Autor Tema: Ecuación hiperbolica

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12 Junio, 2014, 09:28 pm
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pablov

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Hola, he aquí nuevamente en busca de su ayuda, me dieron este ejercicio para resolver en un parcial pero no lo pude resolver, aplique las definiciones de cosh y no llegaba buen lugar, en una parte llegue a que el resultado era 1/3 pero cuando volvía a remplazar para verificar era incorrecto, me pueden ayudar?


Demostrar que la ecuación admite una solución real.

\( \cosh( x ) - 3x + 1 = 0 \)

use una calculadora de ecuaciones y me dice que no tiene raíces, pero usando un graficador me muestra que tiene dos raíces.

Saludos.

12 Junio, 2014, 10:02 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Deberás utilizar métodos numéricos. Como Newton-Raphson, punto fijo, punto medio.

TE DOY UNA
Spoiler
Utilizo Newton-Raphson

\( x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^\prime(x)} \)

He graficado la función y se ve que las raices están entre x=0 y x=3

Usare 0 como valor inicial

\( \displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{\cosh(x) - 3x+1}{\sinh(x)-3} \)

\( \displaystyle x_{n+1}=0-\frac{\cosh(0) - 3(0)+1}{\sinh(0)-3}=2/3 \)   Primera iteración

\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{2}{3}-\frac{\cosh(\frac{2}{3}) - 3(\frac{2}{3})+1}{\sinh(\frac{2}{3})-3}=0.767670 \) Segunda iteración

\( \displaystyle x_{n+1}=0.767670-\frac{\cosh(0.767670) - 3(0.767670)+1}{\sinh(0.767670)-3}=770643 \) Tercera Iteración.

Despues de algunas Iteraciones el valor está tendiendo a 0.770645993

Editado

Ya que esta claro que no era el objetivo calcular lar raices sino que demostrar su existencia, pongo la otra raiz 2.60832509

Lo hice en un programa similar a excel. Aunque se puede utilizar una calculadora común y corriente.
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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12 Junio, 2014, 10:57 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Pero si sólo te piden probar que al menos tiene una raíz real (pero no hallarla) es suficiente que uses el teorema de Bolzano.

 Dado que:

\(  cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \)

\(  es claro que \displaystyle\lim_{x \to{\pm }\infty}{}cosh(x)-3x+1=+\infty \)

 Por tanto basta encontrar un punto donde la función \( f(x)=cosh(x)-3x+1 \) tome valores negativos.

 Pero:

\(  f(2)=\dfrac{e^2+e^{-2}}{2}-6+1<\dfrac{9+1}{2}-6+1=0 \)

Saludos.

12 Junio, 2014, 11:00 pm
Respuesta #3

ingmarov

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el_manco tienes razón. Gracias, me enfoque en las raices y no en el objetivo del problema.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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12 Junio, 2014, 11:06 pm
Respuesta #4

pablov

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gracias ingmarov.
gracias el_manco, justo hiba a preguntar si con bolzano se podía demostrar.

Saludos.

PD: puedo preguntar otro ejercicio en este mismo o creo otro tema?

12 Junio, 2014, 11:11 pm
Respuesta #5

ingmarov

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mejor crea otro.
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