[Michel]

Demostrar que el área S de un triángulo ABC puede expresarse de las siguientes formas

S=pr=(p-a)ra=(p-b)rb=(p-c)rc

siendo p el semiperímetro y r, ra, rb, rc los radios de las circuncunferencias inscrita y exinscritas tangentes a los lados BC=a, CA=b y AB=c, respectivamente.

[Michel]

Sea I el incentro, centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

(ABC)=(AIB)+(BIC)+(CIA)=AB.r/2+BC.r/2+CA.r/2=(AB+BC+CA)r/2=p.r, siendo p el
semiperímetro del triángulo.

Sea Ia el exincentro correspondiente al ángulo A.

(ABC)=(ABIa)+(ACIa)-(BCIa)=AB.ra/2+AC.ra/2-BC.ra/2=(AB+AC-BC)ra/2=(c+b-a)ra/2        (1)

Sumando y restando a a c+b-a: a+c+b-2a=2p-2a=2(p-a)

Sustituyendo en (1): el área S=(p--a)ra

Análogamente se obtiene: S=(p-b)rb=(p-c)rc