles (<100%) en casos donde es seguro que capturamos 1 familia.
Por ejemplo, si tenemos \( N/m = 4 \) familias de \( m=4 \) personas, \( y=3 \) y tomo \( n=9 \) personas de muestra, entonces la probabilidad de capturar 1 familia es del 100%: puedo distribuir 2 personas por familia (=8) y capturar 1 familia con la novena persona de mi muestra. Pero en el excel me sale un número <100%...

Btw, tengo que averiguar cómo automatizar el sacar los coeficientes del polinomio con Excel... sino no voy a poder comprobarlo con números más grandes

3) He probado usando Wolfram Alpha, sin éxito, simplificar la expresión. A lo más que he llegado es a una "función hipergeométrica” inútil…

Gracias el_manco!

Hola,

Sea un país de \( N \) habitantes (sea \( N \) = 100 millones)
Los habitantes están agrupados en familias de \( m \) miembros (sea \( m = 4 \), y por tanto hay 25 millones de familias)
Ahora tomo una muestra de \( n \) personas.

¿Cuál es la probabilidad de que en esa muestra haya capturado \( x \) familias? donde \( x \in{} \left\{{0,1,2,...,\frac{N}{m}}\right\} \)

Definición: Una muestra captura una familia si al menos contiene a \( y \) personas de esta familia, donde \( y \in{} \left\{{1,2,3,..., m}\right\} \).

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Busco una pista para resolverlo.
¿Algún método/algoritmo que se os ocurra? Gracias
He probado sin éxito a contar todas las posibilidades de una versión más reducida del problema (\( N=16 \) personas, con \( m=4 \) personas/familia, \( n=4 \) personas de muestra, \( Y=2 \)).

Btw, me hace ilusión postear en este foro después de tantos años, y ver que hay gente fenomenal aún activa el manco, robinlambada, Carlos, Fernando, ingmarov...

Hola a todos,

Hechos:
1) He estado leyendo un poco la biografía de Ramanujan, Hardy & co., Euler, Jacobi, Bernoulli... todos ellos dedicaron mucho tiempo a establecer identidades, resolver integrales rarísimas, ecuaciones funcionales, y sacar las propiedades de funciones aún más raras.
2) Dos de los profesores más sabios y cracks que he conocido, sino los que más, tienen en su despacho como posesión más valiosa un "handbook" con identidades, resultados de integrales rarísimas y funciones aún más raras. Tanto que si algún estudiante lo pide, le deniegan el acceso aunque vaya contra la norma, y admiten que sólo lo prestarán si la administración de la Escuela les amenaza seriamente 

Pero yo en la vida me he acercado siquiera a tener que usar ni fracciones continuas, ni integrales raras, ni funciones más raras aún. Nunca me han aparecido. Y me huelo que nunca me aparecerán salvo si hago esta pregunta:

PREGUNTA: ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Por qué los grandes se dedican a eso y además le dan tanta importancia, qué interés tienen esas cosas, de dónde surgen, dónde debo buscar para toparme con ellos?

Bueno, sí, una vez tuve un acercamiento. En un curso magnífico que cursé en Alemania de electromagnetismo, trabajábamos con esféricos harmónicos. Pero era para resolver Laplace en esféricas, nada del otro mundo (son sus funciones propias). Pero ya está. Ya está. Nada del otro mundo.
PERO a la vez, los alemanes impartían un curso de "funciones especiales". Li, Li2, hipergeométrica, laaargos etcéteras. Ahí, de nuevo, esa gente le daba importancia a esas cosas.

¿Alguien conoce la respuesta a mi PREGUNTA? 

¡Muchas gracias!

El final del vídeo me ha encantado, muy, muy bueno

¡¡¡Es verdad!!!

Muchísimas gracias, Carlos!!

Un alumno se enfrenta a un examen.

El examen es sobre un libro de 30 capítulos. El profesor eligirá al azar 4 de estos capítulos, y selos dará al alumno.
Éste eligirá de entre ellos 2, y de esos 2 se examinará.

Si el alumno se ha estudiado X capítulos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno pueda escoger 2 que se sepa?

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Está clara la estrategia de Casos favorables/Casos totales, y sé que, por ejemplo, las combinaciones posibles de tomar 4 capítulos de entre 30 está dada por \( C^4_{30} \)... pero no doy para más  ojalá las combinaciones se pudieran reducir a ecuaciones diferenciales 

Denoto la probabilidad de que haya n temas que me sepa entre los 4 que salgan al azar como P(n).
Lo que busco será \( P(2)+P(3)+P(4)=1-(P(0)+P(1)) \).

Básicamente, hay que calcular la función \( P(n) \)

¡Es muy interesante! ¡Gracias!

A lo mejor no se me ha cargado bien en mi ordenador, pero no veo de dónde sale la condición 2, ni el 1, ni la T.

Yo solo veo una condición, suficiente, que exista un \( \delta \) tal que \( \delta>0 \) y \( |x-2|>\delta \) (implícitamente, hay otra condición, que \( \delta \) pertenezca a un conjunto ordenado adecuado que incluya al 0, tal como los reales o los naturales).

Que exista ese \( \delta \) es suficiente para que la conclusión se dé.

Un punto no es una normal La normal es un vector. Y claro, depende del punto que consideres: a veces va para arriba, otras para abajo, otras para los lados... ¿Sabes calcular la normal de esa superficie para un punto cualquiera? Y luego puedes particularizarlo para el punto que te piden, es una manera de hacerlo.