[mxxny]

Hola, tengo una duda al resolver la siguiente integral, que se me indica que debo resolver mediante cambio a coordenadas cilíndricas:

Me dan los abiertos $$U= \mathbb{R}^{+} \times \left] -\pi, \pi \right[ \times \mathbb{R}$$, $$V= \mathbb{R}^{3} \backslash \{(x,0,z) : x \leq 0 \}$$, y la aplicación $$\phi : U \longrightarrow V$$, definida por $$\phi (\rho, \theta, z)=(\rho \cos {\theta}, \rho \sin{\theta}, z).$$

Se pide el cálculo de la siguiente integral:
$$\int_{E} \sqrt{x^2+y^2+z^2}d(x,y,z)$$, siendo $$E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 3\}$$

He calculado $$\phi^{-1}(E)$$, que me da el conjunto $$\phi^{-1}(E)=\{(\rho, \theta, z) \in U : \rho \leq z \leq 3 \}$$ y he usado el Teorema de Cambio de Variable y el de Fubini para calcular la integral, que me queda:
$$\int_{-\pi}^\pi \int_\rho^3 \int_0^z \rho \sqrt{\rho^2 + z^2} d\rho~dz~d\theta$$


 Ahora bien, la duda me surge a la hora de definir los intervalos de la integral cuya variable es $$\rho$$ en el teorema de Fubini, ¿debería esa integral estar definida en $$[0,z]$$ (como lo está arriba) o bien en $$[0,3]$$, pues z se mueve entre $$\rho$$ y 3?

Muchas gracias de antemano.

[pierrot]

Ahora bien, la duda me surge a la hora de definir los intervalos de la integral cuya variable es $$\rho$$ en el teorema de Fubini, ¿debería esa integral estar definida en $$[0,z]$$ (como lo está arriba) o bien en $$[0,3]$$, pues z se mueve entre $$\rho$$ y 3?

Las dos formas equivalentes serían:

1) \( \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \int_0^3 \int_0^z \rho \sqrt{\rho^2 + z^2} d\rho~dz~d\theta \)

2) \( \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \int_0^3 \int_\rho^3 \rho \sqrt{\rho^2 + z^2} dz~d\rho~d\theta \)

Saludos

[mxxny]

Creo que ya lo entendí: en 1) la variable $$z$$ queda libre y $$\rho$$ depende de $$z$$ y en 2) lo estamos haciendo al contrario, ¿es así?

[robinlambada]

Creo que ya lo entendí: en 1) la variable $$z$$ queda libre y $$\rho$$ depende de $$z$$ y en 2) lo estamos haciendo al contrario, ¿es así?

Visto de ese modo, si es correcto.

[mxxny]

Perdona, robinlambada, ¿podría decirme cuál sería el otro modo de verlo?
Gracias y saludos.

[pierrot]

Creo que ya lo entendí: en 1) la variable $$z$$ queda libre y $$\rho$$ depende de $$z$$ y en 2) lo estamos haciendo al contrario, ¿es así?

Exactamente. Para 1), por ejemplo, \( \theta \) varía entre \( -\pi \) y \( \pi \) porque queremos recorrer los 360 grados. Ahora dado un ángulo fijo, ¿entre qué y qué varía \( z \)? ¿Alguno de esos valores depende de \( \theta \)? La respuesta es que no. Para todo \( \theta \), hay que ir desde el plano \( z=0 \) (donde está el vértice del cono) hasta su base en \( z=3 \). Ahora dado \( \theta,z \) fijos, me pregunto: ¿entre qué y qué varía \( \rho \)? Está claro que hay que ir en \( \rho \) desde \( \vec{Oz} \) (\( \rho=0 \)) hasta las paredes del cono (circunferencia \( x^2+y^2=z^2) \). El radio de esta circunferencia es precisamente \( \rho=z \).

Puedes hacer un razonamiento análogo para 2).

[pierrot]

Exactamente. Para 1), por ejemplo, \( \theta \) varía entre \( -\pi \) y \( \pi \) porque queremos recorrer los 360 grados. Ahora dado un ángulo fijo, ¿entre qué y qué varía \( z \)? ¿Alguno de esos valores depende de \( \theta \)? La respuesta es que no. Para todo \( \theta \), hay que ir desde el plano \( z=0 \) (donde está el vértice del cono) hasta su base en \( z=3 \). Ahora dado \( (\theta,z) \) fijos, me pregunto: ¿entre qué y qué varía \( \rho \)? Está claro que hay que ir en \( \rho \) desde \( \vec{Oz} \) (\( \rho=0 \)) hasta las paredes del cono (circunferencia \( x^2+y^2=z^2) \). El radio de esta circunferencia es precisamente \( \rho=z \).

Por cierto, ayuda a veces imaginar qué región del espacio vas abarcando en la medida que pones los límites de integración. Al principio, \( \theta \) variando entre \( -\pi \) y \( \pi \). Con esto, sin más restricciones, estás abarcando a todo el espacio \( \mathbb{R}^3 \). Ahora, para cada \( \theta \) fijo, vas en \( z \) de \( z=0 \) a \( z=3 \). O sea que en este punto, el recinto de integración viene siendo el espacio tridimensional comprendido entre los planos \( z=0 \) y \( z=3 \). Resta ahora agregar alguna restricción en \( \rho \) para eliminar todo el espacio "sobrante" al cono invertido. Al decir que para cada \( \theta,z \) fijos, vas en \( \rho \) de \( \rho=0 \) a \( \rho=z \), ahí sí estás "recorriendo" exclusivamente (como recinto de integración) al cono que querías.

[robinlambada]

Perdona, robinlambada, ¿podría decirme cuál sería el otro modo de verlo?
Gracias y saludos.

Bueno no me refería a ningún modo en particular, solamente he querido hacer hincapié en que yo no suelo usar el término libre para una variable, suelo usar dependiente e independiente en vez de libre. No tiene mayor trascendencia, salvo el matiz que en casos sencillos como en coordenadas cartesianas si el recinto es un prisma ( todas las caras rectangulares) los límites de integración no cambian aunque se cambie el orden de integración.

Saludos.

[mxxny]

¡Muchas gracias a los dos! Me ha quedado mucho más claro.