[GMat]

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \). Sea \( D \) la derivada direccional de \( M \). Sea \( T \) el campo de vectores tangentes unitarios del circulo \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

Realmente no se como proceder con el problema, la primera duda que tengo es referente a la dimensión, cuando tome el campo vectorial, ´¿los vectores de la base serán de dimensión \( n \) o de dimensión \( 2 \)? Otra duda que tengo es sobre la definición de derivada direccional \( D_TT \), en la definición, si \( T=\sum v^i\partial_i \), ¿cómo sería \( T(v^i) \)? Tomando \( T(x,y)=(-y,x) \) y ¿como sería este campo expresado en la forma \( T=\sum v^i\partial_i \)?.

Pido disculpas ya que posiblemente esto sea solo un problema de cuentas y se que las dudas que planteé son problemas conceptuales pero como tuve varias dudas preferí preguntar.

Gracias de antemano por toda la ayuda que me puedan dar.

[Luis Fuentes]

Hola

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \). Sea \( D \) la derivada direccional de \( M \). Sea \( T \) el campo de vectores tangentes unitarios del circulo \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

Sinceramente no veo claro el enunciado tampoco. No me queda claro de a que círculo \( S^1  \)se refiere; no me queda claro como se supone que está embebido en la subvariedad o en el espacio ambiente.

Saludos.

[GMat]

¡Saludos! Que raro que no me llegó el correo notificandome que me habían respondido, en fin.

El problema lo saqué de libro de Loring W. Tu "Differential Geometry: Conexions, Curvature and Characteristic Classes" y dice lo siguiente:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \),\(  \mathcal{X}(M) \) el conjunto de campos vectoriales en \( M \) y  \( \Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \) el conjunto de las secciones del fibrado tangente \( T\mathbb{R}^n \). Sea

\( D:\mathcal{X}(M)\times\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

La derivada direccional en \( M \). Dado que \( \mathcal{X}(M)\subset\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \). Podemos restringir \( D \) a \( \mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M) \) para obtener:

\( D:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

Sea \( T \) el campo tangente unitario a \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya entendí.

 Tienes que considerar el caso particular de \( S^1 \) como subvariedad de \( \mathbb{R}^2 \) y probar que la derivada direccional del cambo de vector tangentes unitarios a \( S^1 \) en con respecto a su propia dirección da un vector NO tangente a \( S^1 \).

Saludos.