[TimOver]

Hola a todos! No sé que metodo aplicar para resolver este ejercicio, ni tampoco cómo aplicar correctamente la condición que te dan.

El ejercicio dice así:

Considere la ecuación:
\( x(1-x)y'' + (\frac{1}{2}-\frac{7}{3}x)y'-\frac{1}{3}y=0 \)

Sean \( y(x), z(x) \hspace{0,4cm}(0<x<1) \) dos soluciones de esta ecuación que satisfacen \( y(1/3)z'(1/3) - z(1/3)y'(1/3) = 0 \). Calcular \( y(2/3)z'(2/3) - z(2/3)y'(2/3). \)

[ani_pascual]

Hola a todos! No sé que metodo aplicar para resolver este ejercicio, ni tampoco cómo aplicar correctamente la condición que te dan.

El ejercicio dice así:

Considere la ecuación:
\( x(1-x)y'' + (\frac{1}{2}-\frac{7}{3}x)y'-\frac{1}{3}y=0 \)

Sean \( y(x), z(x) \hspace{0,4cm}(0<x<1) \) dos soluciones de esta ecuación que satisfacen \( y(1/3)z'(1/3) - z(1/3)y'(1/3) = 0 \). Calcular \( y(2/3)z'(2/3) - z(2/3)y'(2/3). \)

Hola:
Te sugiero que intentes  relacionar \( (yz')' \) con \( (zy')' \)

Spoiler

Si no me he equivocado en el razonamiento...
\( (yz')'=y'z'+yz''=y'z'+\dfrac{1}{3x(1-x)}zy+\left(\dfrac{\frac{7}{3}x-\frac{1}{2}}{x(1-x)}\right)z'y \)
Por otro lado,
\( (zy')'=z'y'+zy''=z'y'+\dfrac{1}{3x(1-x)}zy+\left(\dfrac{\frac{7}{3}x-\frac{1}{2}}{x(1-x)}\right)y'z \)
Así pues,
\( (yz'-zy')'=\left(\dfrac{\frac{7}{3}x-\frac{1}{2}}{x(1-x)}\right)(z'y-y'z)\Longrightarrow yz'-zy'=Ke^{\displaystyle\int \dfrac{\frac{7x^2}{6}-\frac{x}{2}}{x(1-x)}dx} \).
 Como \( y\left(\frac{1}{3}\right)z'\left(\frac{1}{3}\right)-y\left(\frac{1}{3}\right)z'\left(\frac{1}{3}\right)=0\Longrightarrow K=0\Longrightarrow y\left(\frac{2}{3}\right)z'\left(\frac{2}{3}\right)-y\left(\frac{2}{3}\right)z'\left(\frac{2}{3}\right)=0 \)

[cerrar]

Saludos

[TimOver]

Muchas gracias, ya lo había resuelto, yo conozco lo que aplicaste como fórmula de Liouville, y como el Wronskiano para ese valor inicial es 0, pues el Wronskiano para cualquier x e y es 0, no?