Autor Tema: Problema con los signos en una ecuación diferencial exacta

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12 Junio, 2014, 10:06 pm
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fjramirez

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Hola gente!!

Tengo la siguiente ecuación:

\( 2(ye^{2x}-cos(2x))-y'(2y-e^{2x})=0 \)

Resolvemos:
\( (-2ye^{2x}+2cos(2x))dx+(2y-e^{2x})dy=0 \)

\( M=-2ye^{2x}+2cos(2x) \)
\( N=2y-e^{2x} \)


\( \frac{dM}{dy}=-2e^{2x} \)
\( \frac{dN}{dx}=-2e^{2x} \)

Ecuación Diferencial Exacta
\( g(x,y)=\displaystyle\int_{}^{}Ndy=y^2-ye^{2x}+h(x) \)
\( g'=-2e^{2x}+h'(x) \)
\( g'=M; -2e^{2x}+h'(x)=-2e^{2x}+2cos(2x); h'(x)=2cos(2x) \)
\( h(x)=\displaystyle\int_{}^{}h'(x)dx=sen(2x)+c \)
\( g(x,y)=y^2-ye^{2x}+sen(2x)+c \)
\( c=y^2-ye^{2x}+sen(2x) \)

A la hora de despejar c, tengo puesto en mis apuntes que da igual el signo por ser una constante; pero viendo este mismo ejercicio aquí https://www.youtube.com/watch?v=NUSe3qZzq54 le sale con todos los signos cambiados. ¿Esto afecta? ¿Estaría mal el resultado?

12 Junio, 2014, 10:27 pm
Respuesta #1

ingmarov

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...
\( g(x,y)=\displaystyle\int_{}^{}Ndy=y^2-ye^{2x}+h(x) \)
\( g'=-2e^{2x}+h'(x) \)
...

Tienes un error aqui

\( \displaystyle \frac{dg}{dx}=-2ye^{2x}+h'(x) \)

En cuanto a tu pregunta no creo que afecte.

Editado

Si cambiamos todos los signos de tu solución nos queda.

\( g(x,y)=-y^2+ye^{2x}-sen(2x)+c \)

\( \displaystyle \frac{dg}{dx}=2ye^{2x}-2cos(2x) \)

\( \displaystyle \frac{dg}{dy}=-2y+e^{2x} \)


Si te fijas el unico efecto que tiene es de multiplicar toda la ecuación diferencial por -1



No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

12 Junio, 2014, 11:59 pm
Respuesta #2

fjramirez

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\( g(x,y)=\displaystyle\int_{}^{}Ndy=y^2-ye^{2x}+h(x) \)
\( g'=-2e^{2x}+h'(x) \)
...

Tienes un error aqui

\( \displaystyle \frac{dg}{dx}=-2ye^{2x}+h'(x) \)

En cuanto a tu pregunta no creo que afecte.

Editado

Si cambiamos todos los signos de tu solución nos queda.

\( g(x,y)=-y^2+ye^{2x}-sen(2x)+c \)

\( \displaystyle \frac{dg}{dx}=2ye^{2x}-2cos(2x) \)

\( \displaystyle \frac{dg}{dy}=-2y+e^{2x} \)


Si te fijas el unico efecto que tiene es de multiplicar toda la ecuación diferencial por -1

Ok, muchas gracias!!!  ;)

27 Junio, 2014, 10:15 am
Respuesta #3

diegomostoles

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Tengo el mismo problema que tú, entonces el resultado estaría bien dado si nos da todo con el signo cambiado?

27 Junio, 2014, 10:34 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Tengo el mismo problema que tú, entonces el resultado estaría bien dado si nos da todo con el signo cambiado?

Si; si estás dando la solución de la ecuación diferencial mediante una ecuación implícita el cambio de signo no afecta, ya que las ecuaciones:

\( g(x,y)=0 \)      y    \( -g(x,y)=0 \)

son equivalentes, es decir, determinan la misma relación entre \( x \) e \( y \).

Saludos.