Autor Tema: Problema de distancia de un punto a una recta.

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27 Marzo, 2021, 02:47 am
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narpnarp

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Hola.
Tengo el siguiente ejercicio y el tema que estoy viendo ahorita es sobre parábolas.

a) Exprese, en función de \( x \) el cuadrado de la distancia \( d \) del punto \( (x,y) \) en la gráfica de \( y=2x \), al punto \( (5,0) \).

b) Use la función de la parte a) para calcular el punto \( (x,y) \) que es el más cercano \( (5,0) \)

Hice a) y me dio \( 5x^2-10x+25=d^2 \)

Cómo estoy viendo parábolas y sé que el punto más bajo se encuentra en el vértice calculé las coordenadas del vértice que son \( (1,20) \) tracé \( x=1 \) y calcule la intersección con \( y=2x  \) que es \( 2 \) , y esta es la respuesta que me da libro \( (1,2) \) pero sólo lo hice porque debía hacer algo, no sé por qué es esto correcto. Para verificarlo calcule el punto de otro modo sin usar parábolas, encontré la recta perpendicular que va del punto \( (5,0) \) y luego mediante un sistema de ecuaciones encontré el punto. Quisiera saber por qué es válido enla forma que lo encontré primero.

Saludos.

27 Marzo, 2021, 04:05 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola


Hola.
Tengo el siguiente ejercicio y el tema que estoy viendo ahorita es sobre parábolas.

a) Exprese, en función de \( x \) el cuadrado de la distancia \( d \) del punto \( (x,y) \) en la gráfica de \( y=2x \), al punto \( (5,0) \).

b) Use la función de la parte a) para calcular el punto \( (x,y) \) que es el más cercano \( (5,0) \)

Hice a) y me dio \( 5x^2-10x+25=d^2 \)

Cómo estoy viendo parábolas y sé que el punto más bajo se encuentra en el vértice calculé las coordenadas del vértice que son \( (1,20) \) tracé \( x=1 \) y calcule la intersección con \( y=2x  \) que es \( 2 \) , y esta es la respuesta que me da libro \( (1,2) \) pero sólo lo hice porque debía hacer algo, no sé por qué es esto correcto. Para verificarlo calcule el punto de otro modo sin usar parábolas, encontré la recta perpendicular que va del punto \( (5,0) \) y luego mediante un sistema de ecuaciones encontré el punto. Quisiera saber por qué es válido en la forma que lo encontré primero.

Saludos.

Citar
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Encontraste que     \[ d^2=5x^2-10x+25 \], en palabras  esta ecuación expresa el cuadrado de la distancia del punto dado (5,0)  hacia cualquier punto (x,y) perteneciente a la gráfica de la función \[ y=2x \]


Hagámos una prueba innecesaria, tomemos \[ x=10 \], para este valor  \[ y=20 \], entonces el punto (10,20) pertenece a la gráfica de la función. ¿Cuál es la distancia desde (10,20) al punto dado (5,0)?  \[ d=\sqrt{(10-5)^2+(20)^2}=5\sqrt{17}\Rightarrow{d^2=\bf\color{blue}425} \]

Probemos la ecuación encontrada con el valor de x=10
 \[ d^2=5(10)^2-10(10)+25=500-100+25=\bf\color{blue}425 \]

Y funciona perfectamente, como debe ser.


\[ d^2=5x^2-10x+25 \]

Esta parábola es cóncava hacia arriba
, por lo que tiene el mínimo absoluto en su vértice. Entonces la coordenada x de del punto del la gráfica de y=2x, cuya distancia es la mínima hacia el punto (5,0) coincide con la coordenada x del vértice de esta parábola.


No sé si esto te ayuda, espero que sí.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

27 Marzo, 2021, 01:15 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola.
Tengo el siguiente ejercicio y el tema que estoy viendo ahorita es sobre parábolas.

a) Exprese, en función de \( x \) el cuadrado de la distancia \( d \) del punto \( (x,y) \) en la gráfica de \( y=2x \), al punto \( (5,0) \).

b) Use la función de la parte a) para calcular el punto \( (x,y) \) que es el más cercano \( (5,0) \)

Hice a) y me dio \( 5x^2-10x+25=d^2 \)

Cómo estoy viendo parábolas y sé que el punto más bajo se encuentra en el vértice calculé las coordenadas del vértice que son \( (1,20) \) tracé \( x=1 \) y calcule la intersección con \( y=2x  \) que es \( 2 \) , y esta es la respuesta que me da libro \( (1,2) \) pero sólo lo hice porque debía hacer algo, no sé por qué es esto correcto. Para verificarlo calcule el punto de otro modo sin usar parábolas, encontré la recta perpendicular que va del punto \( (5,0) \) y luego mediante un sistema de ecuaciones encontré el punto. Quisiera saber por qué es válido en la forma que lo encontré primero.

Saludos.

Es que tu mismo dices el porqué , (lo marqué en negrita)
Por concretar  un poco más la respuesta de ingmarov, como la parábola es convexa (cóncava hacia arriba).
Por ello la función  \( d^2=y(x)=5x^2-10x+25 \), nos da la distancia  de cada coordenada \( x \) de la recta  al punto \( (5,0) \), y buscamos el punto de la recta que haga que la distancia ( osea la función \( y(x)=5x^2-10x+25 \) ) sea mínima y resulta que la función es una parábola teniendo que el vértice es el punto más bajo, es decir el punto de mínima coordenada \( y=d^2 \) que equivale al punto de mínima distancia.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.