Autor Tema: ¿Por qué la integral de 1/x es negativa en el intervalo (-1,0]?

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10 Junio, 2014, 09:58 pm
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adrianeitor

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Si definimos la integral de una función como el área bajo la curva de una función, y si ponemos que en el intervalo que la función es negativa, también lo es su integral, pero... ¿Por qué la integral de \( 1/x \) es negativa en el intervalo (-1,0]?

Ya puestos, también voy a formular otra pregunta interesante de la integral de esta función:
¿Por qué no converge? Si tenemos en cuenta que \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(Ent(x)) dx=\sum_{i=1}^n f(i) \) , y tenemos en cuenta que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} \frac{1}{x} \) converge a un número (creo que es la función z de Rienman para n=1, si no recuerdo mal), y que \( k\displaystyle\sum_{i=1}^n{n} \displaystyle\frac{1}{x} \) converge al mismo número multiplicado por \( k \) y que al dibujar la función\(  f(x)=k\displaystyle\frac{1}{Ent(x)} \), la linea de esta función debería quedar por encima de la de \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \) para valores altos de \( k \), y que por lo tanto \( \displaystyle\int_{a}^{b}k\displaystyle\frac{1}{Ent(x)}dx \) deberia ser también mayor que \( \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{1}{x}dx \), ¿Cómo seria posible que \( \displaystyle\int_{a}^{b}k\displaystyle\frac{1}{Ent(x)}dx \) converja a un número mientras que \( \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{1}{x}dx \) sea divergente?

(Perdón si no me he expresado bien, no me llevo bien con el LaTeX)

10 Junio, 2014, 10:33 pm
Respuesta #1

elcristo

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Hola.

Una cosa, la integral de \( 1/x \) no es negativa en el intervalo \( (0,1) \), es divergente, que es muy distinto.

Es una integral impropia de segunda especie. Se calculan haciendo:

\( \displaystyle\int_{0+\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\;dx = \ln1 - \ln(0+\epsilon) \)

El logaritmo neperiano de un número entre 0 y 1 es negativo, luego el resultado es positivo. Haciendo el límite cuando \( \epsilon \) tiende a 0 nos sale que es infinito.

Sin embargo, por ejemplo:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx \) sí converge, y su valor es 2.

De hecho, la integral de \( 1/x^\alpha \) converge para todo \( \alpha \) menor que 1, y diverge para todos los mayores o iguales a 1.

Saludos.

10 Junio, 2014, 10:43 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Además de lo que apunta elcristo, luego tienes un batiburrillo de ideas bastante confuso.

Ya puestos, también voy a formular otra pregunta interesante de la integral de esta función:
¿Por qué no converge? Si tenemos en cuenta que \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(Ent(x)) dx=\sum_{i=1}^n f(i) \) , y tenemos en cuenta que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} \frac{1}{x} \) converge a un número (creo que es la función z de Rienman para n=1, si no recuerdo mal),

En primer lugar no sé en que intevalo estás haciendo el razonamiento. Por como argumentas parece más bien que te refieres al intervalo \( [1,+\infty) \). Por otra parte la serie:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}\dfrac{1}{i} \)

(que creo que es la que querías escribir) es la serie armónica y no converge.

Saludos.

11 Junio, 2014, 03:44 am
Respuesta #3

ingmarov

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Un diferencial de Area bajo la curva de una función, asume que ese diferencial es un rectángulo cuya base es dx, por ejemplo, y su altura es f(x).

Esto es \( dA=f(x)dx \)

Si f(x) es negativa en x entonces este diferencial de Area también lo será.

Para calcular el área en un intervalo [a,b]debemos sumar muchos rectángulos, de base dx, construidos en ese intervalo. A esta suma le llamamos integral.

\( A=\int_a^bf(x)dx \)

Ahora la función \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \)   que es negativa en [-1,0[

No podemos integrarla porque \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{f(x)}\rightarrow{-\infty} \)

Pero si escoges otro intervalo digamos [-1,-0.01]

Entonces podrás integrar y tu integral será negativa.

Para evaluarla deberás considerar que esta es una función impar y que.

\( \displaystyle A=\int_{-1}^{-0.01}\frac{1}{x}dx=-\int_{0.01}^{1}\frac{1}{x}dx \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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