Hola
1) Sea \( V \) el espacio vectorial de polinomios \( p(x)\in\mathbb{R}\left[x\right] \) con grad \( \leq{15} \) y sea \( W=\{p(x)\in V: \displaystyle\int_{0}^{3}p(x)dx=0 y p^{\prime}(3)=0\} \) pruebe que la dimensión de \( W \) es igual a \( 14 \).
Siento que este problema es sencillo pero no vi como resolverlo, se que lo ideal seria encontrar una base y ver que tiene \( 14 \) elementos, se que la dimensión de \( V \) debe de ser \( 16 \) por lo que solo tendría (pienso yo) que ver que en \( W \) los mismos vectores que generan a \( V \) salvo dos de ellos, generan a \( W \). Pero no vi como hacerlo.
Como siempre en estos casos a la hora de concretar depende un poco de los resultados previos que puedas usar. El camino usual sería el siguiente.
Se sabe que la dimensión del espacio vectorial de polinomios reales de grado menor o igual que \( n \) es \( n+1 \).
Una base del mismo es \( \{1,x,x^2,\ldots,x^n\} \). En nuestro caso \( n=15 \).
Todo polinomio se expresa en esa base trivialmente:
\( p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n \)
de forma que sus coordenadas en tal base son \( (a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n) \).
Ahora las condiciones que definen \( W \) se traducen en ecuaciones implícitas que relacionan las coordenadas de un polinomio:
\( \displaystyle\int_{0}^{3}p(x)dx=0\quad \Leftrightarrow{}\quad \displaystyle\sum_{k=0}^{15}{}\dfrac{3^{k+1}}{k+1}a_k \)
\( p'(3)=0 \Leftrightarrow{}\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{15}{}k3^{k-1}a_k=0 \)
Como son dos ecuaciones independientes la dimensión de la solución del sistema que definen, es decir, del subespacio es:
\( 16-2=14 \)
2) Sea \( M \) una matriz cuadrada de orden \( 1000 \) con entradas todas iguales a \( 1 \), pruebe que el polinomio característico en la variable \( t \) es \( t^{999}(t-1000) \).
En este problema me pareció correcto usar inducción y probar que el resultado era cierto para cualquier \( n \) pero cuando estaba sacando las cuentas me quedaron cosas que me confundieron mucho, ademas que al parecer siempre me aparecía al aplicar el método de Laplace que todas las matrices (salvo una) tenían toda una fila cuyos elementos son iguales a \( 1 \) y sentí que el proceso iba mal. En este problema, ¿Esta mal intentar hacerlo por inducción? ¿deberia de hacerlo directamente para 1000? ¿Cual seria mas sencilla? ¿Hay una manera de resolver el problema sin sacar demasiadas cuentas?
Puedes calcular el polinomio característico, es decir \( det(A-t\cdot Id) \), directamente. Para ello sigue estos pasos:
- Suma a la primera todas las filas. Te quedará en ese primera fila una con todos los términos iguales a \( 1000-t. \)
- Saca \( (1000-t) \) como factor común en la primera fila. Te quedará una fila de unos.
- Resta la primera fila a todos los demás. Te queda a una matriz triangular superior, con términos \( (1,\underbrace{-t,-t,\ldots,-t}_{999}) \) en la diagonal. Su determinante es el producto de esos términos.
Saludos.
