Autor Tema: Transformada de laplace integral

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24 Marzo, 2021, 01:41 am
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weimar

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola, como podria calcular :

$$I=\mathcal{L} \Big \{   \int_{0}^{t}   f(t-\tau)^3 f(\tau) d \tau \Big \}$$

Intente aplicar la convolucion asi:

$$  I= \mathcal{L} \{  f  \}   \mathcal{L} \{  f^{3} \} $$

Como consigo reducir $$  \mathcal{L}\{   f^3  \} $$   :banghead: :banghead: :banghead:

24 Marzo, 2021, 07:24 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Una pregunta. ¿Qué dato te dan sobre \( f \)?

Un saludo.

24 Marzo, 2021, 09:38 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
$$  I= \mathcal{L} \{  f  \}   \mathcal{L} \{  f^{3} \} $$

Es correcto.

Como consigo reducir $$  \mathcal{L}\{   f^3  \} $$

No existe ninguna relación adecuada para la transformada de Laplace del producto. Ahora bien, si como dice martiniano conocemos datos sobre \( f \) la cuestion podría cambiar.

24 Marzo, 2021, 01:16 pm
Respuesta #3

weimar

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Buen dia muchachos, en verdad es parte del siguiente problema del libro Zill y dice:
Use la transformada de laplace para resolver la ecucion integral
$$  f(t)=1+t-\frac{8}{3} \int_{0}^{t} f(t-\tau)^{3}f(\tau)d\tau$$


la respuesta es: $$ f(t)=(3/8)e^{2t}+(1/8)e^{-2t}+(1/2) \cos 2t+ (1/4) \sin 2t $$

24 Marzo, 2021, 01:59 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Buen dia muchachos, en verdad es parte del siguiente problema del libro Zill y dice:
Use la transformada de laplace para resolver la ecucion integral
$$  f(t)=1+t-\frac{8}{3} \int_{0}^{t} {\bf\color{red}f}(t-\tau)^{3}f(\tau)d\tau$$


la respuesta es: $$ f(t)=(3/8)e^{2t}+(1/8)e^{-2t}+(1/2) \cos 2t+ (1/4) \sin 2t $$

Creo que la f que he puesto en rojo, no va. Eso cambia todo.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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24 Marzo, 2021, 02:36 pm
Respuesta #5

weimar

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OK, gracias, es error del libro entonces. Bueno resolviendo consegui:

$$ F(s)=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}-\frac{8}{3} \mathcal{ L} \{ -f* t^3 \}\Rightarrow{    F(s)= \frac{s^3+s}{s^4-16}= \frac{3}{8(s^2+4)} +\frac{5}{16(s+2)}+\frac{5}{16(s-2) }  }$$

Aplicando la inversa resulta :

$$f(t)= \frac{5}{16}e^{-2t}+\frac{5}{16}e^{2t}+\frac{3}{8}\cos 2t $$

que es diferente de la respuesta, o  em que estare errando  :-\ :-\ :-\ :-\

24 Marzo, 2021, 04:06 pm
Respuesta #6

ingmarov

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OK, gracias, es error del libro entonces. Bueno resolviendo consegui:

$$ F(s)=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}-\frac{8}{3} \mathcal{ L} \{ {\color{red}-}f* t^3 \}\Rightarrow{    F(s)= \frac{s^3+s}{s^4-16}= \frac{3}{8(s^2+4)} +\frac{5}{16(s+2)}+\frac{5}{16(s-2) }  }$$

Aplicando la inversa resulta :

$$f(t)= \frac{5}{16}e^{-2t}+\frac{5}{16}e^{2t}+\frac{3}{8}\cos 2t $$

que es diferente de la respuesta, o  em que estare errando  :-\ :-\ :-\ :-\

El signo menos en rojo no sé por qué lo pones, algo no estoy rercordando o habrá un problema de signos en el problema porque,

A ver si   \[  F(s)=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}{\color{red}+}\frac{8}{3} \mathcal{ L} \{f* t^3 \}=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}+\frac{8}{3} F(s)\dfrac{3!}{s^4}=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}+16 F(s)\dfrac{1}{s^4} \]

\[ \Rightarrow F(s)\left(1-16 \dfrac{1}{s^4}\right)= \frac{s+1}{s^2}\Rightarrow F(s)=\left(\dfrac{s^4}{s^4-16}\right) \frac{s+1}{s^2} \]

\[ F(s)=\dfrac{s^3+s^{\bf\color{red}2}}{s^4-16} \]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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24 Marzo, 2021, 04:20 pm
Respuesta #7

weimar

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Hola, lo puse porque de acuerdo a la definicion que es:
$$ f*g=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d\tau $$
asi para nuestro caso tomando $$ g(t)=t^3  , f(t)=f(t) \Rightarrow{  -f*t^{3}=-\int_{0}^{t}f(\tau) (t-\tau)^3 d \tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(\tau-t)^{3} d \tau   } $$
y esto ultimo es exactamente el termino que deseo aplicar la transformada

Hubo un error cuando escribi el problema inicial, deve ser asi:

$$f(t)=1+t-\frac{8}{3}\int_{0}^{t} (\tau-t)^{3} f(\tau) d\tau$$

24 Marzo, 2021, 04:36 pm
Respuesta #8

Abdulai

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OK, gracias, es error del libro entonces. Bueno resolviendo consegui:

$$ F(s)=\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2}-\frac{8}{3} \mathcal{ L} \{ -f* t^3 \}\Rightarrow{    F(s)= \frac{s^3+s}{s^4-16}= \frac{3}{8(s^2+4)} +\frac{5}{16(s+2)}+\frac{5}{16(s-2) }  }$$

Es \(  F(s)= \dfrac{s^3+s}{s^4-16}= \frac{1}{2}\dfrac{s}{s^2 + 4} + \frac{1}{2}\dfrac{1}{s^2 + 4} + \frac{3}{8}\dfrac{1}{s - 2} + \frac{1}{8}\dfrac{1}{s+2} \)

24 Marzo, 2021, 04:42 pm
Respuesta #9

ingmarov

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...

Hubo un error cuando escribí el problema inicial, debe ser así:

$$f(t)=1+t-\frac{8}{3}\int_{0}^{t} (\tau-t)^{3} f(\tau) d\tau$$

Ah, ahora entiendo.

Revisa los exponentes del numerador de F(s)  A mí me resulta lo que te he puesto \[ s^3+s^{\bf\color{red}2} \]


Saludos
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