Autor Tema: Raíces de una ecuación. ¿Rahpson?

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11 Junio, 2014, 01:48 pm
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lauramartin

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Hola a todos de nuevo!!

Tengo este problema que hacer, os lo pongo y os comento como lo veo yo haber a ver si voy bien encaminada.

Demuestra que la ecuación \( x^{2}+x-(2/3)e^{x}=0 \) tiene 3 y solo 3  soluciones reales. Calcula aproximadamente la mayor de ellas con un error menor que \( 10^{-4} \)

Utilizo Bolzano para demostrar que si corta al eje, el intervalo lo supongo yo y veo si va cumpliendo y a partir de ahí ese intervalo lo divido en subintervalos y veo si para cada uno de ellos cumple Bolzano y en caso contrario abandono ese subintervalo?

Otra duda que me surge Una vez que tenga los intervalos en los que están las soluciones, ¿utilizo el método de la bisección para ir acotando esos intervalos o el método de Newton Rahpson?

¿Si utilizara Rapshon llegaría a una solución única?

La expresión del error la desconozco pero suponiendo que fuera Rahpson, ¿hago las iteraciones necesarias para tener la raíz con las cifras decimales exactas tal que el error sea menor que el que me piden?
¿Me podéis recomendar algún sitio donde vea problemas de este tipo?
Muchas gracias a todos


12 Junio, 2014, 01:16 am
Respuesta #1

lauramartin

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Alguien que me precise por favor si voy encaminada?
Y si me puntualizara como se que tiene solo 3 y olo 3 raices reales?uso rolle?

12 Junio, 2014, 02:27 am
Respuesta #2

ingmarov

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Con raphson deberás encontrar todos los intervalos donde la función tenga raices. Y para cada intervalo encontrado, Raphson podrá darte una raiz diferente. Escoge un intervalo bastante próximo a la raiz. Deberás tomar de este intervalo un valor para comenzar tus iteraciones con Raphson.
Te recomiendo graficar la función, eso te facilitará encontrar los intervalos. Y/O utiliza Bolzano
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

12 Junio, 2014, 09:54 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Para ver que el número máximo de raíces es tres, nota que por el Teorema de Rolle si \( M \) es el número exacto de raíces de \( f(x) \) entonces \( f'''(x) \) tiene al menos \( M-3 \) raíces.

 En tu caso:

\(  f(x)=x^2+x-\dfrac{2}{3}e^x,\quad f'(x)=2x-\dfrac{2}{3}e^x,\quad f''(x)=2-\dfrac{2}{3}e^x,\quad f'''(x)=-\dfrac{2}{3}e^x  \)

 Dado que \( f'''(x) \) no se anula nunca, \( M-3\leq 0 \), es decir, \( M\leq 3 \).

Saludos.

12 Junio, 2014, 11:35 am
Respuesta #4

lauramartin

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Muchisimas gracias manco
Permitirme otra duda,he graficado la función para hacerme una idea de las raíces y se que están comprendidas entre los intervalos\( (-2,-1),(0,1),(2,3) \),mi duda es, para hallar las raíces de cada intervalo,¿Empiezo con newton Raphon en el punto medio de cada intervalo??
¿Podría ocurrir que empezando en un determinado intervalo para hallar una determinada solución,convergiera a otra solución fuera de dicho intervalo??
Son mas dudas que me surgen.gracias manco por tu amabilidad

12 Junio, 2014, 12:07 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Muchisimas gracias manco
Permitirme otra duda,he graficado la función para hacerme una idea de las raíces y se que están comprendidas entre los intervalos\( (-2,-1),(0,1),(2,3) \),mi duda es, para hallar las raíces de cada intervalo,¿Empiezo con newton Raphon en el punto medio de cada intervalo??
¿Podría ocurrir que empezando en un determinado intervalo para hallar una determinada solución,convergiera a otra solución fuera de dicho intervalo??
Son mas dudas que me surgen.gracias manco por tu amabilidad

Hay teoremas que te aseguran la convergencia del método a un sólo punto en un determinado intervalo. Son los Teoremas globales de convergencia. Mira por ejemplo la página 16 de estas notas:

http://www.ugr.es/~mpasadas/ftp/Tema2_apuntes.pdf

Ahora bien, en esto siempre hay una suerte de "ensayo-error" es decir no se puede "calcular" a priori que intervalo será adecuaco para aplicar el método y asegurar la convergencia a tal o cual raíz. Siempre tendremos que escoger uno y comprobar si cumple el teorema de convergencia o bien directamente si converge a la raíz adecuada.

Saludos.

12 Junio, 2014, 01:41 pm
Respuesta #6

lauramartin

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muchas gracias.muy util ;D Gracias :aplauso: