Autor Tema: Soluciones de una ecuación diferencial

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05 Marzo, 2021, 08:24 pm
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alucard

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Hola tengo el siguiente enunciado

Sea \( y=f(x) \) una solución de \( y'+a(x)y=\sen x \) e \( y=g(x) \) una solución de \( y'+a(x)y=x^2 \).

Entonces una solución de \( y'+a(x)y=-3x^2+2 \sen x \) es:


Lo único que pude plantear es 

\( f'(x)+a(x)f(x)=\sen x \) y

\( g'(x)+a(x)g(x)=x^2 \)

Y la verdad no sé como continuar  :banghead:

Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

05 Marzo, 2021, 09:24 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

A ver, si \[ y=k\cdot f(x)+t\cdot g(x) \]    y derivamos   \[ y'=k\cdot f'(x)+t\cdot g'(x) \]   (donde \( k \textrm{ y } t \) son constantes).

Tenemos      \[ {\bf y' +a(x)y}=(k\cdot f'(x)+t\cdot g'(x))+a(x)(k\cdot f'(x)+t\cdot g'(x))=k\cdot( \underbrace{f'(x)+a(x)f(x)}_{sen(x)})+t\cdot(\underbrace{g'(x)+a(x)g(x)}_{x^2})=k\cdot sen(x)+t\cdot x^2 \]

Revisa

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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05 Marzo, 2021, 09:25 pm
Respuesta #2

weimar

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Hola, no seria $$\phi(x)= 2f(x)-3g(x)$$  la solucion de $$ y'+a(x)y=2\sin x-3x^2$$

05 Marzo, 2021, 10:35 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, no seria $$\phi(x)= 2f(x)-3g(x)$$  la solucion de $$ y'+a(x)y=2\sin x-3x^2$$

Si; pero es lo que está sugiriendo ingmarov. Muestra como tomando una combinación lineal de las dos soluciones consigue una solución de la ecuación diferencial con la combinación lineal análoga de los términos independientes.

Saludos.

05 Marzo, 2021, 11:55 pm
Respuesta #4

ingmarov

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...
Me gusta tu demostración pero llamar t a una constante me ha despistado un poco.

 :banghead:  Olvidé poner esa aclaración, ahora lo añado.
Sé que lo común es utilizar t  como un parámetro, pero la escogí esta vez como constante. ::) ::)

Saludos maestro.




ingmarov responde aquí a un mensaje previo de ancape que he trasladado aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115428.msg463548#msg463548

porque presenta una "solución alternativa" incorrecta al problema. Los interesados en ella sólo tienen que pinchar en el enlace.

Carlos Ivorra
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