Autor Tema: Hallar la recta tangente a una curva desde un punto exterior

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06 Abril, 2021, 08:41 pm
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N. Domínguez

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Buenas noches:

Estoy repasando el contenido que entra en las Pruebas de Acceso a la Universidad y, en el libro que utilizo para ello (Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, de Anaya), aparece propuesto el siguiente ejercicio:

"Halla las rectas tangentes a cada curva que cumplen la condición que se indica:

\( \displaystyle y = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x - 2 \),

que pasan por el punto \( \displaystyle P(2, 0) \)"

En el temario se explica vagamente el cómo proceder en este tipo de problemas. Siguiendo las indicaciones del libro, hice esto:

El punto de la tangencia, \( \displaystyle T \), es \( \displaystyle T[c, f(c)] \); es decir, \( \displaystyle T(c,\frac{c^{3}}{3} - c^{2} + c - 2) \).

La pendiente de la recta \( \displaystyle PT \) debe ser igual a \( \displaystyle f'(c) \):

\( \displaystyle PT = \frac {f (c) - y_{0}}{c - x_{0}} =  f' (c) \rightarrow{\frac{\frac{c^{3}}{3} - c^{2} + c - 2 - 0}{c - 2} = c^{2} - 2c + 1}; \)

\( \displaystyle ; \frac{c^{3}}{3} - c^{2}+ c - 2 = (c^{2} - 2c + 1)(c - 2); \)

\( \displaystyle ;\frac{c^{3}}{3} - c^{2}+ c - 2 = c^{3} - 2c^{2} + 4c + c - 2; \)

\( \displaystyle ; \frac{-2c^{3} + 9c^{2} - 12c}{3}; \)

\( \displaystyle; \frac{c(-2c^{2} + 9c - 12)}{3} ... \)

No he terminado de desarrollar la expresión porque seguramente esté mal (no solo el desarrollo, sino también el planteamiento). Ahora, cuando reviso en el solucionario la solución (valga la redundancia) a este ejercicio, me encuentro con lo siguiente (está alejado completamente de la teoría que el libro proporciona):

"La pendiente de la recta tangente en \( \displaystyle x = 2, y = 0 \) es: \( \displaystyle y'(2) = 2^{2} - 2 · 2 + 1 = 1 \).

Entonces la recta tangente es: \( \displaystyle y = x - 2. \)"

Así que volviendo al inicio de este tema, ¿cómo puedo hallar la recta tangente a una curva desde un punto exterior? ¿bastaría con calcular la pendiente como se puede apreciar en este caso?

Gracias de antemano.

06 Abril, 2021, 10:43 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Bienvenido al foro. Las indicaciones del libro son correctas y has llegado bien hasta:

\( \displaystyle; \frac{c(-2c^{2} + 9c - 12)}{3} ... \)

Ahora queda

        \( \displaystyle\frac{c(-2c^{2} + 9c - 12)}{3}=0\Leftrightarrow{c=0}\vee -2c^{2} + 9c - 12=0 \),

y la segunda ecuación no tiene soluciones reales. Entonces, la recta pedida pasa por \( (2,0) \) y tiene de pendiente \( f^\prime (0) \) y al ser \( f^\prime (x)=x^2-2x+1 \), queda \( f^\prime (0)=1 \). La solución es por tanto \( y=x-2 \), pero no por las razones que da el solucionario.


07 Abril, 2021, 10:54 am
Respuesta #2

N. Domínguez

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\( \displaystyle; \frac{c(-2c^{2} + 9c - 12)}{3} ... \)

Ahora queda

        \( \displaystyle\frac{c(-2c^{2} + 9c - 12)}{3}=0\Leftrightarrow{c=0}\vee -2c^{2} + 9c - 12=0 \),

y la segunda ecuación no tiene soluciones reales. Entonces, la recta pedida pasa por \( (2,0) \) y tiene de pendiente \( f^\prime (0) \) y al ser \( f^\prime (x)=x^2-2x+1 \), queda \( f^\prime (0)=1 \). La solución es por tanto \( y=x-2 \), pero no por las razones que da el solucionario.



Si no lo he entendido mal, me falta igualar a cero la expresión, y posteriormente sustituir la solución real en \( \displaystyle f(c) \) y \( \displaystyle f' (c) \) para poder resolver la ecuación de la recta tangente, ¿no?

07 Abril, 2021, 12:29 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Si no lo he entendido mal, me falta igualar a cero la expresión, y posteriormente sustituir la solución real en \( \displaystyle f(c) \) y \( \displaystyle f' (c) \) para poder resolver la ecuación de la recta tangente, ¿no? Muchas gracias.

No hace falta \( f(c) \) pues no nececesitas el punto de tangencia \( (c,f(c)) \) de la curva. Ya tienes un punto de la recta tangente, el \( (2,0) \), y su pendiente \( f'(c) \) con \( c=0 \). Basta con eso.

07 Abril, 2021, 01:38 pm
Respuesta #4

N. Domínguez

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Si no lo he entendido mal, me falta igualar a cero la expresión, y posteriormente sustituir la solución real en \( \displaystyle f(c) \) y \( \displaystyle f' (c) \) para poder resolver la ecuación de la recta tangente, ¿no? Muchas gracias.

No hace falta \( f(c) \) pues no nececesitas el punto de tangencia \( (c,f(c)) \) de la curva. Ya tienes un punto de la recta tangente, el \( (2,0) \), y su pendiente \( f'(c) \) con \( c=0 \). Basta con eso.

Después de escribir el mensaje terminé el ejercicio y tiene razón: no es necesario.

¡Muchas gracias!